2024年5月25日发(作者：)

反函数例题讲解

例1．下列函数中，没有反函数的是

(A)

y

=

x

2

－1（

x

<



(C)

y

1

）

2

( )

(B)

y

=

x

3

+1（

x

∈R）

(D)

y





2x2(x2)，

4x(x1).



x

（

x

∈R，

x

≠1）

x1

分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．

判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试

解以

y

表示

x

的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作

为选择题还可用特例指出不存在反函数．

本题应选（D）．

因为若

y

= 4，则由





2x24，

得

x

= 3．

x2



由





4x4，

得

x

= －1．

x1



∴ （D）中函数没有反函数．

如果作出

y





2x2(x2)，

的图像（如图），依图

4x(x1).



更易判断它没有反函数．

例2．求函数

y11x

2

（－1≤

x

≤0）的反函数．

解：由

y11x

2

，得：

1x

2

1y

．

∴ 1－

x

2

= (1－

y

)

2

，

x

2

= 1－(1－

y

)

2

= 2

y

－

y

2

．

∵ －1≤

x

≤0，故

x2yy

2

．

又 当 －1≤

x

≤0 时， 0≤1－

x

2

≤1，

∴ 0≤

1x

2

≤1，0≤1－

1x

2

≤1，

即 0≤

y

≤1 ．

∴ 所求的反函数为

y2xx

2

（0≤

x

≤1）．

1

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：

① 把给出解析式中的自变量

x

当作未知数，因变量

y

当作系数，求出

x

=

φ

(

y

)．

② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；

③ 依习惯，把自变量以

x

表示，因变量为

y

表示，改换

x

=

φ

(

y

)为

y

=

φ

(

x

)．

例3．已知函数

f

(

x

) =

x

2

+ 2

x

+ 2（

x

<－1），那么

f

－1

(2 )的值为

__________________．

分析：依据

f

－1

(2 )这一符号的意义，本题可由

f

(

x

)先求得

f

－1

(

x

)，

再求

f

－1

(2 )的值（略）．

依据函数与反函数的联系，设

f

－1

(2 ) =

m

，则有

f

(

m

) = 2．据此求

f

－

1

(2 )的值会简捷些．

令

x

2

+ 2

x

+ 2 = 2，则得：

x

2

+ 2

x

= 0 ．

∴

x

= 0 或

x

=－2 ．

又

x

<－1，于是舍去

x

= 0，得

x

=－2，即

f

－1

(2 ) = －2 ．

例4．已知函数

f(x)14x

2

（

x

≤0），那么

f

(

x

)的反函数

f

－1

(

x

)

的图像是

（A）

( )

y

（B）

y

0

1

x

－1

0

x

（C）

y

（D）

y

－1

0

x

0

1

x

2

分析：作为选择题，当然不必由

f

(

x

)求出

f

－1

(

x

)，再作出

f

－1

(

x

)

图像，予以比较、判断．

由

f(x)14x

2

（

x

≤0）易得函数

f

(

x

)的定义域为



,0



，值域为



1,



．于是有函数

f

－1

(

x

)的定义域为



1,



，值域为



,0



．依此对给出

图像作检验，显然只有（D）是正确的．

因此本题应选（D）．

例5．给定实数

a

，

a

≠0，

a

≠1，设函数

y

x11

（

x

∈R，

x

≠）．

a

ax1

求证：这个函数的图像关于直线

y

=

x

成轴对称图形．

分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．

证明：先求给出函数的反函数：

由

y

∴

x11

（

x

∈R，

x

≠），得

y

(

ax

－1) =

x

－1 ．

a

ax1

(

ay

－1)

x

=

y

－

1 ． ①

若

ay

－1 = 0，则

ay

= 1 ．

又

a

≠0，故

y

11

．此时由①可有

y

= 1．于是=1，即

a

= 1，

aa

这与已知

a

≠1是矛盾的，故

ay

－1 ≠ 0 ．

则由①得

x

∴ 函数

y

≠）．

由于函数

f

(

x

)与

f

－1

(

x

)的图像关于直线

y

=

x

对称，故函数

y

（

x

∈R且

x

≠

1

）的图像关于直线

y

=

x

成轴对称图形．

a

x1

ax1

1

a

y1

1

（

y

∈R，

y

≠）．

ay1

a

x11x1

（

x

∈R，

x

≠）的反函数还是

y

（

x

∈R，

x

a

ax1ax1

本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点

P

（

x

，

y

）是函数

f

(

x

)

