2024年4月10日发(作者：)
第 48 卷 第 8 期
2022 年 8 月
自 动 化 学 报
ACTA AUTOMATICA SINICA
Vol. 48, No. 8
August, 2022
同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计
吴 阳
张建成
12
摘 要 针对同时含有未知输入和测量干扰的不确定系统研究了全维和降维观测器设计问题. 首先, 利用待定系数法给出
了全维观测器的结构和存在条件. 该条件完全由原系统的系统矩阵给出, 易于检验. 对于降维观测器, 为了消除测量干扰的
影响, 提出了一种新的测量输出构造方法, 使得新构造的测量输出不再包含干扰信号. 此外, 证明了全维和降维观测器存在
条件的内在统一性, 即全维观测器所需要满足的观测器匹配条件和强可检测条件在研究降维观测器所要讨论的新的系统中
都可以得到保持. 因而, 在全维观测器存在条件下, 也可以设计一个相应的降维观测器. 最后, 给出了一个数值例子验证所
提方法的有效性.
关键词 未知输入观测器, 测量干扰, 全维观测器, 降维观测器
引用格式 吴阳, 张建成. 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计. 自动化学报, 2022, 48(8): 2108−2118
DOI 10.16383/.c190505
Full- and Reduced-order Observer Design for Systems With Both
the Unknown Inputs and Measurement Disturbances
WU Yang
1
ZHANG Jian-Cheng
2
Abstract The present paper is concerned with the full-order and reduced-order observer designs for uncertain sys-
tems with unknown inputs and measurement disturbances. Firstly, the structure and existence conditions of the full-
order observer are given by the undetermined coefficient method. This condition is completely given by the system
matrices of the original system and is easy to test. For the reduced-order observer, in order to eliminate the influ-
ence of measurement disturbances, a new measurement output construction method is proposed in which the newly
constructed measurement output no longer contains disturbance signals. In addition, the consistency of the exist-
ence conditions between the full-order and the reduced-order observers is proved. That is, the observer matching
condition and strong detectable condition that the full-order observer needs to satisfy can be maintained in the new
system to be discussed in the reduced-order observer design. Therefore, under the existence condition of the full-or-
der observer, we can also design a corresponding reduced-order observer. Finally, a numerical example is given to
verify the effectiveness of the proposed method.
Key words Unknown input observer, measurement disturbance, full-order observer, reduced-order observer
Citation Wu Yang, Zhang Jian-Cheng. Full- and reduced-order observer design for systems with both the un-
known inputs and measurement disturbances.
Acta Automatica Sinica
, 2022, 48(8): 2108−2118
在原控制系统存在未知输入信号的条件下, 基
于原系统的结构并利用其已知输入和可测输出构造
出一个新的系统, 以此达到对原系统状态和未知输
入估计的目的, 这样的新系统就称为原系统的一个
收稿日期 2019-07-02 录用日期 2019-10-21
Manuscript received July 2, 2019; accepted October 21, 2019
国家自然科学基金(61803181), 中国博士后科学基金(2019M651695),
江苏高校 “青蓝工程” 优秀青年骨干教师项目基金 (苏教师函 [2021]
11)资助
Supported by National Natural Science Foundation of China
(61803181), China Postdoctoral Science Foundation (2019M
651695), and Outstanding Young Backbone Teacher Project of
Jiangsu University “Qinglan Project” (Su Teacher [2021] No. 11)
本文责任编委 张卫东
Recommended by Associate Editor ZHANG Wei-Dong
1. 无锡太湖学院智能装备工程学院 无锡 214064 2. 江南大学
理学院 无锡 214122
1. School of Intelligent Equipment Engineering, Wuxi Taihu
University, Wuxi 214064 2. School of Science, Jiangnan Uni-
versity, Wuxi 214122
未知输入观测器(Unknown input observer, UIO)
[1−4]
.
未知输入观测器在工程中有着广泛的应用背景. 例
如, 在机械工具的应用中, 工具施加的切割力作为
系统的输入很难测量, 或者是即便可测但是测量的
代价太高. 如果把切割力作为机械工具系统的未知
输入, 就可以构建UIO将系统状态和该未知输入同
时估计出来
[5]
. 事实上, 控制系统的执行器故障, 外
部干扰以及在基于混沌同步的保密通信的信号接收
端所需要还原的未知信号等都可以看作系统的未知
输入
[6−10]
. 因此, UIO技术在故障检测和重构, 基于
观测器的鲁棒控制以及保密通信等方面发挥着重要
作用
[11−12]
. 几十年来, 一直是控制理论和工程学者研
究的热点问题
[12−18]
.
