常见函数的泰勒级数展开
泰勒级数的定义：
若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的
n阶泰勒公式为：
其中：，称为拉格朗日余项。
以上函数展开式称为泰勒级数。
泰勒级数在幂级数展开中的作用：
在泰勒公式中，取，得：
这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展
开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。
注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点
因此，如果f（x）在
的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。
处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这
个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。
几个重要的泰勒级数。参数
x
为复数时它们依然成立。
• 指数函数和自然对数:
• 几何级数:
• 二项式定理:
• 三角函数:
• 双曲函数:
• 朗伯W函数:
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