2024年4月28日发(作者：)
指数函数
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函数中的一种。它是定义
在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。
指数函数是数学中重要的函数。应用到值
e
上的这个函数写为 exp(
x
)。还可以等价
的写为
e
，这里的
e
是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称
为欧拉数。
指数函数对于
x
的负数值非常平坦，对于
x
的正数值迅速攀升，在
x
等于 0 的时
候等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（a^x）
/dx=a^x*ln(a)。
作为实数变量
x
的函数，
y
=
e
x 的图像总是正的(在
x
轴之上)并递增(从左向右看)。
它永不触及
x
轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，
x
轴是这个图像的水平渐近线。
它的反函数是自然对数 ln(
x
)，它定义在所有正数
x
上。
有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如
ka
x 的
指数函数
函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底
数为欧拉数 e 的指数函数。
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可
以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
在函数y=a^x中可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对
于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，
同时a等于０函数无意义一般也不考虑。
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3） 函数图形都是下凸的。
（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过
指数函数
程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函
数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水
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