需要指出的是, 经典的UIO技术主要针对不含
8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2109
测量干扰的系统. 诚然, 一旦测量输出受到不确定
干扰的影响, 其观测器设计会变得异常困难. 然而,
对于许多实际系统来说, 输出通道中又往往不可避
免地受到传感器故障, 测量噪声等不确定干扰信号
的影响. 因此, 对同时含有未知输入和测量干扰系
统研究如何消除输出通道中的不确定干扰并进而设
计观测器具有重要意义, 并已经受到众多学者们的
关注
[19−23]
. 例如, Dimassi等
[19]
针对同时含有未知输
入和测量噪声的系统研究了自适应滑模观测器的设
计问题. Yang等
[20]
利用滑模微分器技术解决了观
测器匹配条件不满足时的观测器设计问题. Li等
[23]
基于
H
∞
理论讨论了未知输入和测量噪声同时重构
问题. 注意到, 上述针对同时含有未知输入和测量
干扰系统观测器设计问题的研究中大部分文献都采
用经典的描述系统方法来消除测量干扰
[21]
. 该方法
的思路是通过增维的思想将原系统状态和测量干扰
写成一个新的状态向量. 这样以来, 原来的一般系
统就可以写成一个描述系统, 而基于新的状态向量
其输出方程在形式上已经不再包含干扰. 进而, 可
针对该描述系统进行观测器设计. 该方法的优点是
思路简单且在估计状态的同时可以将测量干扰也估
计出来. 但是该方法在将一般系统写成描述系统的
同时一方面会增加系统维数, 进而增加系统的复杂
性, 另一方面还可能会改变系统的干扰解耦条件.
此外, 基于该方法, 系统干扰解耦条件只能基于描
述系统的参数矩阵给出而不能基于原系统的参数矩
阵给出, 这也会给观测器设计条件的验证带来一定
的困难.
另一方面, 相比于全维观测器, 降维观测器由
于只需要估计系统的部分状态, 因而可以具有较低
的维数. 这意味着, 在工程中只需要使用较少的积
分器就可以将全部的状态估计出来, 不但可以节约
硬件成本, 还可以在很大程度上降低系统的复杂性.
然而, 对于同时含有未知输入和测量干扰的系统,
由于测量干扰的存在, 经典的降维观测器设计变得
极其困难. 这是因为经典的降维观测器设计中一般
包含两个步骤: 1) 利用状态变换将部分状态信息从
测量输出中提前分离出来; 2) 利用测量输出构造动
态观测器将剩余的状态估计出来. 因此, 如果测量
输出中包含有未知的干扰信号, 经典的降维观测器
设计方法中的步骤1)和步骤2)都将无法实施, 也
就无法设计降维观测器. 因此, 找到一种在不增加
系统状态维数和设计保守性的前提下同时能够消除
测量干扰的降维观测器设计方法很有意义.
基于以上观察, 本文针对同时含有未知输入和
测量干扰的系统全维和降维观测器设计问题展开较
为系统的研究. 本文的主要贡献和创新点体现在:
1)利用待定系数法给出并证明了全维观测器结构
和存在条件. 该条件完全由原系统的参数矩阵表示,
易于验证. 其中, 对存在条件的分析和证明是本文
难点所在. 2)为消除测量干扰对降维观测器设计的
影响, 提出了构造新的测量输出的思路, 使得新的
测量输出不再包含干扰信号. 与经典的描述系统方
法相比, 该方法不需要增加系统状态的维数. 3)证
明了全维和降维观测器存在条件的内在统一性, 即
全维观测器设计所需要满足的观测器匹配条件和强
可检测条件在研究降维观测器设计时所要讨论的新
的系统中都可以得到保持. 因而, 只要全维观测器
存在, 降维观测器也存在.
本文内容安排如下: 第1节是问题描述和主要
结论. 第2节给出仿真算例来验证方法的有效性.
最后在第3节给出结论.
1 问题描述与主要结论
1.1 问题描述
考虑一类同时具有未知输入和测量干扰的不确
定系统
{
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)+Dω(t)
y(t)=Cx(t)+Fη(t)
(1)
其中,
x∈R
n
,u∈R
m
,y∈R
p
,ω∈R
q
,η∈R
r
分别为
系统的状态, 控制输入, 可测输出, 未知输入和测量
干扰向量.
A,B,D,C,F
分别为已知的常数矩阵.
不失一般性, 假设
n>p≥q+r
且矩阵
D,F
满秩.
