2024年5月2日发(作者：)

函数的极值和最值

【考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】

函数的极值

函数的极值和最值

函数极值的定义

函数极值点条件

求函数极值

函数在闭区间上的最大值和最小值

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数

f(x)

在点

xx

0

及其附近有定义，

（1）若对于

x

0

附近的所有点，都有

f(x)f(x

0

)

，则

f(x

0

)

是函数

f(x)

的一个极大值，记作

y

极大值

f(x

0

)

；

（2）若对

x

0

附近的所有点，都有

f(x)f(x

0

)

，则

f(x

0

)

是函数

f(x)

的一个极小值，记作

y

极小值

f(x

0

)

.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数

f



(x)

；

③求方程

f



(x)0

的根；

④检查

f'(x)

在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右

正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数

yf(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，则

f(x)

在

[a,b]

上必有最大值和最小值；在开区间

(a,b)

内连

续的函数

f(x)

不一定有最大值与最小值.如

f(x)

要点诠释：

1

(x0)

.

x

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数

yf(x)

在闭区间

[a,b]

有定义，在开区间

(a,b)

内有导数，则求函数

yf(x)

在

[a,b]

上的最

大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数

f(x)

在

(a,b)

内的导数

f



(x)

；

（2）求方程

f



(x)0

在

(a,b)

内的根；

（3）求在

(a,b)

内使

f



(x)0

的所有点的函数值和

f(x)

在闭区间端点处的函数值

f(a)

，

f(b)

；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数

yf(x)

在闭区间

[a,b]

上的最大值，最小者为函数

yf(x)

在闭区间

[a,b]

上的最小值.

【典型例题】

类型一：利用导数解决函数的极值等问题

【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】

例1.已知函数

f(x)mx3x3x,mR.

若函数

f(x)在x1

处取得极值，试求

m

的值，并求

32

f(x)

在点

M(1,f(1))

处的切线方程；

【解析】

f'(x)3mx6x3,mR.

因为

f(x)在x1

处取得极值

所以

f'(1)3m630

所以

m3

。

又

f(1)3,f'(1)12

所以

f(x)

在点

M(1,f(1))

处的切线方程

y312(x1)

即

12xy90

.

举一反三：

【变式1】设

a

为实数，函数

f



x



e2x2a,xR

．

x

2