2024年5月19日发(作者：diskgenius低格教程)

用于非均质复合材料应力分析的交错网格有限体积法

宣领宽;龚京风;张文平;明平剑

【摘 要】针对非均质复合材料的应力问题,发展了一种交错网格有限体积法(SCV-

FVM).该方法基于非结构网格离散线弹性平衡方程,采用交错网格技术将材料的空间

变化引入离散过程,从而不需要显式处理复合材料交界面.用SCV-FVM对宏观非均

质复合材料应力场进行了数值模拟,结果与理论解吻合良好.与其他数值结果的对比

表明,SCV-FVM能够避免材料物性突变引起的牵引力方向的应力数值波动及不连

续现象,但是难以捕捉垂直于牵引力方向的应力跳跃现象,可以通过加密交界面网格

来改善计算结果.用SCV-FVM对微观非均质复合材料应力场进行了数值模拟,结果

不存在由物性参数空间变化引起的数值不连续现象及应力集中现象,表明SCV-

FVM适合对微观非均质材料进行应力分析.

【期刊名称】《西安交通大学学报》

【年(卷),期】2014(048)003

【总页数】7页(P121-127)

【关键词】非均质复合材料;层合材料;功能梯度材料;交错网格技术;有限体积法

【作 者】宣领宽;龚京风;张文平;明平剑

【作者单位】哈尔滨工程大学动力与能源工程学院,150001,哈尔滨;哈尔滨工程大

学动力与能源工程学院,150001,哈尔滨;哈尔滨工程大学动力与能源工程学

院,150001,哈尔滨;哈尔滨工程大学动力与能源工程学院,150001,哈尔滨

【正文语种】中 文

【中图分类】O343.7

层合材料、功能梯度材料、涂层材料等复合材料已被广泛应用于工程实际中。采用

不同的制备工艺得到的复合材料可能存在界面形貌的波动[1]、微尺度颗粒的随机

分布[2-3]等。

关于均质(即不存在物性突变)复合材料热力性能的研究已有较多报道[4-14]。非均

质复合材料包括微观非均质结构,如具有微结构的功能梯度材料;宏观非均质结构,如

层合材料、包含问题等。文献[15]指出,基于连续介质理论的有限元法不能有效地

直接求解非均质问题,如无限体中含微观结构的问题。为此,文献[15]建立了基于均

匀化理论的确定复合材料结构应力场的方法,用均质的宏观结构和非均质的具有周

期性分布的微观结构来描述原结构。文献[3]基于高阶功能梯度理论(HOTFGM),对

具有微结构的热障涂层的热力性能进行了数值分析,并指出:基于有限元法得到的应

力场存在不合理的应力集中现象。另一方面,文献[4-6]基于HOTFGM发展了有限

体积理论(FVT),并用于研究经典包含问题,结果表明:用FVT计算得到的沿牵引力方

向的应力与理论解吻合良好,但计算得到的垂直于牵引力方向的应力存在数值不连

续现象,并且难以得到收敛解。文献[16]根据分界面法向应力连续和位移切向梯度

连续的情况,提出了3种显式处理材料分界面的途径,改进了格心型有限体积法(CC-

FVM),计算结果表明,改进后的CC-FVM能够避免不合理的应力波动。

作者曾提出了一种新的数值方法——交错网格有限体积法(SCV-FVM)。该方法采

用网格有限体积法(CV-FVM)离散控制方程,利用交错网格技术将物性参数的空间变

化引入离散过程。SCV-FVM现已被成功应用于求解均质功能梯度材料及层合材料

的热传导问题[7]。本文进一步将SCV-FVM推广应用于宏观和微观非均质复合材

料的应力问题研究。

1.1 控制方程

考虑二维线弹性材料的静态应力问题。根据控制体Ω内的力平衡建立控制方程

式中:σ为应力张量;g为单位质量体积力矢量;V为Ω的体积;S为Ω的边界;n为垂

直于边界S的单位外法线矢量。将方程(1)写为张量形式

式中:σij为σ在垂直于i方向的微元面沿j方向的分量;gi为g沿i方向的分量;nj为

n沿j方向的分量。

线弹性体的本构方程为

式中:δij为克罗尼克尔符号,当i=j时δij=1,当i≠j时δij=0;拉姆系数G与λ可由弹

性模量E和泊松比μ根据式(4)和式(5)计算:

对于平面应变

对于平面应力

εij为应变张量ε的分量,其表达式为

将式(3)和式(6)代入式(2),得到待解控制方程

式中:ui为位移矢量u沿i方向的分量。

对于固支边界SD,位移为0;对于载荷边界SN,给定边界载荷矢量f0;自由边界SF是

载荷边界的特殊情况,即f0=0;简支边界可以由固支边界和自由边界组合得到。

1.2 数值离散

采用三节点三角形(T3)和四节点四边形(Q4)网格单元划分计算域。SCV-FVM与

CC-FVM最基本的区别在于控制体的建立。如图1所示,CC-FVM以网格单元作为

控制体,变量定义在单元中心(实心圆点),如网格单元15,而SCV-FVM则围绕单元节

点(空心圆点)依次连接相邻单元中心和边长中点(实心圆点)建立控制体,网格单元由

实线围成,控制体由虚线围成,如围绕内部节点a建立的控制体1-2-3-4-5-6-7-8-9-

10,围绕边界节点b建立的控制体11-12-13-b-14-4-3-2。

基于交错网格的思想,将待解变量定义在单元节点上,物性参数定义在单元中心。假

设待解变量在控制体内均匀分布,物性参数在单元内均匀分布,则物性参数在控制体

内是变化的(如图1所示),从而可将物性参数的空间变化自然地引入离散过程。

基于CV-FVM离散方程(7),可得

式中:nc为当前节点周围的单元总数;nα为第α个单元内的节点数;Nα β为型函数,

型函数的导数在不同单元中的积分可参考文献[7];下角标α表示第α个单元中心的

变量值,α β表示第α个单元内第β个节点上的变量值。

对于固支边界,保持节点位移为0。对于载荷边界,将边界力代入方程(8),得

耦合求解不同方向的位移,从而可以一次计算得到整个位移场,避免迭代。

2.1 双层材料圆盘问题

考虑如图2所示的双层材料圆盘[16],采用平面应力假设。内表面半径ri=0.05m,受

到的均匀压力pi=1 MPa;外表面半径ro=2ri,为自由边界。两层材料分界面的半径

rm=1.4ri;内层材料的泊松比μi=0.35,外层材料的泊松比μo=0.3;外层材料的弹性

模量Eo是内层材料弹性模量Ei的10倍。由于对称性,取1/4圆盘作为计算域(如

图2a所示),径向划分25个均匀网格,周向划分60个均匀网格。在文献[16]中,计算

模型径向有50个均匀网格,周向有120个均匀网格。

图3为采用传统CC-FVM、文献[16]的改进型CC-FVM和本文的SCV-FVM获得

的双层材料圆盘应力计算结果比较。从图3a可以看到,传统CC-FVM得到的径向

应力σr在分界面附近存在不正确的数值波动,由改进型CC-FVM得到的结果与理

论解吻合良好,而本文的SCV-FVM不需要特殊处理分界面,得到的σr不存在数值

波动。

图3b为采用不同方法得到的周向应力σθ曲线。由于在分界面存在材料突变,σθ

曲线应有跳跃现象。由改进型SCV-FVM得到的σθ在远离分界面的区域与理论解

一致,但在分界面上计算值存在一定误差。CC-FVM以位移为求解变量,根据本构关

系计算应力场,空间一个点仅计算一个应力值,因此得到的分界面上的应力是一个平

均值。当细化交界面附近网格,即采用如图2b所示的非均匀网格时,计算得到的σθ

曲线有明显改善。非均匀网格与均匀网格采用相同的网格数,非均匀网格的最小网

格尺寸为1 mm,在交界面处,交界面两侧沿径向的网格数分别为10和15,所以交界

面附近网格更细密(见图2b)。

2.2 包含问题

考虑如图4a所示的经典包含问题[1,6]。方形结构(2L=30 m)基体为环氧树脂,物性

参数为Em=4.9 GPa,μm=0.34。包含区域(r=1 m)为玻璃纤维,物性参数为

Ef=69.0 GPa,μf=0.2。方形结构的左面和右面受到沿x方向的均匀拉力p=100

MPa,上、下表面自由。由于结构的对称性,取其1/4作为计算域(见图4b),x=0和