本文将讨论系统(1)的全维和降维观测器存在
条件和设计方法. 在第1.2节首先通过对全维观测
器设计的分析得出其存在条件. 在第1.3节将证明
在全维观测器的存在条件下, 也能设计一个相应的
降维观测器.
1.2 全维观测器
本节来讨论全维观测器的设计. 构造具有如下
形式的全维观测器
{
z˙(t)=Nz(t)+Gu(t)+Hy(t)
xˆ(t)=z(t)+Ey(t)
(2)
其中,
z(t)
为观测器状态,
xˆ
为
x
的估计.
N,G,H
和
E
为待定的常数矩阵. 令
e(t)=x(t)−xˆ(t)
为状
态估计误差, 则有
e(t)=x(t)−z(t)−Ey(t)=
(I
n
−EC)x(t)−z(t)−EFη(t)
2110自 动 化 学 报48 卷
其中,
I
n
表示
n
维的单位矩阵. 计算
e(t)
的动态方
程可得
e˙(t)=(I
n
−EC)(Ax(t)+Bu(t)+Dω(t))−
Nz(t)−Gu(t)−Hy(t)−EFη˙(t)=
(I
n
−EC)Ax(t)+(I
n
−EC)Bu(t)+
(I
n
−EC)Dω(t)−N(ˆx(t)−Ey(t))−
Gu(t)−Hy(t)−EFη˙(t)=
Ne(t)+[(I
n
−EC)B−G]u(t)+
[(I
n
−EC)A+(NE−H)C−N]x(t)+
(I
n
−EC)Dω(t)+(NE−H)Fη(t)−
EFη˙(t)
(3)
因此, 若要
e(t)→0,t→∞
, 须有
N=(I
n
−EC)A+(NE−H)C(4)
G=(I
n
−EC)B(5)
KF=0(6)
(I
n
−EC)D=0(7)
EF=0(8)
K=NE−H(9)
且矩阵
N
为Hurwitz稳定阵.
显然, 若先能确定
E,K
, 那么根据矩阵方程
(4) ~ (9), 我们还能确定矩阵
H,G
和
N
. 下面, 给
出能保证式(4) ~ (9)成立和矩阵
N
可稳的条件以
及相应的引理.
假设 1. 系统(1)的系数矩阵满足观测器匹配
条件,
[
即
]
rank
0F0
CD0F
=rank(D)+2×rank(F)(10)
引理 1. 假设1成立, 当且仅当存在矩阵
K
和
E
使得式(6) ~ (8)成立.
证明. 矩阵方程(6) ~ (8)可重写为
[
KE
]
[
0F0
]
[]
CD0F
=
D00
(11)
因此,
存在
K
和
E
使得式
(11)成立的条件是
0F0
[
rank
CD0F
=rank
0F0
]
D00
CD0F
.(12)
而
0F0
rank
CD0F
=
D00
I
p
00F0
rank
0I
p
−C
0
CD0F
=
00I
n
D00
0F0
rank
00F
=
D00
rank(D)+2rank(F)
(13)
根据式(12)和式(13)可直接得出引理的结论. □
为了保证矩阵
N
可稳, 给出假设2和相应的结
论引理2.
假设 2. 系统(1)的系统矩阵满足强可检测条
件, 即对于所有具有非负实部的复数
[
s
都有
rank
sI
n
−AD0
]
C0F
=n+rank(D)+rank(F)
引理 2. 系统(1)满足强可检测条件, 则存在矩
阵
K
和
E
使得矩阵
N
为Hurwitz稳定.
证明. 注意到
N=(I
n
−EC)A+KC=A−
[
KE
]
[
−C
]
CA
(14)
其中, 矩阵
K
和
E
满足式
[
(11). 记
Σ=
0F0
]
CD0F
Υ=
[
D00
]
则由式(11)得矩阵
K
和
E
为
[
KE
]
=ΥΣ
†
−Z
(
I
)
2p
−ΣΣ
†
(15)
其中,
Σ
†
为矩阵
Σ
的广义逆矩阵, 满足
ΣΣ
†
Σ=Σ
,
Z
为具有适当维数的任意矩阵. 将式(15)代入到
式(14), 得
[
N=A−
[
ΥΣ
†
−Z
(
I
)]
−C
]
2p
−ΣΣ
†
CA
=
[[
A−ΥΣ
†
−C
]
CA
−Z
(
I
)
C
]
2p
−ΣΣ
†
−CA
=
Π
1
−ZΠ
2
其中
8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2111
[
Π
1
=A−ΥΣ
†
Π
2
=I
2p
−ΣΣ
()
†
−C
CA
[
]
]
C
−CA
为常数矩阵. 因此, 为了证明
N
可稳定, 只需要证
明
(Π
1
,Π
2
)
可检测.
