2024年4月26日发(作者：)

　第２３卷　第５期

　Ｖｏｌ．２３　Ｎｏ．５

　　　　　　

黄河科技学院学报

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＡＮＧＨＥＳ＆ＴＣＯＬＬＥＧＥ

２０２１年５月

　　　　　　

　

Ｍａｙ２０２１

犹豫模糊集决策理论与方法综述

殷仕淑，信　芳

（安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠２３３０４１）

摘要：犹豫模糊集是在模糊信息的基础上通过采用多个隶属度来充分刻画原始信息的一种信

息表达方式。与模糊集相比它能够全面刻画专家给出的决策信息，与直觉模糊集相比它更加符合

人在决策时的犹豫性。对犹豫模糊集决策理论和方法进行综述，介绍犹豫模糊集的发展历程，分别

回顾犹豫模糊集的信息融合理论、信息测度理论、偏好关系理论以及多属性决策理论，总结了犹豫

模糊环境下决策理论与方法的未来研究方向。

关键词：多属性决策；犹豫模糊集；信息融合；信息测度；偏好关系

中图分类号：Ｃ９３４　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９６－７９０Ｘ（２０２１）０５－００２６－０９

ＤＯＩ：１０．１９５７６／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９６－７９０Ｘ．２０２１．０５．００６

ＲｅｖｉｅｗｏｆＨｅｓｉｔａｎｔＦｕｚｚｙＳｅｔＤｅｃｉｓｉｏｎＴｈｅｏｒｙａｎｄＭｅｔｈｏｄ

ＹｉｎＳｈｉｓｈｕ，ＸｉｎＦａｎｇ

（ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，ＢｅｎｇｂｕＣｉｔｙ，ＡｎｈｕｉＰｒｏｖｉｎｃｅ２３３０４１）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｉｓａｋｉｎｄｏｆｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｙｕｓｉｎｇｍｕｌｔｉｐｌｅ

ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐｄｅｇｒｅｅｓｔｏｆｕｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｆｕｚｚｙｓｅｔｓ，ｉｔｃａｎｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｄｅｃｉ

ｓｉｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｇｉｖｅｎｂｙｅｘｐｅｒｔｓｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ，ｉｔｉｓｍｏｒｅｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ

ｗｉｔｈｐｅｏｐｌｅ＇ｓｈｅｓｉｔａｔｉｏｎｉｎｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｒｅｖｉｅｗｓｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｄｅｃｉ

ｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｓ，ｔｈｅｎｒｅｖｉｅｗｓｔｈｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｕｓｉｏｎ

ｔｈｅｏｒｙ，ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｔｈｅｏｒｙ，ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｕｌｔｉ－ａｔｔｒｉｂｕｔｅｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆ

ｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｓ，ａｎｄｆｉｎａｌｌｙｉｔｓｕｍｍａｒｉｚｅｓｔｈｅｆｕｔｕｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｉｎ

ｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉａｔｔｒｉｂｕｔｅｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ；ｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔ；ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｕｓｉｏｎ；ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅａｓｕｒｅ；ｐｒｅｆ

ｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ

行为方式。一个完整的决策过程包括明确决策目

标、选择研究对象、确定备选方案和属性值权重、采

用合适的排序方法得到最优选择方案等步骤。

最初，人们利用一些具有精确数值的数学模型

来解决决策问题。随着经济社会的发展，决策环境

的不确定性和决策问题的复杂性越来越高、决策的

信息量越来越大、决策结构越来越异化，精确的数学

模型已不能满足人们在实际决策中对不确定性和犹

［１］

豫性的描述需求。基于此，Ｚａｄｅｈ提出隶属度的概

０　引言

在政治、经济、文化、军事等各个领域，决策的身

影随处可见。大到国家宏观政策的制定、企业最佳

绿色供应商的选择，小到个人出去旅游选择何种交

通方式，都需要进行决策。决策分析是基于决策者

价值观、知识结构以及偏好来确定和选择方案的一

种认知过程。决策的结果会导致人们从备选方案中

选择最优的一个作为自己的行动理念或者下一步的

收稿日期：２０２０－１２－２９

基金项目：安徽省自然科学基金青年项目（１８０８０８５ＱＦ１９６）；安徽省高等学校自然科学重点研究项目（ＫＪ２０２０Ａ００１１）；安

徽财经大学教研重点项目（ａｃｊｙｚｄ２０１８１４）

作者简介：殷仕淑（１９７３—），女，安徽蚌埠人，教授，硕士生导师，研究方向为管理决策优化。

殷仕淑，等：犹豫模糊集决策理论与方法综述

念并建立模糊集（ＦｕｚｚｙＳｅｔ）理论，模糊集理论及其

后续的拓展形式利用模糊值代替精确数来描述决策

的初始信息，这种方法的应用使不确定性难以刻画

的问题得到解决。为解决专家在几个评估值之间犹

［２］

Ｔｏｒｒａ于２０１０年提出豫不决（即犹豫性）的问题，

２７

值拓展到一个偏序集）、２－型模糊集（Ｔｙｐｅ－２

，隶属度的取值为模糊集）、ｎ－型模糊集ＦｕｚｚｙＳｅｔ

（Ｔｙｐｅ－ｎＦｕｚｚｙＳｅｔ）、区间模糊集（Ｉｎｔｅｒｖａｌ－ｖａｌｕｅｄ

７－９］

ＦｕｚｚｙＳｅｔ，隶属度取值为某一区间）等

［

。但是上

述对模糊集的改进仅仅是拓展了隶属度的取值范

［１０］

围，并没有在信息表达上加以拓宽。Ａｔａｎａｓｓｏｖ于

ＨｅｓｉｔａｎｔＦｕｚｚｙＳｅｔ）的概念，它允许专了犹豫模糊集（

家在对方案进行评估时选取多个可能的评估值，即

使用几个可能的值来描述某个元素属于某个集合的

程度，这既不同于模糊集运用单一值来刻画隶属度，

１９８５年提出了直觉模糊集的概念。与模糊集相比，

直觉模糊集除了使用隶属度，还使用非隶属度和犹

豫度两个维度，因此直觉模糊集能够更加完整地描

也不同于２－型模糊集采用遵循某种函数分布的值

来刻画隶属度。与直觉模糊集相比，犹豫模糊集可

以在决策过程中考虑各个专家不同的偏好。

可以看出，在实际决策过程中犹豫模糊集作为

一种决策工具可以更加全面、细致地表达决策者的

犹豫性和模糊性从而提升决策结果的科学性和可信

度。随着社会的发展，近年来，国内外学者在犹豫模

糊集的信息融合理论、信息测度理论和决策方法等

方面已经取得了相当的成果，且已有研究将理论成

果应用于生物

［３］

、航空

［４］

、物流

［５］

、教育

［６］

等领域。

同时，基于犹豫模糊集的决策方法在智慧医疗、政府

政务评价、能源管理、机器学习等国家重点发展的领

域也有着巨大的应用潜力。因而对犹豫模糊集的研

究具有重要的理论价值和广泛的应用前景。然而，

截至目前还没有文章对犹豫模糊集决策理论做出系

统阐述并对其应用前景进行展望。基于此，本文对

犹豫模糊集决策理论及方法进行了综述。首先介绍

犹豫模糊集的发展历程，然后分别对它的信息融合

理论、距离测度理论、偏好关系理论以及决策方法理

论进行阐述，最后对犹豫模糊决策理论与方法的未

来研究方向进行展望。

１　犹豫模糊集的发展历程

