2024年5月21日发(作者：)

递推数列的概念与性质

数列是数学中重要的概念之一，而递推数列是数列中常见的一种形

式。本文将介绍递推数列的概念与性质，并通过例子来说明其应用。

一、递推数列的概念

递推数列是一种由前一项或前多项推出后一项的数列。其基本形式

可以表示为：给定数列的首项$a_1$和递推关系$f(n)$，则数列的通项

公式可以表示为：

[ a_n = f(a_{n-1}) ]

其中$n$表示数列的位置。

递推数列常见的表示方法有三种：显式表示、隐式表示和递归定义。

显式表示是通过给定递推公式得到数列项的直接表达式，而隐式表示

是通过给定递推公式得到数列项的关系式。递归定义则是通过给定数

列的首项和递推关系逐步推导后一项。

二、递推数列的性质

1. 有界性：递推数列可以是有界或无界的。有界数列是指存在一个

实数$M>0$，使得对于所有的$ninmathbb{N}$，都有$|a_n|leq M$。

无界数列则是相反的情况。

2. 单调性：递推数列可以是单调递增或单调递减的。单调递增数列

是指对于所有$ninmathbb{N}$，都有$a_nleq a_{n+1}$。单调递减数

列则是相反的情况。

3. 整体性：递推数列可以是整体有序或整体无序的。整体有序数列

是指对于所有的$m,ninmathbb{N}$，如果$m

整体无序数列则是相反的情况。

4. 极限性：递推数列可以是收敛或发散的。收敛数列是指存在一个

有限的实数$L$，使得数列中的所有项都无限接近$L$。发散数列则是

相反的情况。

三、递推数列的应用举例

1. 斐波那契数列

斐波那契数列是一个经典的递推数列，其前两项为1，从第三项开

始，每一项都是前两项之和。其显式表示为：

[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} ]

2. 几何数列

几何数列是一个常见的递推数列，其首项$a_1$和公比$q$确定后，

每一项都是前一项乘以公比。其显式表示为：

[ a_n = a_{n-1} cdot q ]

递推数列在数学中有着广泛的应用，例如在金融领域的复利计算、

物理学中的运动学问题等。通过建立递推关系，可以方便地计算数列

中任意位置的项，进而解决相关问题。

综上所述，递推数列是由前一项或前多项推出后一项的数列。它具

有有界性、单调性、整体性和极限性等性质。递推数列在数学中有着

广泛的应用，通过建立递推关系可以方便地计算数列的各项。