事实上, 对于任意具有非负实部的复数
s
, 都有
sI
n
−AΥ
]
[
C
rank
=
Σ
−CA
sI
n
−AΥ
I
n
−ΥΣ
†
[]
†
C
rank
0I
2p
−ΣΣ
=
Σ
−CA
0ΣΣ
†
([])
−C
†
0
sI
n
−
A−ΥΣ
sI
Υ
rank
[
n
−A
C
]
−CA
Σ
=
sI
n
−AD00
rank
C0F0
=
−CACD0F
I
n
00
rank
0I
p
0
×
−C0I
p
sI
n
−AD00
C0F0
=
−CACD0F
rank
sI
−AD00
n
C0F0
=
−sC00F
I
n
00
rank
0I
p
0
×
0sCI
p
sI
n
−AD00
C0F0
×
−sC00F
I0
n
00
0I
q
00
00I
r
0
=
00−sI
r
I
r
sI
n
−AD00
rank
C0F0
=
000F
[
rank(F)+rank
sI
n
−AD0
]
C0F
另一方面,
CA
rank
(
[]
I
2p
−ΣΣ
†
)
C
0
[
−CA
=
ΣΣ
†
C
]
−CA
Σ
([])
†
−C
sI
n
−
A−ΥΣ
CA
0
rank
(
[]
†
)
C
0
I
2p
−ΣΣ
−
=
[
CA
ΣΣ
†
C
]
Σ
(
−CA
[])
sI
n
−
A−ΥΣ
†
−C
rank
(
[
CA
]
+
I
−ΣΣ
)
C
2p
†
−CA
rank
(Σ)
(17)
由式(16)和式(17)并结合假设1知, 对于所
有具有非负实部的复数
(
s
都有
[
−C
])
rank
sI
n
−
A−ΥΣ
†
CA
(
I
ΣΣ
†
)
[
C
]
2p
−
=n
−CA
即
(Π
1
,Π
2
)
可检测. □
注 1. 系统(1)满足强可检测条件
[1]
, 即对于任
意初值
x(0)
和任意控制输入
u
(t)
都有
y
(t)≡0⇒
x(t)→0,t→∞
. 该条件能够保证观测器误差系统
的稳定性.
由引理1和引理2可知, 当系统(1)满足假设
1和假设2时, 全维观测器(2)存在, 由此我们给出
定理1.
定理 1. 基于假设1和假设2, 存在增益矩阵
(16)
K,E,G,H
和Hurwitz稳定矩阵
N
满足式(4) ~
(9), 则系统(2)为系统(1)的一个全维观测器, 且
xˆ(t)→x(t),
t→∞
.
证明. 由引理1和引理2立即可得到本定理的
2112自 动 化 学 报48 卷
结论. □
我们将全维观测器的设计步骤总结为算法1.
算法 1. 全维观测器的设计
步骤 1. 判断系统(1)是否同时满足假设1和
假设2, 若是, 进入下一步; 否则, 设计失败.
步骤 2. 计算矩阵
Σ,Υ
和
Υ
†
, 选取增益矩阵
Z
使得矩阵
N
为Hurwitz稳定阵.
步骤 3. 计算矩阵
G,H,E
和
N
, 构造全维观测
器(2).
注 2. 在全维观测器设计中, 我们不光要将未知
输入
ω(t)
和测量干扰
η(t)
解耦(即保证式(5) ~ (8)
成立), 还要保证解耦完成以后误差系统极点的可配
置性(即矩阵
N
为Hurwitz稳定). 如何分析得到假
设1和假设2, 并证明假设1和假设2如何保证上
述性质是全维观测器设计过程中的难点所在.
注 3. 本小节讨论了全维观测器的设计方法和
存在条件. 在下一小节讨论降维观测器设计时将证
明在全维观测器存在条件下我们也可以设计一个相
应的降维观测器.
1.3 降维观测器
本节讨论系统(1)的降维观测器设计. 为了突
破测量干扰信号对经典的降维观测器设计方法的限
制, 本小节通过构造新的测量输出提出一种新的降
维观测器设计方法.
根据矩阵的广义逆理论, 将系统(1)的输出方
程左右两边同时左乘矩阵
I
p
−FF
−
, 得
y¯(t)=Cx
¯
(t)(18)
其中,
y¯(t)=(I
p
−FF
−
)y(t)
和
C
¯
=(I
p
−FF
−
)C
,
矩阵
F
−
为矩阵
F
的任意一个满足
FF
−
F=F
的广
义逆矩阵.
