2024年4月30日发(作者：)

四川省成都实验中学2024学年全国高三统一第一次网上联考数学试题测试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线

l

1

:ax2y40

，

l

2

:x(a1)y20

，则

“

a1

”

是

“

l

1

A

．充分不必要条件

C

．充分必要条件

0

l

2

”

的

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

0

2．已知角



的终边经过点

P(

sin47,cos47

)

，则

sin(



13

0

)=

A

．

1

2

B

．

3

2

C

．



1

2

D

．



3

2

3．总体由编号为

01

，

02

，

...

，

39

，

40

的

40

个个体组成

.

利用下面的随机数表选取

5

个个体，选取方法是从随机数表（如

表）第

1

行的第

4

列和第

5

列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第

5

个个体的编号为（

）

A

．

23 B

．

21 C

．

35 D

．

32

4．如图，已知三棱锥

DABC

中，平面

DAB

平面

ABC

，记二面角

DACB

的平面角为



，直线

DA

与平面

ABC

所成角为



，直线

AB

与平面

ADC

所成角为



，则（

）

A

．











5．已知函数

A

．

B

．











C

．











（其中

D

．











），则

D

．

的值为

( )

有三个不同的零点

B

．

C

．

6．已知函数

f



x



ln

A

．



1,

1x

x1

且

f



a



f



a1



2

，则实数

a

的取值范围是

( )

1x





1





2



B

．







1



,0





2



C

．



0,







1



2





1



D

．



,1





2



7．若

x,y

满足约束条件



A

．

10



02xy6

则

zx2y

的最大值为（

）



3xy6，

C

．

5 D

．

3 B

．

8

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（

）

A

．

25

B

．

4

C

．

2

D

．

22

9．已知函数

f(x)lnxln(3x)

，则（

）

A

．函数

f(x)

在



0,3



上单调递增

C

．函数

f(x)

图像关于

x

B

．函数

f(x)

在



0,3



上单调递减

D

．函数

f(x)

图像关于



3

对称

2



3



,0



对称



2



x

2

y

2

10．已知

F

1

、

F

2

是双曲线

2



2

1(a0,b0)

的左右焦点，过点

F

2

与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另

ab

一条渐近线于点

M

，若点

M

在以线段

F

1

F

2

为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（

）

A

．

(2,)

B

．

(3,2)

C

．

(2,3)

D

．

(1,2)

11．已知某超市

2018

年

12

个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（

）

A

．该超市

2018

年的

12

个月中的

7

月份的收益最高

B

．该超市

2018

年的

12

个月中的

4

月份的收益最低

C

．该超市

2018

年

1-6

月份的总收益低于

2018

年

7-12

月份的总收益

D

．该超市

2018

年

7-12

月份的总收益比

2018

年

1-6

月份的总收益增长了

90

万元

12．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近

1

；②在回归分析中，可用相关指

数

R

2

的值判断拟合效果，

R

2

越小，模型的拟合效果越好；

③若数据

x

1

,x

2

,x

3

,,x

n

的方差为

1

，则

2x

1

+1,2x

2

+1,2x

3

+1,,2x

n

+1

的方差为

4

；

④已知一组具有线性相关关系的数据



x

1

,y

1



,



x

2

,y

2



,,



x

10

,y

10



，其线

y

10

”

ˆ

a

ˆ

a

ˆ

bx

ˆ

，

ˆ

bx

ˆ

”

是

“

x

0



性回归方程

y

则

“



x

0

,y

0



满足线性回归方程

y

的充要条件；其中真命题的个数为

( )

A

．

4 B

．

3 C

．

2 D

．

1

x

1

x

2

x

10

yy

2



，

y

0



1

1010

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知复数

z12i

，其中

i

为虚数单位，则

z

2

的模为

_______________.

14．设

aR

，若函数

yeax,xR

有大于零的极值点，则实数

a

的取值范围是

_____

x

15．已知数列



a

n



满足：点



n,a

n



在直线

2xy10

上，若使

a

1

、

a

4

、

a

m

构成等比数列，则

m

______

16．（

5

分）国家禁毒办于

2019

年

11

月

5

日至

12

月

15

日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展

2019

年

全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击

“

开始答题

”

按钮后，系统自动生成

20

道题

.

已知某校高

二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是

17,20,16,18,19

，则这五位同学答对题数的方差

是

____________

．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数

f



x



xe2x

x

（

1

）求函数

f(x)

在

(1,f(1))

处的切线方程

（

2

）设函数

g(x)f(x)2lnx

，对于任意

x



0,



，

g(x)a

恒成立，求

a

的取值范围

.

