2024年4月28日发(作者：)

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈．负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是

记作。当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

*

rsrs

(a0,r,sQ)

rsrs

（1）

aaa

； （2）

(a)a(a0,r,sQ)

；（3）

(ab)

r

a

r

b

r

(a0,b0,rQ)

．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中

x

是自变量，函数的定义域为

R

．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a1

定义域

R

值域

y0

在

R

上单调递增

非奇非偶函数

函数图象都过定

点

(0,1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在

[a,b]

上，

f(x)a

(

a0

且

a1

）值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

一、化解

x

0a1

定义域

R

值域

y0

在

R

上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定

点

(0,1)

⑴

a

3

b

2

3

ab

2

4

1



1





1

33

42



ab



ab



1



27



3

67

ab

(2)

()(0.002)

2

10(52)

1

(23)

0

.



a0,b0

）（

1

8

9

1

2

二、比较大小

1、

1.7

2.5

______1.7

3

； 2

0.8

0.1

______1.25

0.2

；3

1.7

3

______1.8

3

； 4

0.7

2

______0.8

2

；

5

1.7

0.3

______0.9

3.1

；

232

322

6设

a()

5

,b()

5

,c()

5

，则

a,b,c

的大小关系是，

abc

555

三、解指数方程

1 方程

96370

的解是___

xlog

3

7

______。

2 方程

9

x

23

1x

27

的根是 。

四、方程恒过定点

1已知函数

f



x



a

2已知函数

f(x)a

x1

xx

4

的图像恒过定点

P

，则点

P

的坐标是（



1,5



）

3

的图像恒过定点

P

，则点

P

的坐标是（

(1,2)

）

1x

五、指数函数的单调性问题

1指数函数

f(x)(a1)

是减函数，则实数

a

的取值范围是 .





3a



xa ， x1





3







上的增函数，那么

a

的取值范围是



，

2已知

f



x







是



 ，

3



.

x1



2







log

a

x ，

2x

六、指数函数的图像

1若则函数的图象必不经过（ B ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2已知函数

f(x)(xa)(xb)(ab)

，若

f(x)

的图象如图所示，则函数

g(x)ab

的图象是（ ）

七、指数函数中的值域问题

x

1

的值域是_____．

2

x

1

1

2

2

函数

y()

x2x1

的值域是

2

1函数

y

八、指数函数中的底数问题

(

(0,4]

)

1若指数函数

ya

在

[1,1]

上的最大值与最小值的差是

3a

，则底数

a

2函数

ya

2x

x

1

2

2a

x

1

（

a0

且

a1

）在区间

[1,1]

上的最大值为14，

a

的值是

a

1

3

或a3

九、指数函数中的绝对值问题

1 指数函数

f(x)24

，若

f(x)m

有且只有两实数根，则实数

m

的取值范围

x