１９６５年Ｚａｄｅｈ

［１］

首次提出隶属度的概念，并在

此基础上构建了模糊集理论。模糊集理论将传统特

征函数的取值由离散值｛０，１｝扩展到区间［０，１］，拓

宽了隶属度的取值范围，为决策者在决策过程中提

供多种选择。但是模糊集只能用［０，１］中某一个数

值来表示元素属于某一集合的隶属度，这不能完全

反映人类在对事物认知过程中的不确定性和犹豫

度。为了克服Ｚａｄｅｈ提出的模糊集的局限性，国内

外学者从不同角度提出了改进方法，从而形成了许

多模糊集的衍生概念。具体包括Ｌ－型模糊集

（Ｔｙｐｅ－ｎＦｕｚｚｙＳｅｔ，将隶属度函数由原先的一个取

述决策者对方案的偏好度，在横向上拓宽表达信息。

尽管如此，学者发现这些拓展形式和直觉模糊

集依然无法解决决策过程中专家意见难以统一的问

题。实际决策中，人们往往会在两个或者有限个隶

属度的取值之间犹豫不决，此时，为保留决策信息的

完整性，最好的做法就是把隶属度所有可能的取值

不重复地列出来。为此，学者Ｔｏｒｒａ

［２］

提出了模糊集

的另外一种拓展形式，即犹豫模糊集（ＨｅｓｉｔａｎｔＦｕｚｚｙ

Ｓｅｔ）。这就是犹豫模糊集的核心思想

［１－１０］

。

设Ｘ是一个固定的集，则犹豫集是Ｘ的每个元

素映射到区间［０，１］子集的函数，Ｘｉａ和Ｘｕ

［１１］

首次

给出了犹豫模糊集的数学表达形式和比较方法：

Ａ＝｛＜ｘ，ｈ

Ａ

（ｘ）＞｜ｘ

∈

Ｘ｝

其中，ｈ

Ａ

（ｘ）是区间［０，１］中有限个数值的集

合，表示元素ｘ关于集合Ａ的一些可能的隶属度，称

ｈ＝ｈ

Ａ

（ｘ）为犹豫模糊元素，集合Ａ为犹豫模糊集。

假设ｈ为犹豫模糊元素，则称ｓ（ｈ）＝

１

ｌ

γ

为

ｎ

∑

γ∈

ｈ

犹豫模糊元素ｈ的得分，其中ｌ

ｈ

为ｈ中元素的个数，

若ｓ（ｈ

１

）＞ｓ（ｈ

２

），则ｈ

１

优于ｈ

２

，记为ｈ

１

＞ｈ

２

；若

ｓ（ｈ

１

）＝ｓ（ｈ

２

），则ｈ

１

与ｈ

２

无差别，记为ｈ

１

～ｈ

２

。

２　犹豫模糊集的信息融合理论

评价信息的集成是指将多个指标值集结成一个

能够表现评价对象总体情况的综合评价值。在多属

性群决策问题中，人们通常利用两种方式对信息进

行集成，一种是针对某一个属性，把所有决策者对某

一方案的意见进行集成，然后再对某一方案的所有

属性进行集成；另外一种则是针对一种方案，把某一

决策者给出的所有属性值进行集成，然后对每一方

案所有决策者的意见进行集成。无论哪一种方式，

信息融合在多属性群决策问题中都具有举足轻重的

地位。

在模糊信息的发展过程中，学者对每一种形式

２８

黄河科技学院学报

以几何级数增加，此时计算量巨大，将导致以此为基

础的信息集成非常困难且难以应用。只有将上述问

题解决后才能使基于犹豫模糊集理论的决策过程更

加可靠，使决策结果更加准确，决策方法更加便于应

用。

的模糊信息都给出了大量的集成算子。其中比较有

１２－１４］

、直觉模代表性的有：直觉模糊加权集成算子

［

１５］

糊Ｂｏｎｉｆｅｒｒｏｎ－Ｍｅａｎ（ＢＭ）算子

［

等。对于犹豫模

糊集而言，由于存在多个隶属度，其运算和集成的研

究要相对复杂些。

当评价指标之间相互独立时，应用最广泛的集

成算子是源于数学学科的算数平均算子、几何平均

算子和调和平均算子。包括：广义犹豫模糊有序加

２２］１６］

权平均算子

［

、广义犹豫模糊加权几何算子

［

等。

３　犹豫模糊集的信息测度理论

决策信息的测度主要包括信息的距离测度、相

似性测度、关联性测度和熵测度。其中距离测度和

但是，学者们发现利用这些算子进行信息集成时要

么仅仅考虑每个数据的有序位置而忽略数据本身的

重要性，要么只考虑数据本身的重要性而忽略数据

