2024年4月28日发(作者：)

0的0次方为何等于1？

没有思想的颠覆还谈何创新

重新定义指数

我们在小时候学习指数的时候经常会误解指数的定义，很多人认

为，指数就是重复连乘，这对于特殊的情况来说（指数是非零整数

时），是一个不错的解释，小学生也能够很快理解这个概念。

但是随着时间的推移，你见到的事物更多了，你就会在这个过程

中怀疑这种连乘的方法是否是失效了，因为你看到2

1.5

之类的东西，甚

至是更奇怪的，例如0

0

，而且是0

0

其结果居然是1，我记得高中时老

师对于这个概念一笔带过，就说这是它的“定义”，但对我来说我是

很难接受这个奇怪的定义的。后来想起这些问题，感觉这些概念有必

要随着自己见识的增长与时俱进了。

我们最先接触到的基本数学运算是加减乘除，“加减”与“乘除”

分别属于数学中的第一级和第二级运算，详情见《对数可以延长人类

寿命？》。我们想想在很小的时候，当我们学习刚开始算术的时候，

老师会教我们通过数指头的方法来完成加法的计算（例如5+6=11），

以及通过重复加法来实现乘法计算例如（2×3=2+2+2=6）（当然有

的老师只会教乘法表…）。不过不管怎么说，这一切看起来似乎都挺

自然的。

但上述方法当然也是针对简单或者说特殊的情况，当包含有负数

或者无理数的时候呢，这种方法似乎就行不通了。加减乘除本身并没

有问题，问题在于我们对算法的理解上出现了偏差，我们对这些算法

的理解是片面的是部分成立的，而不具有普适性。

为了使算法的描述具有普适性，不应单纯地用计数来实现加法，

而是将其看做是在一条直线上点的位置变化。这种位置可以是负的

（如-1），可以是在某些数之间（例如无理数），或者是在其他的维

度上（例如虚数

i

，详情请见《虚数不“虚”》）。

那么，更加完备的算法思想应当是：加法是一种“滑移”，例如：

+3就是向右滑移3个单位。乘法就是缩放，例如：×3就是扩展到原

来的3倍。

那么指数呢?

算法

加法

乘法

指数法

老思想

重复计数

重复相加

重复相乘

新思想

滑移

尺度缩放

随时间的增长

举一个具体的例子，对于指数3

2

，可以用以下的步骤进行分析

（这可能是个笨办法，但对于理解问题有益）：

•

设定初始值为1个单位量（指数前面的因子，指数3

2

前面的因

子为1，指初始值为1个单位数量，即1·3

2

，因为乘以1不影响结果，

所以省略不写了，但是要知道它的存在）(

original

)

•

设定每增长1个单位时间，量就增长到1个单位时间前的3倍

2个单位时间（即指数的幂）(

duration

)

（即指数的底数）(

growth

)

•

设定增长时间

对于以上过程，在数学上可以给出通式：

或者