{
则系统(1)可写为
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)+Dω(t)
y¯(t)=Cx
¯
(t)
(19)
注 4. 在系统(19)中构造了一个新的输出(18)
来代替原系统的输出, 以此消除了原系统输出通道
中测量干扰的影响. 对于系统(19), 已经证明只要
其满足强可检测条件, 即对于任意具有非负实部的
复数
s
[
rank
sI
n
−AD
]
C
¯
0
=n+rank(D)(20)
和观测器匹配条件
rank
(
CD
¯
)
=rank(D)(21)
则不难对其设计一个降维观测器
[1−2, 5]
. 因此, 下面将
证明在假设1和假设2成立的条件下, 新系统(19)
也同时满足式(20)和式(21).
引理 3. 假设1成立, 当且仅当
rank
(
CD
¯
)
=
rank(D).
证明. 根据假设1可知
rank(D)+
[
2rank(F)=
rank
0F0
]
CD0F
=
I
p
0
[
rank
0FF
−
0F0
]
0I
−FF
−
CD0F
=
p
0
rank
FF
−
CD
¯
F0
0F
=
CD
¯
00
0
rank
FF
−
CD
¯
F0
0F
CD
¯
00
I00
q
0I
r
0
=
−F
−
CD
¯
0I
r
0F0
rank
¯
00F
=
rank
(
CD00
CD
¯
)
+2rank(F)
因此, 有
rank
(
CD
¯
)
=rank(D)
. □
引理 4. 假设2成立, 当且仅当系统(19)满足
强可检测条件, 即对于任意具有非负实部的复数
s
,
都有
[]
rank
sI
n
−AD
C
¯
0
=n+rank(D)
证明. 由假设2知, 对于任意具有非负实部的
复数
s
有
n+rank(
[
D)+rank(F)=
rank
sI
−AD0
]
n
C0F
=
I
n
0
[
rank
0FF
−
sI
D0
]
n
−A
=
0I
p
−FF
−
C0F
sI
n
−AD0
rank
FF
−
C0F
=
C
¯
00
sI
−AD0
I
nn
00
rank
FF
−
C0F
0I
q
0
=
C
¯
00
−F
−
C0I
r
sI
n
−AD0
rank
00
C
¯
F
=
[
00
rank(F)+rank
sI
]
n
−AD
C
¯
0
8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2113
这意味着对于任意具有非负实部的复数
[
s
rank
sI
]
都有
n
−AD
C
¯
0
=n+rank(D)
基于引理3和引理4的结论可得到引理5.
□
引理 5
[5]
. 系统(19)同时满足强可检测条件和
观测器匹配条件
[
, 则存在可逆矩阵
T
和
S
, 使得
A
¯
=TAT
−1
=
A
¯
][
11
A
¯
12
B
¯
]
1
[]
A
¯
21
A
¯
,B
¯
=TB=
22
[
B
¯
D
¯
=TD=
I
q
,CCT
¯
−
1
=
I
q
0
]
2
¯
0
=S
0C
¯
22
其中,
A
¯
11
∈R
q×q
,B
¯
1
∈R
q×m
且
(A
¯
22
,C
¯
22
)
可检测.
证明. 由
rank(D)=q
知
[
(
T
)
−1
T
D
T
]
0
−1
=
DD
∈R
n×n
D
⊥
存在且非奇异, 且
CT
¯
0
=[C
¯
1
C
¯
2
]
, 其中
C
¯
1
∈
R
p×q
,
C
¯
2
∈R
p×(n−q)
, 有
CD
¯
=CT
¯
[
0
T
0
−1
D=
C
¯
1
C
¯
]
[
I
]
q
2
=C
¯
0
1
根据引理3
¯
可知
C
为列满秩矩阵, 因此矩阵
(
1
C
¯
)
−1
S=
1
T
C
¯
1
C
¯
T
(
1
p×p
C
¯
)
⊥
∈R
1
[
存在且非奇异, 且有
SC
¯
=
I
]
q
[]
1
0
∈R
p×q
. 另记
SC
¯
¯
2
=
C
21
∈R
p×(n−q)
, 其中,
C
¯
21
∈R
q×(n−q)
C
¯
,
C
¯
22
22
∈R
(p−q)×(n−q)
, 有
[
SCT
¯
=S[C
¯
¯
]
1
C
¯
2
]=[SC
¯
1
SC
¯
2
]=
I
q
C
21
0
0C
¯
22
[]
定义矩阵
T=
I
q
C
¯
21
−1
0I
T
n−q
0
, 有
[
C
¯
=SCT
¯
−1
=SCT
¯
I
]
0
q
−
C
¯
21
[
I
][
0I
=
n−
q
C
¯
21
I
q
−
C
¯
]
q
21
[
0C
¯
22
I
]
0I
=
n−q
q
0
0C
¯
22
且
[
D
¯
=TD=
I
q
C
¯
]
21
[
0
T
0
−1
D=
I
]
I
n
[
−q
][
q
C
¯
21
I
q
I
]
q
0I
n−q
0
=
0
□
基于引理5, 对系统(19)作状态变换
x¯=Tx
, 得
x¯
˙
1
(t)=A
¯
11
x¯
1
(t)+A
¯
12
x¯
2
(t)+B
¯
1
u(t)+ω(t)(22)
x¯
˙
2
(t)=A
¯
21
x¯
1
(t)+A
¯
22
x¯
2
(t)+B
¯
2
u(t)(23)
[
y
¯
(t)=Sy¯(t)=
y
¯
t)
][
x¯
1
(t)
]
y¯
1
(
t)
=
2
(
C
¯
x
(24)
22
¯
2
(t)
下面给出定理2.