的有序位置。为了克服这些缺点，Ｘｕ和Ｘｉａ

［１７］

提出

了广义犹豫模糊混合平均算子和广义犹豫模糊混合

几何算子。广义犹豫模糊混合平均算子和广义犹豫

模糊混合几何算子可以同时对数据本身及其有序位

置进行加权。

ｈ

ｉ

（ｉ＝１，２，…，ｎ）为一组犹豫模糊元素，ｗ＝

（ｗ

１

，ｗ

２

，…，ｗ

ｎ

）

Ｔ

为其加权向量ｗ

ｉ

∈

［０，１］，ｉ＝１，

ｎ

２，…，ｎ，且

∑

ｗ

ｉ

＝１，ｎ为平衡系数，与集成相关联

ｉ＝１

的权重向量为

ω

＝（

ω

１

，

ω

２

，…，

ω

ｎ

）

Ｔ

，且满足

ω

１

∈

ｎ

［０，１］和

∑

ω

ｉ

＝１。

ｉ＝１

广义犹豫模糊混合平均算子：（ｈ

１

，ｈ

２

，…ｈ

ｎ

）＝

（

ｎ·

ω

ｈ

λ

）

１

ｉ＝１

ｉ

σ

（ｉ）

λ

，其中＞０，

·

ｈ

·

λ

σ

（ｉ）

是ｈ＝ｎｗ

ｋ

ｈ

ｋ

（ｋ＝１，

２，…，ｎ）中第ｉ大者。

广义犹豫模糊混合几何算子：（ｈ

１

，ｈ

２

，…ｈ

ｎ

）＝

１

λ

（

ｎ¨¨¨



ｉ＝１

（

λ

ｈ

ｎｗ

σ

（ｉ）

）

ω

ｉ

其中

λ

＞０，ｈ

σ

（ｉ）

是ｈ

ｋ

＝ｈ

ｋ

ｋ

（ｋ＝１，

２，…，ｎ）中第ｉ大者。

当各指标之间存在关联度时，Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算

子和Ｃｈｏｑｕｅｔ积分能够很好地适应这种情形。

Ｚｈｕ

［１８］

于２０１３年提出的犹豫模糊Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算

子能够刻画犹豫模糊元素之间的关系。Ｓｈａｏ和

Ｚｈａｎｇ

［１９］

提出的犹豫模糊Ｃｈｏｑｕｅｔ积分不仅能够刻

画元素之间的关系而且能够反应外部的不确定性。

但是随着研究的不断深入，学者们逐渐发现，在

大多数情况下，特别是在多属性群决策过程中，这种

处理方式并不合理：犹豫模糊信息的集成计算繁琐。

以广义犹豫模糊混合平均算子为例，当对含有３个

犹豫模糊元素的犹豫模糊集进行集成时，要进行８

次运算。如果犹豫模糊元素增加，相应的运算次数

相似性测度通常作为一对互补的概念出现，主要用

来衡量数据以及数据集之间的距离和相似性大小；

关联性用来反应两个变量间在多大程度上呈线性变

化关系，是数据分析中的重要测度；熵则用来衡量决

策信息包含的不确定性的大小。

距离测度和相似性测度被广泛应用在决策、人

工智能、股票走势预测等领域。最为常用的距离测

度方法有汉明距离、欧几里得距离、豪斯敦夫距离。

犹豫模糊集中很多研究也都涉及到了距离测度的问

题。Ｘｕ和Ｘｉａ

［２０－２１］

基于汉明距离、欧几里得距离、

豪斯敦夫距离分别提出了不同的犹豫模糊距离测度

公式。考虑到每个属性的权重不同，Ｘｕ和Ｘｉａ

［１８］

随

后提出了犹豫模糊加权距离测度。在此基础上，

Ｔｏｎｇ和Ｙｕ

［２２］

考虑到决策者的偏好选择，改进了Ｘｉａ

和Ｘｕ的距离测度公式，提出了新的犹豫模糊距离

测度公式。Ｌｉ和Ｚｅｎｇ

［２３－２４］

等提出广义犹豫模糊汉

明距离、欧几里得距离、豪斯敦夫距离测度和相关的

犹豫模糊相似性测度，并将其应用在多属性决策和

机器学习中。Ｃｈｅｎ等人

［２５］

提出犹豫模糊集的相似

性测度，以此为基础提出了犹豫模糊聚类算法。

Ｓｕ

［２６］

在Ｘｉａ和Ｘｕ的基础上，根据汉明距离、欧几里

得距离、豪斯敦夫距离测度给出了多种加权形式下的

犹豫模糊距离测度并研究了其在人工智能中的应用。

关联性表示两个变量在多大程度上以线性的方

