2024年4月4日发(作者：)

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２００７，２７Ａ（２）：２２１　２２８　

数学物理学报　

全纯逆紧映射的全纯延拓性和广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形上　

的全纯逆紧映射　

韩静　陈志华　

（同济大学应用数学系　上海２０００９２）　

摘要：对满足一定条件的非光滑有界域上的全纯逆紧映射证得了局部全纯延拓定理．同时也研　

究了广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形之间的全纯逆紧映射．　

关键词：全纯逆紧映射；全纯延拓；广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形．　

ＭＲ（２０００）主题分类：３２Ｈ０２；３２Ｈ３５中图分类号：Ｏ１７４．５６　文献标识码：Ａ　

文章编号：１００３—３９９８（２００７）０２—２２１—０８　

１　引言　

全纯逆紧映射的全纯延拓性一直都是多复变理论中的一个热门课题．在光滑有界域情形　

已有很多已知的结果［１］１［２］ｌ［３］．对有界完全Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域情形，Ｂｅｌｌ证得其上的全纯逆紧映　

射可以全纯延拓过边界［４］＿本文考虑非光滑有界域上的全纯逆紧映射在满足一定条件的边　

界点附近的全纯延拓性，证得了一个一般性的局部全纯延拓定理．这就是定理１．　

定理１设Ｄ１和Ｄ２是Ｃ　中的两个有界域，Ｄ２满足条件（　）．设ｒ表示ＯＤ１上满足　

局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ的点的集合。如果ｆ：Ｄ１一Ｄ２是一个全纯逆紧映射，则ｆ能够全纯延拓　

过ｒ．　

卅　（ｎ＞１，ｍ＞１）中的广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形是如下定义的一个有界Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域　

Ｑ＝｛（ｚ，叫）∈Ｃｎ＋　：　∑　ｌ

ｉ＝１　

　）＜￣￣

ｊ＝ｌ　

ｊ（１ｗｊｌ　）＜１）　

其中　ｔ，　是［０，＋∞）上的Ｃ　一函数，并且对每一个ｉ＝１，２，…，ｎ，Ｊ＝１，２，…，ｍ，３ａｉ＞　

０，ｂ　＞０使之满足下列条件　

ｔ（０）＝０，　（０）＝０；　

￣ｉ（ａｉ）＝１，　（ｂｊ）＝１；　

（ｔ）＞０，　ｔ　：　（ｔ）＋　（ｔ）＞０，０＜ｔ　ａｉ；　

（ｔ）＞０，　ｔ　（ｔ）＋矽；（ｔ）＞０，０＜ｔ　ｂｊ；　

ｔ（ｔ）＞１，ｔ＞ａｉ；　

收稿日期：２００４—０８—３０；修订日期：２００５一ｌｌ—Ｏ８　

Ｅ—ｍａｉｌ：ｈａｎｊｉｎｇ７４＠ｍａｉｌ．ｔｏｎｇＪｉ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｚｚｚｈｈｃ＠ｔｏｎ【鲥ｉ．ｅｄｕ．ｃｎ　

｛基金项目：国家自然科学基金（１０５７１１３５、１０５１１１４０５４３）和同济大学理科基金（１３９０２１９０６０）资助　

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２２２　数学物理学报　Ｖｌ０１．２７Ａ　

（　）＞１，　＞ｂｊ　

令　

Ｄ　

∑　（

＝１　

　）＜１）　

则Ｄ是具有　一光滑边界的有界拟凸完全Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域．　Ｂｅｒｔｌｏｏｔ的结论说明Ｄ上的任　

一

全纯逆紧自映射一定是一个双全纯自同构［５】．虽然我们的初衷是试图在广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角　

形上证明同样的结论，但目下我们只得到如下　

定理２设Ｑ为如前面定义的　ｎ＋　（ｎ＞１，ｍ＞１）中的域．如果Ｆ：Ｑ—Ｑ是　

一

个全纯逆紧自映射，记Ｆ＝（Ｆ　，Ｆ），Ｆ　＝（Ｆ１，Ｆ２，…，　），Ｆ＝（Ｆｎ＋１，Ｆｎ＋２，…，　＋　），　

则Ｆ与Ｚ无关而且是域Ｄ＝｛叫∈　：Ｅ　（１ｗｊｌ　）＜１）上的双全纯自同构；同时，　

ｊ＝ｌ　

ｍ　

对任一固定的ＷＯ，如果∑　（１叫　Ｉ　）＝１，则　。（　）＝（Ｆ１（　，ｗ０），…，Ｆｎ（Ｚ，ｗ０））都是域　

Ｊ＝１　

ｎ　

Ｄ＝ｚ∈　：Ｅ　（　）＜１）上的双全纯自同构．　

＝ｌ　

本文工作的意义在于广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形的边界是非光滑的，它也不满足Ｒ－Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ［　．　

我们通过研究Ｆ在ａＱ的延拓性质和几何行为来完成上述定理的证明．　

对　中任一有界Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域Ｄ，Ｂａｒｒｅｔｔ［６］证得Ｄ的Ｂｅｒｇｍａｎｎ核函数一定形如　