定理 2. 基于引理1和引理2, 取增益矩阵
L
使
得矩阵
A
¯
22
−L
C
¯
22
为Hurwitz稳定, 则系统
ˆ
x¯
˙
2
(t)=A
¯
22
x
ˆ
¯
2
(t)+A
¯
21
y
¯
1
(t)+
B
¯
(
2
u(t)+Ly
¯
2
(t)−C
¯
22
ˆ
x¯
)
(25)
[]
xˆ(t)=T
−1
y
¯
ˆ
x¯
1
(t)
2
(t)
(26)
为系统(1)的一个降维观测器(维数
n−p
)且
xˆ(t)→x(t),t→∞
.
证明. 根据状态变换可知状态向量
x(t)=
T
−1
x¯(t)
. 又
x¯
1
(t)=y
¯
1
(t)
. 因此, 为了证明
xˆ(t)→
x(t),t→∞
, 只需证明
ˆ
x¯
2
(t)→x¯
2
(t),t→∞
.
令
e
2
(t)=
ˆ
x¯
2
(t)−x¯
2
(t)
为观测器误差. 用式
(25)减去式(23), 得
e˙(t)=
(
A
)
2
¯
22
−L
C
¯
22
e
2
(t)
由于矩阵
A
¯
22
−L
C
¯
22
为Hurwitz稳定矩阵, 可知
e
2
(t)→0,t→∞
. □
我们将降维观测器的设计步骤总结为算法2.
算法 2. 降维观测器的设计.
步骤 1. 判断系统(1)是否同时满足假设1和
假设2, 若是, 进入下一步; 否则, 设计失败.
步骤 2. 求矩阵
F
−
, 并计算
y
和
C
¯
.
步骤 3. 根据引理5求得
A
¯
22
,A
¯
21
,B
¯
2
,C
¯
22
和矩
阵
T
.
步骤 4. 选取矩阵
L
使得
A
¯
22
−L
C
¯
22
为Hurwitz
稳定阵, 并构造全维观测器(25)和(26).
注 5. 本小节研究了系统(1)的降维观测器设
计, 其创新点和难点体现在: 1)构造了新的不含测
量干扰的输出. 并基于该输出实现了观测器的实质
性 “降维”. 2)证明了原系统(1)满足的观测器匹配
条件和强可检测条件在由新的输出构成的新系统(19)
中都可以得到保持.
2114自 动 化 学 报48 卷
注 6. 本文在全维和降维观测器设计中采用干
扰解耦的方式来处理未知输入
ω(t)
和测量干扰
η(t)
.
因此, 只要干扰解耦条件(观测器匹配条件) (10)成
立, 无论
ω(t)
和
η(t)
为何种类型的干扰, 其影响都
可以在观测器中得到完全消除.
注 7. 注意到文献[20]和[23]也研究了同时含
有未知输入和测量干扰系统的观测器设计问题. 文
献[23]讨论了
H
∞
观测器. 该观测器存在条件较弱,
但它仅能实现
H
∞
意义下的状态估计, 并不能实现
渐近估计. 文献[20]针对该系统提出了一种新的解
决方案, 弱化了观测器匹配条件. 但是该方案必须
使用测量输出的一阶甚至高阶微分信号, 因此容易
受到测量噪声的影响. 而本文提出的方法只需要使
用测量输出本身而不必使用其高阶微分信号. 在仿
真部分将进一步说明这一点.