式一起移动，它在决策、市场预测、医疗诊断，以及政

治、金融、法律等现实世界问题中有着广泛的应用。

Ｈｕａｎｇ和Ｗｕ

［２７］

首次利用期望值的概念来定义关联

系数，其取值范围在［－１，１］。Ｈｏｎｇ

［２８］

基于Ｔ

２

拓展

原理计算Ｌ－Ｒ模糊数的关联系数，在无需建立规

划模型和计算机协助的情况下得出模糊数的精确关

联系数。在此基础上，Ｘｕ和Ｘｉａ

［２９］

系统介绍了犹豫

模糊关联系数的概念，并给出一些关联系数计算公

式，同时证明了他们的性质。Ｌｉａｏ等人

［３０］

从统计学

的角度，提出了新的犹豫模糊相关系数计算公式。

殷仕淑，等：犹豫模糊集决策理论与方法综述

［３１］

学者Ｔｙａｇｉ则研究了对偶犹豫模糊相关系数在多

２９

的长度相等，同时要对犹豫模糊元中的元素进行排

序，这种做法不仅会丢失原始信息而且不能够保证

数据的合理性。再者，在进行犹豫模糊信息间关联

性测度时，一些相关系数只能表示犹豫模糊信息间

的相关强度，不能反应正负极性，这就违背了统计学

的意义。因此，目前急需构造既能够保留原始信息

又符合统计学意义的犹豫模糊距离测度算法和关联

性测度算法。

属性决策中的运用。

熵的测量也是犹豫模糊集决策理论的重要研究

课题。熵被广泛应用于模式识别、近似推理、图像压

［１］

ａｄｅｈ指出在模糊集中，熵是一缩及决策等范畴。Ｚ

种模糊测度，概念一经提出便受到广泛关注。Ｋａｕｆ

［３２］

ｍａｎｎ根据模糊集的隶属度函数和明晰函数之间

［２２］

的距离度量介绍了一种新的模糊熵公式。Ｙａｇｅｒ

根据一个模糊集与它的补集之间的差别来度量模糊

集的熵。在直觉模糊集的熵测度方面已经存在较为

成熟的理论体系。Ｚｈａｎｇ

［３２］

给出了直觉模糊集熵的

公理化概念，这一定义已经提出便被许多学者所采

用。Ｓｅｎ

［３３］

等人提出了直觉模糊集一系列不同的熵

测度，并且从数学角度验证了他们的性质。Ｖｌａｃｈｏｓ

等

［３４］

提出了直觉模糊的差别信息和交叉熵的概念，

同时根据直觉性和模糊性解释了模糊集和直觉模糊

集熵之间的关联性。在直觉模糊集的基础上。Ｘｉａ

和Ｘｕ

［１７］

提出了犹豫模糊熵和犹豫模糊交叉熵的概

念并验证了它们的优良性质：

ｌ

ｈ

（ｉ）（ｌ－ｉ＋１

Ｅ

１

（ｈ）＝

１

π

（ｈ

σ

＋ｈ

σ

ｈ

）

）

ｌ

∑

（ｓｉｎ＋

ｈ

（

槡

２－１）

ｉ＝１

４

（ｉ）

ｓｉｎ

π

（２－ｈ

σ

－ｈ

σ

（ｌ

ｈ

－ｉ＋１）

）

４

－１，

ｌ

ｈ

σ

（ｉ）

σ

（ｌ

Ｅ

２

（ｈ）＝

１

ｌ

（ｃ

π

（ｈ＋ｈ

ｈ

－ｉ＋１）

）

ｈ

（

槡

２－１）

∑

ｏｓ

ｉ＝１

４

＋

（ｉ）（ｌ－ｉ＋

ｃｏｓ

π

（２－ｈ

σ

－ｈ

σ

ｈ

１）

）

４

－１，

ｌ

ｈ

（ｉ）（ｌ－ｉ

Ｅ

１ｈ

σ

＋ｈ

σ

ｈ

＋１）

）

σ

（ｉ）

σ

（ｌ

ｈ

－ｉ＋１）

３

（ｈ）＝

ｌ

（ｌｎ

ｈ＋ｈ）

ｈ

ｌｎ２

∑

＋

ｉ＝１

２２

２－ｈ

σ

（ｉ）

－ｈ

σ

（ｌ

ｈ

－ｉ＋１）

）２－ｈ

σ

（ｉ）

－

σ

（ｌ

ｈ

－ｉ＋１）

２

ｌｎ

ｈ）

２

）Ｅ

４

（ｈ）＝

１

ｌ

ｈ

σ

（ｉ）

σ

（ｌ－ｉ＋１）

ｌ

（１－

λ

（（（

ｈ＋ｈ

ｈ

）

）

λ

１

＋

ｈ

（２

１

）

λ

２

－１）

∑

（１－

ｉ＝１

２

ｈ

σ

（ｉ）

＋ｈ

σ

（ｌ

ｈ

－ｉ＋１）

）

λ

２

）

１

）

λ

２

－１）