图像上任一点，则点

P

关于直线的对称点

Q

（

y

，

x

）也在函数

f

(

x

)的图像上

（过程略）．

3

例题讲解（反函数）

例1．求下列函数的反函数：

(1)

y

=3

x

－1 (

x

∈R)；

(2)

y

=

x

3

＋1 (

x

∈R)；

(3)

yx1

(

x

≥0)；

(4)

y

2x3

(

x

∈R，且

x

≠1)．

x1

通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进

行．第一步将

y

=

f

(

x

)看成方程，解出

x

=

f

－1

(

y

)，第二步将

x

，

y

互换，

得到

y

=

f

(

x

)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三

步容易被忽略，造成错误．

如第(3)小题，由

yx1

解得

x

= (

y

－1)

2

，再将

x

，

y

互换，得

y

= (

x

－1)

2

．到此以为反函数即

y

= (

x

－1)

2

，这就错了．必须根据原函数的定义域

x

≥0，求得值域

y

≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为

－1

y

= (

x

－1)

2

(

x

≥1)．

例2．求下列函数的反函数：

(1)

y

=

x

2

－2

x

－3 (

x

≤0)；



x1

(x≤0)，



(2)

y



1

1

(x＞0)．





x

通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不

可．

解：(1) 由

y

=

x

2

－2

x

－3， 得

y

= (

x

－1)

2

－4，

即 (

x

－1)

2

=

y

＋4，

因为

x

≤0，所以

x1y4

，所以原函数的反函数是

y1x4

(

x

≥－3)．

(2) 当

x

≤0时，得

x

=

y

＋1且

y

≤－1；

4

当

x

＞0时， 得

x

1

且

y

＞－1，

y1

所以，原函数的反函数是：

x≤－1，

x＞－1．



x1



y



1





x1

例题讲解(反函数）

［例1］若函数

f

(

x

)与

g

(x)的图象关于直线

y

=

x

对称，且

f

(

x

)=(

x

-1)

2

(

x

≤

1)，求

g

(

x

).

选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.

解：

f

(

x

)与

g

(

x

)在定义域内互为反函数，

f

(

x

)=(

x

-1)

2

(

x

≤1)的反函数是

y

=1-

x

(

x

≥0)，

∴

g

(

x

)=1-

x

(

x

≥0).

说明：互为反函数的图象关于

y

=

x

对称，反之亦然，也是判断两个函数互为

反函数的方法之一，本是

f

(

x

)与

g

(

x

)互为反函数，要求

g

(

x

),只须求

f

(

x

)在限

定区间上的反函数即可.

［例2］若点

P

(1，2)在函数y=

axb

的图象上，又在它的反函数的图象

上，求

a

,

b

的值.

选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称

关系的应用.

解：由题意知

P

(1，2)在其反函数的图象上，

根据互为反函数的函数图象关于

y

=

x

对称的性质，

Ｐ

′(2，1)也在函数

y

=

axb

的图象上，





2ab

因此：



解得:

a

=-3,

b

=7.





12ab

说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用

互为反函数的图象的对称关系.（１，２）在反函数图象上，

则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即

f

(2)=1,这是得到

a

,

b

的另一个关系式的条件，这样两个条件

两个未知数，就可解出

a

,

b

的值.

x

［例3］已知函数

f

(

x

)=(1+)

2

-2(

x

≥-2)，求方程

2

-1

f

(

x

)=

f

(

x

)的解集.

5

选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于

y

=

x

对称的关系，灵活运

图2—8

用这一关系解决问题的能力.

x

分析：若先求出

f

-1

(

x

)=2

x2

-2(

x

≥-2),再解方程(1+)

2

-2=2

x2

-2，

2

整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用

y

=

f

(

x

)与

y

=

f

-1

(

x

)的图象的关系

x

求解.先画出

y

=

f

(

x

)=(1+)

2

-2的图象，如图，因为

y

=

f

(

x

)的图象和

y

=

f

-1

(

x

)的

2

图象关于直线

y

=

x

对称，可立即画出

y

=

f

-1

(

x

)的图象，由图象可见两图象恰有两

x

2



y(1)2



个交点，且交点在

y

=

x

上，因此，由方程组



联立即可解得.

2





yx

x

2

)-2(

x

≥-2)画出图象，如图，由于函数

f

(

x

)的反函

2

数的图象与函数

f

(

x

)的图象关于

y

=

x

对称，故可以画出其反函数图象(如图)，

解：由函数

f

(

x

)=(1+

x

2



y(1)2



由图可知两图象恰有两个交点且交点都在

y

=

x

上.因此，方程组



2





yx

的解即为

f

(

x

)=

f

-1

(

x

)的解，于是解方程组得

x

=-2或

x

=2,从而方程

f

(

x

)=

f

-1

(

x

)

的解集为｛-2,2｝.