2 数值仿真
本节给出一个数值例子, 并用其验证方法的有
效性.
考虑系统(1)且其系统参数为
−6.51400.97710.9771
A=
8.000−2.40000
0
,D=
1
8.0000
00
−2.40001
[]
B=
0.62500
,C=
010
[
0
]
00.6250
001
,F=
1
其中, 未知输入
ω(t)=5.2sin(3.8t)
, 测量干扰
η(t)=
3.5cos(4.7t)
. 由于控制输入
u(t)
为已知的, 它不影
响系统的能观性. 因此不妨假设
u(t)=0
.
2.1 全维观测器设计
容易验证该系统满足观测器匹配条件(假设1)
和强可检测条件(假设2), 故根据定理1和定理2,
我们一定可以设计全维和降维观测器实现对系统状
态的重构.
首先, 求得矩阵
000
00
Σ=
010
100
0
,
Υ=
100
101
100
进而求得矩阵
Π
1
和
Π
2
. 然后, 选取增益矩阵
−4.5441−0.0000−0.0000−0.0000
Z=
1.00000.00000.00000.0000
3.81920.00000.00000.0000
使得矩阵
N
的特征值为
{−1,−6.125,−2.4}
. 此时
可求得全维观测器的系数矩阵
−6.51405.52120.9771
N=
0.0000−1.0000−0.0000
0.0000−1.4192
−0.00000
−2.4000
G=
−0
.
.
0000
0000
−
0
0
.
.
0000
62500.6250
1.9542−0.0000
H=
−0.0
−0.
0000
00000
.
.
0000
0000
−0.00000.0000
E=
1.00000.0000
1.00000.0000
为验证该观测器的有效性, 假设系统(1)的状
态初值为
x(0)=[−1−20]
T
, 观测器初值为
z(0)=
12]
T
. 图1给出了原系统的状态曲线和观测器估
计的状态曲线. 可以看出, 本文设计的全维观测器
很好地实现了对原系统状态的渐近估计.
1
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−1
0
1234
Time /s
5678910
2
0
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
−
−
2
4
01234
Time /s
5678910
2
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
图 1 系统状态及其估计(全维观测器)
Fig. 1 Actual states and their estimations
(full-order observer)
2.2 降维观测器设计
求得矩阵 的一个广义逆矩阵
F
−
=[01]
, 而后
构造一个新的测量输出
y¯(t)=(I
p
−FF
−
)y(t)
及
分布矩阵
C
¯
=
(
I
10
]
p
−FF
)
[
−
C=
0
000
容易验证, 在原系统满足观测器匹配条件和强
可检测条件下, 新系统
(
A,D,C
¯
)
也满足观测器匹
配条件和强可检测条件. 根据引理5的算法, 求得
状态变换矩阵
S=I
2
和
01.00000
T=
−
−
0
0
.
.
7071
7071
0
0
.
.
5000
5000
−
0
0
.5000
.5000
[1
8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2115
并进而求得降维观测器
(24)和(25)的参数矩阵
¯
[
−5
=
A
¯
11
A
¯
12
]
−2.4000−5.6569
A
A
¯
21
A
¯
=
22
−1.3818−3.−2
.
.
6569
7479
−1.3818−1.
7661
3661−5.1479
B
¯
[
¯
]
0.62500
=
B
1
B
¯
=
0.3125−0.3125
2
[]
−
[
0.31250.3125
]
C
¯
=
10
100
0C
¯
=
22
000
D
¯
[
=
D
¯
1
][
1
]
D
¯
=
2
0
2×1
此时, 由于
A
¯
22
已经为Hurwitz稳定矩阵, 因此
无需再设计增益矩阵
L
使得
A
¯
22
−L
C
¯
22
稳定. 下面
根据定理2建立降维观测器(24)和(25). 设定该观
测器初值为
ˆ
x¯(0)=[1−2]
T
. 图2给出了系统(1)的
状态曲线和由降维观测器(24)和(25)得到的状态
估计曲线. 从图2中看到, 利用降维观测器(24)和
(25), 同样可以很好地实现对原系统状态的估计. 同
时, 为了检验观测器对不同类型干扰的鲁棒性, 假
设
ω(t)
为如图3的方波信号,
η(t)
为如图4的锯齿
形信号. 图5展示了在该组干扰信号下观测器的估
计效果. 由此也进一步佐证了本文所提方法对不同
类型干扰的鲁棒性.