综上所述，目前学术界针对犹豫模糊决策信息

的距离测度、相似性测度、关联性测度和熵测度的研

究获得了迅速发展，并取得了很多重大的阶段性成

果。但是，现有对犹豫模糊决策信息进行测度的公

式存在明显弊端。例如：在测量两组犹豫模糊信息

的距离和相似性时，必须要保证两个犹豫模糊集中

各犹豫模糊元的元素相等，否则就要向较短的犹豫

模糊元中加入虚拟元素使得其与较长的犹豫模糊元

４　犹豫模糊集的偏好理论

偏好关系（也被称为互反偏好关系）和积性偏

好关系是两种较为有用的决策信息表达方式，通过

决策者对备选方案和决策属性的两两对比获得相应

的决策信息。决策过程的不确定性和决策信息的复

杂性催生了模糊类型的偏好关系。Ｏｒｌｏｒｓｋｉ和Ｔａｎ

ｎｉｎｏ

［３５－３６］

提出并研究了模糊偏好关系（ＦｕｚｚｙＰｒｅｆｅｒ

ｅｎｃｅＲｅｌａｔｉｏｎ），为人们考虑到偏好因素时的模糊信

息表达提供了新途径。但是，随着群决策研究的进

展，为了得到一个合理的结果，很多时候需要多个专

家采用

０－１标度来对方案进行两两比较，此时多个

专家可能会在几个可能的数值之间犹豫不决且意见

无法统一，在这种情况下，我们就可以把几个可能的

数值看作犹豫模糊元。当所有的专家都给出偏好方

案时，就建立了一个犹豫模糊偏好关系。

犹豫模糊偏好关系可以很好地描述以下两种情

形：１）单个决策者对事物的偏好关系在几个取值之

间犹豫不决；２）多个决策者给出不同取值的偏好关

系，且意见无法统一。例如：一个决策者在给出事物

Ａ和Ｂ之间的偏好关系时在０．２，０．３，０．４之间犹豫

不决，此时偏好信息就可以表示为｛０．２，０．３，０．４｝，

这种表示方法充分保留了原始信息；再比如，有３个

专家对于同一偏好关系表态，３个专家给出了０．２，

０．３，０．４的结果，且专家之间无法达成统一，此时偏

好关系就可以表示为｛０．２，０．３，０．４｝。

值得注意的是，犹豫模糊偏好关系是基于模糊

偏好关系发展而来的，模糊偏好关系的评估值区间

为［０－１］且以０．５为中心对称分布，但是当我们对

其进行应用时会发现偏好等级并不是均匀对称的，

而是不均匀地分布在某个数值周围。尤其是在我们

的直觉中，表达不良信息偏好等级间的距离一般不

大于表达良好偏好等级间地距离。为了处理标度问

题Ｘｉａ和Ｘｕ

［３７］

将Ｓａａｔｙ提出的１～９标度值应用于

犹豫模糊信息偏好关系的评估。

３０

表１　０～１标度和１～９标度

０～１标度值

０．１

０．２

０．３

０．４

０．５

０．６

０．７

０．８

偏好程度

极度不偏好

非常不偏好

一般不偏好

稍微不偏好

同样偏好

稍微偏好

一般偏好

非常偏好

１～９标度值

１／９

１／７

１／５

１／３

１

３

５

７

黄河科技学院学报

决策中，由于每个人只是结构和经历的不同，专家之

偏好程度

极度不偏好

非常不偏好

一般不偏好

稍微不偏好

同样偏好

稍微偏好

一般偏好

非常偏好

间极可能存在不可调和、完全相左的意见，在这种情

况下，如何解决共识问题成为我们下一步研究的目

标。

５　犹豫模糊集的多属性决策方法理论

多属性决策（也称有限方案多目标决策）是指

在有限个备选方案中，在考虑多个属性的情况下，通

过对备选方案排序，选择最优备选方案的问题。多

０．９极度偏好９极度偏好

其他介于０～１或１～９地中间值表示临近两个标度的中间值

　　将犹豫模糊偏好关系定义如下：令Ｘ＝｛ｘ

１

，ｘ

２

，

…，ｘ

ｎ

｝为一给定的集合，则基于Ｘ的一个犹豫模糊

偏好关系矩阵Ａ可以被表示为Ａ＝（

α

ｉｊ

），其中

α

ｉｊ

＝

｛ａ

ｓ

ｉｊ

｝ｓ＝１，２，３，……１

σ

（ｓ）

ａ

ｉｊ

｝，

α

ｉｊ

满足以下条件：