18．（12分）等差数列



a

n



nN

不在下表的同一列

.

第一行

第二行

第三行

第一列

5

4

16

第二列

8

3

6

第三列

2

12

9



*



中，

a

，

a

，

a

分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数

1

2

3

（

1

）请选择一个可能的



a

1

,a

2

,a

3



组合，并求数列



a

n



的通项公式；

（

2

）记（

1

）中您选择的



a

n



的前

n

项和为

S

n

，判断是否存在正整数

k

，使得

a

1

，

a

k

，

S

k+2

成等比数列，若有，请

求出

k

的值；若没有，请说明理由

.



x4cos



19．（12分）在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为



（



为参数），将曲线

C

上各点纵坐标伸长到

y2sin





原来的

2

倍（横坐标不变）得到曲线

C

1

，以坐标原点

O

为极点，

x

轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线

l

的极坐标

方程为

4



cos



3



sin



250

.

（

1

）写出

C

1

的极坐标方程与直线

l

的直角坐标方程；

（

2

）曲线

C

1

上是否存在不同的两点

M



4,



1



，

N



4,



2



（以上两点坐标均为极坐标，

0



1

2



，

0



2

2



），

使点

M

、

N

到

l

的距离都为

3

？若存在，求

|



1





2

|

的值；若不存在，请说明理由

.

20．（12分）已知数列



a

n



满足

aaa2

12n

且

b

1

1

，

b

2

2

．

（

1

）求数列



a

n



的通项公式：

（

2

）求数列



b

n



的通项公式．

n



n1



2

（

nN

*

），数列



b

n



的前

n

项和

S

n



n



b

1

b

n



，（

nN

*

），

2

（

3

）设

c

n



11



，记

T

n

是数列



c

n



的前

n

项和，求正整数

m

，使得对于任意的

nN

*

均有

T

m

T

n

．

a

n

b

n

b

n1

21．（12分）已知函数

f



x



lnx

.

f(x)

，求函数

g



x



的单调区间，并证明函数

g



x



有唯一零点

.

2

x

11

a

（

2

）若函数

h(x)e

x

af(x1)

在区间



1,1e



上不单调，证明：

a

.

aa1

（

1

）设

g(x)

22．（10分）如图，正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为

2

，

E

为棱

B

1

C

1

的中点

.

（

1

）面出过点

E

且与直线

A

1

C

垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；

（

2

）求

BD

1

与该平面所成角的正弦值

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

C

【解题分析】

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案

.

【题目详解】

直线

l

1

:ax2y40

，

l

2

:x



a1



y20

，

l

1

l

2

的充要条件是

a



a1



2a2或a1

，当

a=2

时，化

简后发现两直线是重合的，故舍去，最终

a=-1.

因此得到

“

a1

”

是

“

l

1

l

2

”

的充分必要条件

.

故答案为

C.

【题目点拨】

判断充要条件的方法是：①若

p⇒q

为真命题且

q⇒p

为假命题，则命题

p

是命题

q

的充分不必要条件；②若

p⇒q

为假

命题且

q⇒p

为真命题，则命题

p

是命题

q

的必要不充分条件；③若

p⇒q

为真命题且

q⇒p

为真命题，则命题

p

是命题

q

的充要条件；④若

p⇒q

为假命题且

q⇒p

为假命题，则命题

p

是命题

q

的即不充分也不必要条件．⑤判断命题

p

与

命题

q

所表示的范围，再根据

“

谁大谁必要，谁小谁充分

”

的原则，判断命题

p

与命题

q

的关系．

2．

A

【解题分析】

由题意可得三角函数的定义可知：

sin





cos47sin47

，

cos47cos



sin47

，则：

sin

2

47cos

2

47sin

2

47cos

2

47

sin



13sin



cos13cos



sin13

cos47cos13sin47sin13

1

cos4713cos60.

2





本题选择

A

选项

.

3．

B

【解题分析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第

5

个个体的编号

.

【题目详解】

随机数表第

1

行的第

4

列和第

5

列数字为

4

和

6

，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下

46

，

64

，

42

，

16

，

60

，

65

，

80

，

56

，

26

，

16

，

55

，

43

，

50

，

24

，

23

，

54

，

89

，

63

，

21

，

…

其中落在编号

01

，

02

，

…

，

39

，

40

内

的有：

16

，

26

，

16

，

24

，

23

，

21

，

…

依次不重复的第

5

个编号为

21.