1
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−1
01234
Time /s
5678910
2
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
−
0
−
2
4
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
图 2 系统状态及其估计(降维观测器)
Fig. 2 Actual states and their estimations
(reduced-order observer)
此外, 为了对比本文方法与文献[20]方法的估
计效果, 假设测量输出受到如图6(a), 图7(a), 图8(a)
所示的噪声信号的影响. 图6(b), 图7(b), 图8(b)
分别展示了在3种不同幅值噪声信号下利用文献[20]
得到的状态估计, 而图6(c), 图7(c), 图8(c)为3种
噪声信号下对应的由本文降维观测器得到的状态估
计. 可以发现, 随着随机噪声幅值的增大, 文献[20]
8
w (t)
6
4
2
)
t
(
w
0
−2
−4
−6
−8
Time /s
图 3 方波形未知输入信号
Fig. 3 Square wave unknown input signal
8
h (t)
6
4
2
)
t
(
h
0
−2
−4
−6
−8
Time /s
图 4 锯齿形测量干扰信号
Fig. 4 Sawtooth measurement disturbance signal
2
−
0
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
−
2
−
4
6
01234
Time /s
5678910
0
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
−10
−20
01234
Time /s
5678910
0
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
−10
−20
01234
Time /s
5678910
图 5 方波和锯齿干扰信号下的状态估计
Fig. 5 State estimations under square wave and
sawtooth disturbance signals
2116自 动 化 学 报48 卷
4
3
2
1
号
1
信
声
0
噪
−1
−2
−3
−4
01234
Time /s
5678910
(a) 噪声信号 1
2
(a) Noise signal (Type 1)
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计
2
(b) State estimations given by [20]
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(c) 利用本文方法得到的状态估计
(c) State estimations given by the present method
图 6 在受到噪声信号1影响下的状态估计
Fig. 6 State estimations under the influence of
noise signal (Type l)
的估计效果逐渐下降, 而本文方法始终可以实现对
原系统状态的渐近估计.
3 结束语
本文针对同时含有未知输入和测量干扰的系统
研究了全维和降维观测器设计问题. 我们给出了全
20
15
10
2
号
信
5
声
噪
0
−5
−10
−20
01234
Time /s
5678910
(a) 噪声信号 2
2
(a) Noise signal (Type 2)
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计
2
(b) State estimations given by [20]
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(c) 利用本文方法得到的状态估计
(c) State estimations given by the present method
图 7 在受到噪声信号2影响下的状态估计
Fig. 7 State estimations under the influence of
noise signal (Type 2)
维观测器的结构并利用待定系数法分析得到了全维
观测器的存在条件. 为了消除输出通道中的不确定
干扰对降维观测器设计的影响, 本文构造了新的不
包含干扰的测量输出. 并且证明了全维观测器的存
在条件和降维观测器存在条件内在的统一性. 但该
方法要求强可检测条件和观测器匹配条件同时满
8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2117
80
60
40
3
号
20
信
声
0
噪
−20
−40
−60
−80
01234
Time /s
5678910
(a) 噪声信号 3
2
(a) Noise signal (Type 3)
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计
2
(b) State estimations given by [20]
Actual x
1
Estimated x
1
1
x
0
−2
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
2
Estimated x
2
2
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
5
Actual x
3
Estimated x
3
3
x
0
−5
01234
Time /s
5678910
(c) 利用本文方法得到的状态估计
(c) State estimations given by the present method
图 8 在受到噪声信号3影响下的状态估计
Fig. 8 State estimations under the influence of
noise signal (Type 3)
足, 相对苛刻. 如何弱化强可检测条件和观测器匹
配条件来设计观测器是我们下一步要讨论的课题.
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unknown input observer design based on the system left-invert-
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吴 阳 无锡太湖学院智能装备工程
学院副教授. 主要研究方向为故障检
测与估计, 智能控制, 系统优化.
E-mail: ************.cn
(WU Yang Associate professor at
the School of Intelligent Equipment
Engineering, Wuxi Taihu Uni-
versity. His research interest covers fault detection and
estimation, intelligent control, and system optimiza-
tion.)
张建成 江南大学理学院副教授.
2017年获得同济大学控制科学与工
程系博士学位. 主要研究方向为有限
时间观测器设计, 故障检测与估计,
滑模控制. 本文通信作者.
E-mail: ****************.cn
(ZHANG Jian-Cheng Associate
professor at the School of Science, Jiangnan University.
He received his Ph.D. degree in control theory and
control engineering from Tongji University in 2017. His
research interest covers finite-time observer design,
fault detection and fault estimation, and sliding mode
control. Corresponding author of this paper.)
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