α

ｉｊ

＋

α

ｌ

α

－ｓ＋１

ｊｉ

ｉｊ

＝１，ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ；

α

ｉｉ

＝｛０．５｝，ｉ＝１，２，…，

ｎ；ｌ

α

ｉｊ

＝ｌ

α

ｉｊ

，ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ。

α

σ

（ｓ）

ｉｊ

（ｓ＝１，２，…，ｌ

α

ｉｊ

）为

α

ｉｊ

中第ｉ小的值。

在此基础上，学者分别提出了犹豫模糊偏好关

系的优先权导出模型

［３８－４０］

、一致性理论模型

［４１－４３］

和基于群体偏好关系的犹豫共识模型

［４４－４６］

。犹豫

模糊偏好关系及其理论模型不仅在理论中取得了阶

段性成果，在实际应用中也取得了一些进展。例如：

李彦华和杨星宇等人

［４７］

基于犹豫模糊偏好关系的

群决策模型，首先从经济性、适用性、风险性和复杂

性四个维度构建ＰＰＰ融资模式的评价指标体系，然

后调整相关专家权重，最后根据模型结果完成度

ＰＰＰ融资项目的评估。刘霞

［４８］

从区域的社会、经

济、环境３个角度出发提出２１个评价水资源配置方

案的指标，并给出基于犹豫模糊偏好关系下的评价

方法。Ｃｈａｉ

［４９］

针对战略供应商选择问题，在对目前

已有解决战略供应商选择问题的决策模型进行回顾

和分析之后，他总结出：基于犹豫模糊偏好信息的评

价模型在处理该问题上有很大的优势。

犹豫模糊偏好关系及其理论模型的提出为决策

者提供了较为灵活的信息表达方法，同时也比较符

合人们的犹豫模糊思维特性。但是对基于犹豫模糊

偏好关系的优先权导出模型、一致性理论模型和犹

豫共识模型的研究仍存在很大的不足。例如：依托

现有的一致性定义构建的决策过程缺少仿真实验的

支持，该部分缺陷可能直接导致决策过程复杂性的

上升或者是决策结果的不严谨性；再比如在实际群

属性决策被广泛应用于政治、军事等领域。在犹豫

模糊集之前，人们已经将很多经典的决策方法推广

到模糊环境中去。例如：模糊ＴＯＰＳＩＳ法、模糊

ＥＬＥＣＴＲＥＩ法和ＩＩ法、模糊ＰＲＯＭＥＴＨＥＥ法、模糊

ＶＩＫＯＲ法、模糊ＴＯＤＩＭ法、模糊ＬＩＮＭＡＰ法、模糊

ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ法等。可以说，对于模糊环境下的多属

性决策方法的研究已存在较为成熟的体系。然而由

于外界事物的复杂性、不确定性和人类思维的犹豫

性、模糊性，在实际进行决策时，我们得到的信息通

常是不完整的，模糊环境下的多属性决策方法已经

无法满足人们对决策结果精度的要求。犹豫模糊环

境下的多属性决策则可以在充分保留原始信息的基

础上提高决策结果的准确性。但是，相较于模糊环

境下的多属性决策方法，犹豫模糊多属性决策方法

的研究则刚刚起步，内容较少。

基于ＴＯＰＳＩＳ法。ＴＯＰＳＩＳ法也称逼近理想解的

排序方法。由Ｈｗａｎｇ

［５０］

于１９８１年提出，它认为最

优方案应该最接近正理想解最远离负理想解。

Ｗａｎｇ和Ｃｈａｎ

［５１］

在权重已知和未知的两种情况下，

给出将犹豫模糊和ＴＯＰＳＩＳ方法相结和进行最佳决

策的方法。方承武

［５２］

等人将前景理论和模糊ＴＯＰ

ＳＩＳ方法相结合，探讨累计前景理论中模糊ＴＯＰＳＩＳ

决策方法的现实运用情况。Ｂｅｇ等人

［５３］

在双层犹

豫模糊语言环境下探讨在雾霾治理中怎样应用

ＴＯＰＳＩＳ方法。

基于ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ法。ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ决策方法

