2024年4月16日发(作者：)

不等式及其性质（基础）知识讲解

知识梳理

要点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”

表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

符号

“≠”

“＜”

“＞”

“≤”

“≥”

读法

读作“不等于”

读作“小于”

读作“大于”

读作“小于或等

于”

读作“大于或等

于”

意义

它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪

个大，哪个小

表示左边的量比右边的量小

表示左边的量比右边的量大

即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量

即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，

x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合

不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

要点二、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或

ab



)．

cc

ab



)．

cc

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或

要点诠释：

对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条

性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除

以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．

【典型例题】

类型一、不等式的概念

1．用不等式表示：

(1)x与-3的和是负数；

(2)x与5的和的28％不大于-6;

(3)m除以4的商加上3至多为5．

【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示

不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．

【答案与解析】

解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)

m

3

≤5．

4

【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解

这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，

则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．

举一反三：

【变式】

aa

的值一定是（ ）．

A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零

【答案】D.

22

2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a减去10不大于2”可表示为a-10

＜2； ③“x的倒数超过10”可表示为

22

1

＞10；④“a，b两数的平方和为正

x

数”可表示为a+b＞0．其中正确的个数是（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

【答案与解析】

①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；

22

②“a减去10不大于2”可表示为a-10≤2；故②错误；

③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为

1

＞10．故③

x

正确；

④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可

22

表示为a+b＞0．故④正确．

综上所述，正确的说法有3个．故选C．

【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫

做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．

类型二、不等式的基本性质

3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．

（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；

（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；

（3）若a＞b，则 ac＞bc；

22

（4）若ac＞bc，则a＞b；

22

（5）若a＞b，则 a（c+1）＞b（c+1）．

（6）若a＞b＞0，则＜． ．

【答案与解析】

解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；

（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；

（3）若a＞b，当c=0时则 ac＞bc错误，故错误；

222

（4）由ac＞bc得c＞0，故正确；

222

（5）若a＞b，根据c+1，则 a（c+1）＞b（c+1）正确．

22

22

（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．

故答案为：√、×、×、√、√、√．

【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向

改变．

4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).

A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．

ab



cc

【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．

【答案】A.

【解析】

A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；

B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；

C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；

D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；

【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1

和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的

方向要改变．

举一反三：

【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞

则m的取值范围是 ．

【答案】m＜0.

解：∵将“mx＜3”变形为“x＞

∴m的取值范围是m＜0．

故答案为：m＜0．

3

”，

m

3

”，

m