2024年4月28日发(作者：)

指数函数性质及图像

指数函数定义为y=a^x(a>0,a1)，其中，x 为“指数”，a 为“底

数”，y 为“值”。指数函数可以用于描述一定规律的大小之间的变化

关系。

从数学上讲，指数函数属于多项式函数中的特例，其特点是当变

量 x加 1，函数值 y 会翻倍或减半，而不像多项式函数那样只会减

少很小的数量，比如，当 x 从 0加到 1，y 会从 a^0加到 a^1。

指数函数的性质有如下几点：

（1）变量 x指数函数中的未知数，而 a是指数函数中的常量；

（2）当 a > 1，指数函数单调递增；当 a < 1，指数函数单调

递减；当 a = 1，指数函数是线性函数；

（3）任意两个底数不一样的指数函数互不相等，但两个有着相

同底数的指数函数则相等；

（4）指数函数可以增加或减少的极限是无穷大或无穷小；

（5）指数函数是可导函数，其导数可以由变量 x决定，只有当

x 为正数或0时其导数才有意义，如当 x 为正数时，其导数为 a^x *

ln(a)；

（6）对于指数函数而言，当其变量 x大时，其函数值 y 会越

大，也就是说随着 x增大，y按照指数函数变化，而不像线性函数那

样按照简单的等比数列变化。

二、指数函数的图像

指数函数的图像只有在二维坐标系内才能看到，在二维坐标系内，

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指数函数的图像具有以下几个特点：

（1）指数函数图像与底数 a正比，因此，当 a > 1，图像的斜

率增大，而 a < 1，斜率减小；

（2）指数函数的图像是一条弯曲的曲线；

（3）指数函数的变量 x 与底数 a取值有关，当 a = 1，x值大

小范围为所有实数；当 a > 1，x取值范围是所有正数；当 a < 1，

x取值范围是所有负数；

（4）指数函数的图像不会交叉，即，它的定义域和值域是相同

的；

（5）指数函数的图像没有不连续的部分，它表示的是一个连续

的函数。

三、指数函数的应用

指数函数的性质和图像有着广泛的应用，下面介绍几个比较常见

的指数函数的应用：

（1）指数函数在金融中有着重要的应用，例如，可以通过指数

函数来计算投资利息、通货膨胀率等；

（2）指数函数可以用来描述物理数据，例如压强温度曲线、热

变形速度温度曲线等；

（3）指数函数在社会学、政治科学和投票学中也有着广泛的用

途，它可以帮助我们进行统计分析和预测社会变化；

（4）指数函数也可以用来模拟电路中的电流电压曲线、正弦波

等。

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四、总结

指数函数是一种特殊的多项式函数，其定义为 y = a^x (a > 0,a

1)，其特点是当变量 x加 1，函数值 y 会翻倍或减半，指数函数的

性质有单调递增、单调递减、变量 x 与底数 a关等，指数函数的图

像是一条弯曲的曲线，可以看出指数函数随着变量 x增大，函数值 y

按照指数函数变化，指数函数有着广泛的应用，可以用于金融、物理、

社会学等各种领域。

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