是荷兰学者Ｐａｅｌｉｎｃｋｆｗ

［５４］

于１９７６年发明的一种基

于优先关系的决策方法。Ｇｒｉｆｆｉ

［５５］

根据ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ

决策方法的思想，将其应用在统计学中，形成可以用

来做定量回的ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ方法模型，简称ＱＵＡＬＩ

ＲＥＧ。Ｃｈｅｎ等

［５６－５７］

将ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ法进一步应用

到决策信息为模糊语言的情境中，并将其提出的２

－型梯形模糊ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ法运用于医疗诊断中。

殷仕淑，等：犹豫模糊集决策理论与方法综述

表２　犹豫模糊决策方法的优点

选　项

包含完整的初始决策信息，能够全面反映决策者的选择

在计算过程中丢失的信息较少

５８］

考虑到人类决策时的犹豫性。Ｚｈａｎｇ等

［

人提出犹

３１

不含任何模糊信息

的决策方法

×

√

模糊决

策方法

√

×

犹豫模糊

决策方法

√

√

２）改进犹豫模糊的信息测度理论。目前对于（

犹豫模糊信息测度的理论研究较为完善，但是仍然

存在以下问题：一方面，从形式上看，许多学者在对

犹豫模糊元素进行距离测度时都是按照向量的测度

豫模糊ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ的新概念，同时，利用基于符号

距离的比较方法，定义了一致性／不一致性指数、加

权一致性／不一致性指数和综合一致性／不一致性指

数。陈泱

［５９］

则利用这种方法来评价上市公司的财

务绩效。

我们用表２来更加直观地表示犹豫模糊决策方

法相较于其他决策方法的优点。

对于其他多属性决策方法，例如：ＥＬＥＣＴＲＥＩ

法和ＩＩ法、ＬＩＮＭＡＰ法、ＴＯＤＩＭ法等均被学者们应

用到犹豫模糊环境下

［６０－６１］

。目前，针对犹豫模糊环

境下的多属性决策方法的研究主要集中在理论方

面，实际应用的研究成果较少。然而，从上文中可以

看出基于犹豫模糊集的决策方法已经被尝试应用一

些领域并取得了阶段性的成果，未来也必将在社会

方方面面的决策问题中发挥重要作用。因而，对犹

豫模糊环境下的决策方法的研究是必要且具有长远

的应用价值。

６　未来研究展望

犹豫模糊集通过利用多个隶属度来描述决策者

对备选方案的评估值，能够很贴切地刻画人们在决

策过程中面对外界不确定性时的犹豫性。本文通过

对犹豫模糊集发展脉络进行梳理，对犹豫模糊集的

信息融合理论、信息测度理论、偏好关系理论以及犹

豫模糊多属性决策理论进行全面回顾发现：犹豫模

糊集的理论构建已经较为完整并且取得了初步的应

用成果。为了进一步夯实和完善相关的理论基础，

并将其更有效地应用到社会生活的实际决策问题

中，未来的研究可以从以下方面展开：

（１）优化犹豫模糊信息的集成方式。前文曾提

到，我们在处理犹豫模糊环境下的群决策问题时，经

常需要将多个专家给出的评估信息整合在一起。当

我们对大规模的犹豫模糊信息进行集成时，此时繁

杂的运算将会成为决策过程的阻碍，整个决策过程

的效率也会因此受到影响。因此，在对犹豫模糊信

息进行集成时，在充分保留原始信息和体现决策过

程合理性的前提条件下如何简化运算过程将会成为

未来研究的重点。

来处理，即按照一定的方法给长度较短的犹豫模糊

元补充元素使之和较长的一方长度相等，然后基于

汉明距离、欧几里得距离、豪斯敦夫距离给出测度公

式，这种方法固然有可取之处，但是在处理原始信息

时有些过于随意，减弱了犹豫模糊集在刻画初始信

息时全面性的优势。另一方面，现有的关于犹豫模

糊信息关联系数的计算只能描述两个变量之间的线

性相关强度关系，而不能描述正负极性关系。因此，

在今后的研究中，需要找到如何在不改变原始信息

的基础上测度犹豫模糊集的距离和包含正负关系的

相关系数的算法。

（３）优化犹豫模糊偏好关系衍生模型。目前关

于犹豫模糊偏好关系衍生的模型主要包括优先权导

出模型、一致性理论模型和犹豫模糊群体共识模型。

但是由于犹豫模糊偏好关系的研究起步较晚，基于

犹豫模糊偏好关系理论的衍生模型仍然存在很多不

足。例如：在优先权导出模型方面，前人的研究成果

大都是基于犹豫模糊偏好关系的一致性，思路较为

单一；在已有对一致性理论模型的研究中没有文献

对犹豫模糊偏好关系的一致性进行严格的数学证

明；在群体共识模型中，都是通过综合群体意见不断

调整个人意见，忽视了人的主观性。在未来的研究

中可以依托相关数学理论对不同的模型加以改进和

完善。

（４）拓宽犹豫模糊多属性决策理论应用范围。

在ＣＮＫＩ以“ＨｅｓｉｔａｎｔＦｕｚｚｙ”“ＱＵＡＬＩＦＬＥＸ”为关键词

进行搜索，逻辑词为“ａｎｄ”，以“篇名”和“主题”为搜

索路径，共发现１３篇中外文文献，其中５篇关于实

际应用的文献且均集中在供应商评价和企业绩效评

价领域，其他犹豫模糊多属性决策方法的实际应用

情况与此类似，在此不再赘述。犹豫模糊集的表达

方式决定了其在实际应用中的良好前景，但是目前

的应用还处在初级阶段，在未来的研究中应结合犹

豫模糊多属性决策方法的特性，将其应用于风险管

理、机器学习、投资评价等社会各个领域。

３２

参考文献：

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殷仕淑，等：犹豫模糊集决策理论与方法综述

３３

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［２５］ＣＨＥＮＮ，ＸＵＺＳ，ＸＩＡＭＭ．Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ

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［２９］ＸＵＺＳ，ＸＩＡＭＭ．ＳｏｍｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｆｏｒａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎｈｅｓｉｔａｎｔａｎｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＳｃａｔｔｙ’ｓ１

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［３０］ＬＩＡＯＨ，ＸＵＺ，ＺＥＮＧＸ．Ｎｏｖｅｌｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｂｅｔｗｅｅｎｈｅｓｉｔａｎｔｆｕｚｚｙｓｅｔｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｄｅ

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