2024年4月30日发(作者：)

拉丁方设计

拉丁方设计

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——-

“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。拉丁方设计（latin square design）

是从横行和直列两个方向进行双重局部控制,使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组

设计多一个单位组的设计。在拉丁方设计中,每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处

理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=

直列单位组数=试验处理的重复数。在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、

直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设

计小,试验精确性比随机单位组设计高。

拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计.这三个名称是从其模式、作

用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。

所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效

果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验

处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。

所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又

因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。因此、在实验方法

上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机

会均等，打破顺序界限。

所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。例如四组被

试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：

上述模式表可以看出,每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现

了一次。像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，

并且两者都要等于实验处理的种数。

在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA的顺序来安排实验处理

的顺序.或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB的顺序实

施处理。

一、拉丁方简介

拉丁方设计

(一)拉丁方—- 以

n

个拉丁字母

A，B，C

……，为元素,作一个

n

阶方阵，若这

n

个拉丁方

字母在这

n

阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次,则称该

n

阶方阵为

n

×

n

阶拉丁方。

例如：2×2阶、3×3阶拉丁方。

A

B

B

A

B

A

A

B

A

B

C

B

C

A

C

A

B

第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方,叫标准型拉丁方。3×3阶标准型拉丁

方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种,5×5阶标准型拉丁方有56种。若变换标

准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选

择一种;或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。

(二）常用拉丁方—-在动物试验中，最常用的有3×3，4×4,5×5,6×6阶拉丁方。下面列

出部分标准型拉丁方,供进行拉丁方设计时选用。其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。

A

B

C

B

C

A

C

A

B

A

B

C

C

B

C

A

C

A

B

A

D

二、拉丁方设计方法

在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差,且试验动物的数量

又较少，则常采用拉丁方设计。下面结合具体例子说明拉丁方设计方法.

【例12。4】为了研究5种不同温度对蛋鸡产蛋量的影响,将5栋鸡舍的温度设为

A、B、

C、D、E

，把各栋鸡舍的鸡群的产蛋期分为5期，由于各鸡群和产蛋期的不同对产蛋量有较大的

影响，因此采用拉丁方设计，把鸡群和产蛋期作为单位组设置，以便控制这两个方面的系统误

差。拉丁方设计步骤如下：

（一）选择拉丁方选择拉丁方时应根据试验的处理数和横行、直列单位组数先确定采用

几阶拉丁方,再选择标准型拉丁方或非标准型拉丁方.此例因试验处理因素为温度，处理数为5；

将鸡群作为直列单位组因素,直列单位组数为5；将产蛋期作为横行单位组因素，横行单位组数

亦为5，即试验处理数、直列单位组数、横行单位组数均为5，则应选取5×5阶拉丁方。本例

选取前面列出的第2个5 × 5标准型拉丁方，即：

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

D

B

E

A

D

E

A

B

C

E

C

D

A

B

（二)随机排列 在选定拉丁方之后,如是非标准型时，则可直接按拉丁方中的字母安

排试验方案。若是标准型拉丁方，还应按下列要求对横行、直列和试验处理的顺序进行随机排

列。

拉丁方设计

3×3标准型拉丁方：直列随机排列，再将第二和第三横行随机排列。

4×4标准型拉丁方：随机选择4个标准型拉丁方中的一个，然后再将横行、直列及处理

都随机排列。

下面对选定的5×5标准型拉丁方进行随机排列.先从随机数字表（Ⅰ）第22行、第8

列97开始，向右连续抄录3个5位数，抄录时舍去“0"、“6以上的数”和重复出现的数，抄

录的3个五位数字为：13542，41523，34521.然后将上面选定的5×5拉丁方的直列、横行及处

理按这3个五位数的顺序重新随机排列.

1、直列随机 将拉丁方的各直列顺序按13542顺序重排。

2、横行随机 再将直列重排后的拉丁方的各横行按41523顺序重排。

选择拉丁方

直列随机

横行随机

1

2

3

4

5

1

3

5

4

2

A

B

C

D

E

B

A

D

E

C

1

A

C

E

D

B

2

B

D

C

E

A

4

1

E

C

A

E

B

C

D

B

D

C

E

A

C

B

D

A

E

C

E

B

A

D

3

C

B

D

A

E

5

DAEBC

A

D

C

E

B

A

E

D

A

C

B

4

D

E

A

B

C

5

E

A

B

C

D

2

3

D

B

3、把5种不同温度按第三个5位数34521顺序排列 即：

A

=3,

B

=4,

C

=5,

D

=2，

E

=1，也就是

说，在拉丁方中的

A

表示第3种温度，

B

表示第4种温度等，依次类推。从而得出5×5拉丁方

设计，如表12—8所示。

表12-8 5种不同温度对鸡产蛋量影响的拉丁方设计

鸡 群

产蛋期

一

二

三

四

五

Ⅰ

Ⅱ

D(2)