说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于

y

=

x

对称，若两个函

数有交点，则交点必在直线

y

=

x

上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为

x

2

直线

y

=

x

与其中

y

=(1+)-２一个方程组的解的问题.

2

6

例题讲解（练习）

例1．函数

f

(

x

)=

x

－

x

是否存在反函数？说明理由

点评：不存在，∵

f

(0)=

f

(－1)=

f

(1)=0．

例2．求下列函数的反函数．

(1)

f



x





3

6x5

x1

(2)

yx1

(3)

f

(

x

)=

x

－2

x

+3，

x

∈(1，+∞)

(4)

f



x



11x

2

(－1≤

x

≤0)

点评：(1)

f

1

2



x





x5

(

x

∈R且

x

≠6)

x6

2

(2)

f

(

x

)=

x

+1 (

x

≤0)

(3)

f

(4)

f

1

－1



x



x21

(

x

>2)

1



x



1



x1



(0≤

x

≤1)

2





x1



x1



例3．求函数

y



的反函数．





1x



x1



2





x1

点评：反函数为

y



2





1x



x0



．



x0



例4．已知

f



x





3x2

－1

，求

f

[

f

(

x

)]的值．

x1



点评：

f



f





1



2





2







，注意

f

(

x

)的定义域为{

x

|

x

∈R且

x

≠－1}，值域为{

y

|

y



2



2







∈R且

y

≠－3}．

例5．已知一次函数

y

=

f

(

x

)反函数仍是它自己，试求

f

(

x

)的表达式．

分析：设

y

=

f

(

x

)=

ax

+

b

(

a

≠0)，则

f

(

x

)=

－1

1

(

x

－

b

)．

a



1

a





a1



a1

1



a

由(

x

－

b

)=

ax

+

b

得



或







a

bRb0

b





b





a

∴

f

(

x

)=

x

或

f

(

x

)=－

x+b

(

b

∈R)

7

例6．若函数

y

ax1

在其定义域内存在反函数．

4x3

(1) 求

a

的取值范围；(2) 求此函数的值域．

解：(1)方法一：原式可化为4

xy

+3

y

=

ax

+1，

(4

y

－

a

)

x

=1－3

y

，

a

ax1a

，即



时，

4

4x34

4

解得

a

时原函数有反函数．

3

ax1

方法二：要使

y

在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，

4x3

a1

4

ax1

即



，所以

a

时函数

y

在其定义域内存在反函数．

3

434x3

当y≠

(2) 由

y

3y1

ax1

解得

x

．

4ya

4x3

ax13x1

的反函数为

y

．

4x34xa

3x1

a

∵

y

的定义域是{

x

|

x

∈R且

x

=}

4

4xa

ax1

a

故

y

的值域是{

y

|

y

∈R且

y

≠}．

4

4x3

∴

y

例7．设函数

y

=

f

(

x

)满足

f

(

x

－1)=

x

－2

x

+3(

x

≤0)，求

f

(

x

+1)．

解：∵

x

≤0，则

x－

1≤－1．

∵

f

(

x

－1)=(

x

－1)+2 (

x

≤0)

∴

f

(

x

)=

x

+2 (

x

≤－1)．

由

y

=

x

+2 (

x

≤1)解得

xy2

(

y

≥3)

2

2

2

2－1

∴

f

故

f

1



x



x2

(

x

≥3)．

x1

(

x

≥2)．

－1－1

1



x1





－1

点评：

f

(

x

+1)表示以

x

+1代替反函数

f

(

x

)中的

x

，所以要先求

f

(

x

)，再以

x

+1

代

x

，不能把

f

(

x

+1)理解成求

f

(

x

+1)的反函数．

习 题

1．已知函数

f

(

x

)=

x

－1 (

x

≤－2)，那么

f

(4)=______________．

2．函数

y

=－

x

+

x

－1 (

x

≤

2

2－1

－1

1

)的反函数是_________________．

2

8

2



1





x1，x



0，

3．函数

y



的反函数为__________________．

2





x，x



1，0



4．函数

y

5．已知

y

x

2

2x3

(

x

≤1)的反函数的定义域是_____________．

11

xm

与

ynx

是互为反函数，则

m

=______和

n

=________．

23

答 案

1．

5

2．

y

14x3







x

3



24





3．

y







x1，x



1，0



，





x，x



0，1



4．



2，



5．

1

6

，2

9