2024年4月28日发(作者：)

指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果

xa

，那么

x

叫做

a

的

n

次方根，其中

n

>1，且

n

∈

N

．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

n

00

。

当

n

是奇数时，

n

a

n

a

，当

n

是偶数时，

n

a

n

|a|



2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

n

*



a(a0)



a(a0)

a

m

n



n

a

m

(a0,m,nN

*

,n1)

m

n

a





1

a

r

m

n



1

n

a

m

(a0,m,nN

*

,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）

a

·

aa

rrs

(a0,r,sR)

；

rsrs

(a)a

（2）

(a0,r,sR)

；

rrs

(ab)aa

（3）

(a0,r,sR)

．

x

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数

ya(a0,且a1)

叫做指数函

数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0

66

55

44

33

22

1

1

1

1

-4-2

0

-1

246-4-2

定义域 R

值域y＞0

在R上单

调递减

非奇非偶

函数

函数图象

都过定点

（0，1）

0

-1

246

定义域 R

值域y＞0

在R上单

调递增

非奇非偶

函数

函数图象

都过定点

（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，

f(x)a(a0且a1)

值域是

[f(a),f(b)]

或

[f(b),f(a)]

（2）若

x0

，则

f(x)1

；

f(x)

取遍所有正数当且仅当

xR

；

（3）对于指数函数

f(x)a(a0且a1)

，总有

f(1)a

；

指数函数·例题解析

x

x

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝3

1

2x

(2)y＝2

x2

1(3)y＝33

x1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．

(2)由2

x+2

－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－3

x-1

≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

（1）

y2

练习：

【例2】指数函数y＝a

x

，y＝b

x

，y＝c

x

，y＝d

x

的图像如图2．6－2所示，

则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C． b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，

则得b＜a＜1＜d＜c．

练习：指数函数①

( ).

② 满足不等式 ,则它们的图象是

1

x4

|x|

； （2）

y()

； （3）

y42

2

3

xx1

1

；