2023年6月29日发(作者：)

复合函数、λ表达式以及⾼阶函数本⽂主要描述复合函数、λ表达式、⾼阶函数的⼀些基本概念以及它们之间的⼀些关系。⽰例代码将以Python作为主要编成语⾔。

⾸先简单地谈谈什么是函数。对于基本的⾯向过程以及函数式编程语⾔⽽⾔，可以直接⽤集合论中的函数概念加以描述。如果是⾯向对象的话，但使⽤朴素集合论中的函数概念去描述还显得不够，基本上要⽤到范畴（Category）论中的态射（Morphism）进⾏描述。⽽对于函数式编成语⾔⽽⾔，通过集合论的函数概念进⾏描述就显得更为适宜。

⾸先简单地介绍⼀下什么是函数。函数⾸先是⼀种关系。为了⽅便描述，后⾯将主要针对⼆元关系进⾏讲解，即可理解为⼀个输⼊，⼀个输出。函数定义：设A和B是两个任意集合，f是从A到B的⼆元关系。若f具有性质：（1）f的定义域Dom f = A，（2）如果有(a1, b1), (a1, b2)属于f，那么b = b2， （注：a1属于集合A，b1、b2属于集合B）则称关系f是从A到B的函数，记为f:A->B。

根据函数基本定义，我们下⾯可以举两个基本函数的例⼦：def sum(x): return x + x

def mul(x): return x * x在上述代码中，sum和mul都是函数。sum: Z->Z, mul: Z->Z，其中，Z为整数集。也就是参数x为整数，⽽返回值亦是整数。

有了函数的⼀个基本定义，那么后⾯我们可以容易地引⼊复合函数这⼀概念：设g: A->B, f: B->C，定义复合函数f○g为：f○g={(a, c)| a属于A， c属于C，且存在b属于B，使b=g(a)，c=f(b)}，称f○g是从A到C的复合函数，记为f○g: A->C。对a属于A，有(f○g)(a) = f(g(a))。

根据定义描述，我们下⾯将举⼀个复合函数的例⼦。def compFunc(x): return mul(sum(x))上述代码中，compFunc在表现形式上可看作为：mul○sum。尽管mul和sum的输⼊和输出都是整数，不过为了⽅便描述，我们假定sum: A->B，mul: C->D，由于这⾥集合B是集合C的⼦集（各位可以思考⼀下如果假定集合C是集合B的⼦集是否可以），所以关系compFunc仍可构成函数关系。compFunc: A->D。⾸先，A通过sum函数映射到B，然后B通过mul函数再映射到D，所以compFunc可表现为：mul(sum(a))，a为集合A的⼀个元素。

OK，有了基础概念之后我们就可以看看lambda表达式了。在函数式编成语⾔中，λ实际上就是指⼀个函数。不过它的⼀个特点就是，对于⼀个lambda⽽⾔，它所对应的是⼀个函数集中的某⼀个元素。我们看看下⾯⼀个简单的例⼦：def lambdaFunc(n): return lambda x: x +

n上述代码中，lambdaFunc的函数关系可被表达为：lambdaFunc: A->F，A是整数集，F是⼀个函数集。集合F的元素这⾥可记为：{λ1,val = lambdaFunc(10)λ2, ...}。其中，元素的下标为labmdaFunc的输⼊。(20)由于对于lambdaFunc中的lambda⽽⾔，这个lambda受到lambdaFunc输⼊参数n的制约。因此对于不同的输⼊n就会映射到F集中不同的lambda元素。⽽对于某⼀个函数lambdaε（ε为下标），lambdaε: B->C。lambda的输⼊参数x属于集合B，⽽其返回值则属于集合C。因此对于整个表达式lambdaFunc(10)(20)⽽⾔，就是（10属于A）通过lambdaFunc映射到（lambda(10)属于F）；再由（20属于B）通过lambda(10)最后映射到（30属于C）。因此val的值就是30。如果将lambdaFunc(10)抽象掉的话，即aFunc = lambda(10)val = aFunc(20)

那么aFunc实际上就可以视为⼀个复合函数：def aFunc(n): def lam(x): return x + n这⾥，我们可以将lam(10)中的“10”视为：B->B这样的形式。

return lam(10)

下⾯将描述⾼阶函数。在《程序设计语⾔——实践之路》第⼆版汉化版中的第545页中讲述了⾼阶函数的概念：如果⼀个函数以函数作为实在参数，或者返回函数作为值，那么它就是⼀个⾼阶函数（high-order function），也称为函数形式。下⾯的例⼦描述了⼀个⽐较简单的⾼阶函数：def

HighOrderFunction():

return lambda f, g:

lambda x: g(f(x))我们来看⼀下HighOrderFunction：val =

HighOrderFunction: Ο->F，其中Ο表⽰空集，F为函数集lambda(f, g)。我们这⾥看到lambda(f, g)有两个输⼊参数，为了⽅便描述，我HighOrderFunction()们将(f, g)作为⼀个关系对⽽看成⼀个输⼊源。设R为⼀个函数关系对集，(f, g)为其中⼀个元素，那么有lambda(f, g): R->G。设G为⼀个函(sum, mul)(10)数集，lambda(x)是其中⼀个元素。lambda(x): A->C。我们可以看到⾼阶函数实际上隐藏了两个或两个以上的lambda。

下⾯给出完整的⽰例：def sum(x): return x + x

def mul(x): return x * x

def

HighOrderFunction(): return lambda f, g:

lambda x: g(f(x))

def lambdaFunc(n): return lambda x: x +

n

def compFunc(x): return mul(sum(x))

def aFunc(n): def lam(x): return x + n