A（3)

E(1)

C（5）

A（3)

E（1）

B（4）

D(2）

C(5）

B（4）

拉丁方设计

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

E（1）

B（4）

C(5）

A（3）

D（2)

B(4）

B（4）

C（5）

D（2）

C（5)

E（1)

A（3）

D（2）

A（3）

E（1）

注：括号内的数字表示温度的编号

由表12—8可以看出，第一鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第2种温度，第二鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第1

种温度，等等.试验应严格按设计实施。

三、试验结果的统计分析

拉丁方设计试验结果的分析,是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测

值的方差分析法进行，但应假定3个因素之间不存在交互作用。将横行单位组因素记为

A

，直列

单位组因素记为

B

，处理因素记为

C

，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为

r

，对拉丁方

试验结果进行方差分析的数学模型为:

(

I=j=k

=1，2，…，

r

） (12-3）

式中：μ为总平均数;为第

I

横行单位组效应；为第

j

直列单位组效应，

通常是固定的,且有

为第

k

处理效

；为随机应。单位组效应、通常是随机的，处理效应

误差,相互独立，且都服从

N

（0，

σ

2

）。

注意:

k

不是独立的下标，因为

I、j

一经确定，

k

亦随之确定。

平方和与自由度划分式为：

SS

T

=

SS

A

+

SS

B

+

SS

C

+

SS

e

df

T

=

df

A

+

df

B

+

df

c

+

df

e

（12—4）

【例12.4】的试验结果如表12-9所示。

表12-9 5种不同温度对母鸡产蛋量影响试验结果 （单位:个）

鸡 群

产蛋期

一

二

三

四

五

横行和

x

I.

Ⅰ

D

（23)

E

（21)

A

（24）

B

（21）

C

（19）

108

拉丁方设计

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

A

(22）

E

（20)

C

（20）

A

（25)

E

(20）

B

(26）

D

（21）

B

（22）

C

(22）

D

（23）

A

（23)

E

(19）

105

116

116

104

B

（25）

D

（22）

C

（25）

E

（21）

C

（19）

B

（20)

D

（24）

A

(22）

直列和

x

.

j

109

108

119

107

106

x

。.=549

注:括号内数字为产蛋量

表12-10 各种温度（处理）的合计

温度

A

B

C

D

E

x

（k）

116

23.2

114

22。8

105

21。0

113

22.6

101

20。2

现对表12—9资料进行方差分析。

1、计算各项平方和与自由度

矫正数

C

=

x

2

。./r

2

=549

2

/5

2

=12056。04

总平方和

SS

T

=Σ

x

2

ij(k)

—

C

=23

2

+21

2

+……+19

2

-12056.04= 12157-12056。04=100.96

横行平方和

SS

A

=Σ

x

2

I.

/

r

-

C

=(108

2

+105

2

+……+104

2

）/5—12056.04=27.36

直列平方和

SS

B

=Σ

x

2

.j

/

r

—

C

=（109

2

+108

2

+……+106

2

）/5-12056。04=22。16

处理平方和

SS

C

=Σ

x

2

（K)

/

r

-

C

=（116+114+……+101）/5-12056.04=33。36

222

误差平方和

SS

e

=

SS

T

-

SS

A

—

SS

B

-

SS

c

=100。96-33。36—27.36-22.16= 18.08

总自由度

df

T

=

r

2

-1=5

2

-1=24

横行自由度

df

A

=

r

-1=5-1=4

直列自由度

df

B

=

r

-1=5—1=4

处理自由度

df

C

=

r

—1=5-1=4

误差自由度

df

e

=

df

T

—

df

A

-

df

B

-

df

C

=(

r

—1)(

r

-2)=（5—1)(5-2）=12

2、列出方差分析表，进行

F

检验

拉丁方设计

表12-11 表12-9资料的方差分析表

变异来源

SS

df

MS

F

F

0.05

F

0。01

横行间

直列间

温度间

误 差

27。36

22.16

33。36

18.08

4

4

4

12

6.84

4。56

5。54

3。69

*

8.34

5。56

**

1。50

3。26

5.41

3。26

5.41

＊

3.26

5.41

总变异

100。96

24

经

F

检验，产蛋期间和鸡群间差异显著，温度间差异极显著.因在拉丁方设计中，横行、直列单

位组因素是为了控制和降低试验误差而设置的非试验因素，所以即使显著一般也不对单位组间

进行多重比较。下面对不同温度平均产蛋量间作进行多重比较。

3、多重比较

列出多重比较表，见表12-12.

表12—12 不同温度平均产蛋量多重比较表（

q

法）

温度

平均数

23.2

3.0＊

22。8

2.6*

22.6

2。4*

21。0

0。8

20。2

2。2

0.6

1.8

0.2

1。6

0.4

—20.2

—21

—22。6

-22.8

A

B

D

C

E

温度平均数标准误为：