y=0为简支边界,采用平面应变假设。

文献[6]计算了完整的方形结构,采用4×2 600个四边形网格划分计算域,而本文仅

采用1 200个四边形网格划分计算域,如图4b所示,网格分布与文献[6]的类似。图

5为基于本文SCV-FVM计算得到的应力云图,图6为基于不同方法计算得到的应

力曲线。由图6可见:采用有限元法得到的应力曲线不连续;采用FVT得到的应力曲

线沿牵引力方向是连续的(见图6a),但垂直于牵引力方向则是不连续的(见图6b);采

用本文SCV-FVM得到的应力曲线与理论解吻合良好,不存在数值不连续现象。需

要指出的是,在环氧树脂和玻璃纤维的分界面存在物性参数的突变,垂直于牵引力方

向的应力存在跳跃。与2.1节中的问题类似,因为SCV-FVM计算得到的应力在分

界面上是一个平均值,因此采用SCV-FVM计算应力跳跃问题时需要加密分界面两

侧的网格。

2.3 微结构涂层问题

利用SCV-FVM求解如图7所示的4层微结构涂层的应力场。用均匀四边形网格

划分计算域,网格为边长20 μm的正方形。为了避免结构的刚性平移,底面中间3

个节点固支,其余节点简支。涂层顶端受到沿x方向变化的压力,两侧自由,采用平面

应变条件。

涂层长L=2 mm,宽W=1 mm,共有4层。底层L1为纯Fe,厚度Δy1=0.2 mm;第

2层L2为黏结剂CoCrAlY,厚度Δy2=0.1 mm;第4层为纯ZrO2,厚度Δy4=0.2

mm。各涂层材料的物性参数见表1。第3层为梯度层,厚度Δy3=0.5mm,材料由

CoCrAlY逐渐变为ZrO2。ZrO2的质量分数沿y轴变化

则梯度层的物性参数

P=PZφZ+PC(1-φZ)

式中:P代表表1中的参数k、E、μ;下角标Z代表ZrO2,C代表CoCrAlY;指数m

控制梯度层中材料质量分数的变化规律。

梯度层L3中ZrO2颗粒随机分布,但其统计平均质量分数满足式(10)。假设颗粒为

边长20 μm的正方形,与网格尺寸相同,考虑如图8所示的2种梯度层结构。图9

为计算得到的位移uy和应力σx的云图,图10为计算得到的应力沿y=0.5mm的

分布曲线。由图9和图10可知,由于微结构颗粒的随机分布,位移和应力在梯度层

存在不均匀分布,位移场的不均匀度小于应力场的不均匀度。另外,随着m的增大,

涂层的变形和应力幅值减小,同时不均匀度降低。

由于微尺度颗粒的存在,使梯度层的物性参数变化剧烈。文献[2]中采用有限元法计

算类似的微尺度问题时,存在不合理的应力集中现象,而本文方法的计算结果不存在

数值应力集中问题,这进一步验证了本文方法对非均匀材料的适用性。

本文采用交错网格技术提出了SCV-FVM。该方法围绕节点建立控制体,将物性参

数定义在单元中心,待解变量定义在单元节点上,从而能够考虑非均质材料的空间变

化。

采用SCV-FVM对宏观非均质复合材料的应力场进行了数值模拟,通过与解析解的

对比,验证了结果的正确性。与CC-FVM相比,SCV-FVM不需要显式处理交界面,就

能避免物性突变引起的交界面应力数值波动。与HOTFGM及有限元法相比,SCV-

FVM能够避免材料空间变化引起的不合理的应力不连续现象。通过分析发

现,SCV-FVM在空间任一点仅计算一个应力值,计算得到的材料交界面处的应力是

一个平均值,因此难以捕捉由材料物性突变引起的垂直于牵引力方向的应力跳跃现

象,但可以通过加密网格来改善计算结果。

由于SCV-FVM不需要显式地处理复合材料交界面,因而能够用于分析具有随机分

布微观结构的非均质材料问题。对微观非均质涂层的数值模拟结果表明,用SCV-

FVM计算的应力场不存在数值不连续现象及应力集中问题。

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