故选：

B

【题目点拨】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题

.

4．

A

【解题分析】

作

DD'AB

于

D'

,

DEAC

于

E

,

分析可得



再根据线面角的最小性判定







即可

.

【题目详解】

作

DD'AB

于

D'

,

DEAC

于

E

.

因为平面

DAB

平面

ABC

,

DD'

平面

ABC

.

故

ACDE,ACDD'

,

DED'

,



DAD'

,

再根据正弦的大小关系判断分析得







,

故

AC

平面

DED'

.

故二面角

DACB

为



DED'

.

又直线

DA

与平面

ABC

所成角为



DAD'

,

因为

DADE

,

故

sinDED'

DD'

DE

DD'

DA

sinDAD'

.

故







,

当且仅当

A,E

重合时取等号

.

又直线

AB

与平面

ADC

所成角为



,

且



DAD'

为直线

AB

与平面

ADC

内的直线

AD

所成角

,

故







,

当且仅

当

BD

平面

ADC

时取等号

.

故











.

故选：

A

【题目点拨】

本题主要考查了线面角与线线角的大小判断

,

需要根据题意确定角度的正弦的关系

,

同时运用线面角的最小性进行判定

.

属于中档题

.

5．

A

【解题分析】

令，构造，要使函数

，则

的值

.

，解得

有三个不同的零点

或，结合

（其中

的图象，并分

），则方程

，

需

两个情况分类要有两个不同的根

讨论，可求出

【题目详解】

令

故

，构造

在

，求导得

上单调递增，在

，当时，；当

时，

时，

，

，

时，

（其中

或，且

，

），则方程

，

，可画上单调递减，且

出函数的图象（见下图），要使函数

需要有两个不同的根（其中），则

有三个不同的零点

，解得

若

故

若

，即，则，则，且

，

，

，即，由于，故，故不符合题意，舍去

.

故选

A.

【题目点拨】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想

.

6．

B

【解题分析】

构造函数

F



x



f



x



1

，判断出

F



x



的单调性和奇偶性，由此求得不等式

f



a



f



a1



2

的解集

.

【题目详解】

构造函数

F



x



f



x



1ln

1x1x

x

，由

0

解得

1x1

，所以

F



x



的定义域为



1,1



，且

1x1x

F



x



ln

1x1x



1x



xlnx



lnx



F



x



，所以

F



x



为奇函数，而

1x1x



1x



F



x



ln

1x2



xln



1



x

，所以

F



x



在定义域上为增函数，且

F



0



ln100

.

由

1x1x





aa10

1



f



a



f



a1



2

得

f



a



1f



a1



10

，即

F



a



F



a1



0

，所以



1a1a0

.

2



1a11



故选：

B

【题目点拨】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题

.

7．

D

【解题分析】

画出可行域

,

将

zx2y

化为

y

【题目详解】

解

:

由约束条件



1

1z

x

,

通过平移

yx

即可判断出最优解

,

代入到目标函数

,

即可求出最值

.

22

2



02xy6

作出可行域如图

,



3xy6

化目标函数

z＝x2y

为直线方程的斜截式

,

y

当直线

y

故选

:

D.

【题目点拨】

1z

x

.

由图可知

22

1z

x

过

A



3,0



时

,

直线在

y

轴上的截距最大

,

z

有最大值为

3.

22

本题考查了线性规划问题

.

一般第一步画出可行域

,

然后将目标函数转化为

yaxbz

的形式

,

在可行域内通过平移

yax

找到最优解

,

将最优解带回到目标函数即可求出最值

.

注意画可行域时

,

边界线的虚实问题

.

8．

D

【解题分析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度

.

【题目详解】

根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：

由三视图知：

AD2

，

CE



所以

SC



DC

2

，

所以

3,

SD

2,

SA



SD

2



AD

2

22,

SB



SC

2



BC

2

22

，

所以该几何体的最长棱的长为

22

故选：

D

【题目点拨】

本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题

.

9．

C

【解题分析】

依题意可得

f(3x)f(x)

，即函数图像关于

x

【题目详解】

解：由

f(3x)ln(3x)ln[3(3x)]ln(3x)lnxf(x)

，

3

对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；

2

f(3x)f(x)

，所以函数图像关于

x

又

f



(x)

3

对称，

2

112x3



，

f(x)

在



0,3



上不单调

.

x3xx(x3)

故正确的只有

C

，

故选：

C

【题目点拨】

本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题

.

10．

A

【解题分析】