Ｋｖ（　，叫）＝∑ｃ１　面１　

１∈ＳＤ　

其中ＳＤ＝｛　∈Ｚ　：　在Ｄ中全纯而且满足ｌＩｚ１ＩｌＬ。（Ｄ）＜。。），并且对每个　∈ＳＤ，　＞０　

于是广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形的Ｂｅｒｇｍａｎｎ核函数可以写为　

ｎ（（　，叫），（∈，　））＝　∑　ｃ　叫　国　，　（２）　

（ａ，　）∈Ｓａ　

其中　＝｛（　，　）∈Ｚｎ＋　：　在Ｑ中全纯而且满足ＩＩｚ　Ｗ　ＩｌＬ　（ｎ）＜。。），并且对每个　

（ｏｌ，　）∈　，　＞０．　

２全纯延拓性　

在本节中我们证明有关全纯逆紧映射的一个局部全纯延拓定理，即定理１．首先我们引　

入所谓局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ［　］以及条件（　）的概念．需要说明的是这种引用仅仅是为了表述方　

便清晰起见．　

定义１一个有界域Ｄ称为在边界点　∈ＯＤ满足局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，如果只要　∈　

ｃ　（Ｄ），ＰＣ就能够全纯地延拓到Ｚ的一个邻域中．　

上面定义中的Ｐ为相伴于Ｄ的Ｂｅｒｇｍａｎｎ投射，即从Ｌ　（Ｄ）到由全纯Ｌ　函数构成的　

闭子空间日　（Ｄ）上的正交投影算子　

Ｐｆ（ｚ）＝／ＫＤ（Ｚ，ｗ）ｆ（ｗ）ｄ　（叫），　∈Ｄ，ｆ∈Ｌ　（Ｄ）　

Ｊ　Ｄ　

其中ＫＤ（Ｚ，ｗ）为Ｄ上的Ｂｅｒｇｍａｎｎ核函数，　（叫）是欧氏体积元素　

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Ｎｏ．２韩静等：全纯逆紧映射的全纯延拓性和广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形上的全纯逆紧映射　２２３　

有界域Ｄ在　０∈ＯＤ满足局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，只要Ｄ上的Ｂｅｒｇｍａｎｎ核ＫＤ（Ｚ，Ｗ）满足　

条件：对Ｄ的每一个紧子集Ｅ存在一个包含　０的开集ＧＥ，使得对每一个Ｗ∈Ｅ，ＫＤ（Ｚ，Ｗ）　

作为　的函数能全纯延拓到ＧＥ中．　

有界完全Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域在其任一边界点处都满足局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．对于非完全Ｒｅｉｎ－　

ｈａｒｄｔ域Ｄ，如果Ｄ具有相对弱一些的完全性条件，则可以证明Ｄ在非零边界点处满足局　

部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　

定义２称有界Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域Ｄ为弱完全的，如果对任一非零边界点Ｚ０∈ＯＤ，存在适　

当的正数０＜ｒ＜１使得ｒｚｏ∈Ｄ．　

引理１设Ｄ为有界弱完全Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域，０∈ＯＤ．则Ｄ在任一点Ｚｏ∈ａＤ＼｛０）都满　

足局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　

证由（１）式，对任意正数ｒ有　

ＫＤ（ｚ，Ｗ）＝Ｉ（Ｄ（ｒ一　，ｒ叫）．　（３）　

于是对Ｄ的任一紧子集日，可以取适当的　＞０，０＜ｒ０＜１使得　

ＨＴ。＝｛ｒ　Ｗ：Ｗ∈日），　

Ｎ＝｛　：ｌ　—ｒｏｚｏｌ　）　

都是Ｄ的紧子集．从而（１）式在Ｎ×ＨＴ。上一致收敛．令　

Ｍ＝｛　：ｌ　—　０ｌ　ｒｏ　），　

则由（３）式可知（１）式在Ｍ×Ｈ上一致收敛．这就证明了引理１．　１　

对于本文所讨论的广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形Ｑ　Ｃ　Ｃｎ＋　，显然（０，０）∈Ｏｆｔ，而且对于任一　

（Ｚ０，Ｗ０）∈Ｏｆｔ＼｛（０，０）｝，易见可以取适当的０＜ｒ０＜Ｔｏ＜１，使得（ｒ０ｚ０，＂ｒ０ｗ０）∈Ｑ．于是利　

用与引理１同样的证明可知Ｑ在任一点（Ｚ０，Ｗ０）∈Ｏｆｔ＼｛（０，０））都满足局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　

定义３一个有界域Ｄ称为满足条件（　），如果对每一个单项式　：　…・・　ｎ，　ｔ∈　

Ⅳ，１　ｉ　ｎ都存在一个函数　∈Ｃ　（Ｄ）使得　：ＰＣ在Ｄ上成立．　

如果Ｄ为具有实解析边界的有界域，则Ｄ满足条件（　）（文献＿１１．引理１）．下面我们证　

明，任意有界Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域都满足条件（　）．　

引理２　Ｃ　中的有界Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域Ｄ满足条件（　）．　

证由（１）式，Ｄ。的Ｂｅｒｇｍａｎｎ核函数可以写为　

对任意　∈Ｎ　，取　（　）＝￣（Ｉｚ１）∈ｃ　（　），而且　满足ｆＤ　（　）ｄ　（　）＝１．如果令　

１（

））．　

则我们有　

Ｐ　（　）＝／Ｄ　Ｋ。（　，叫）　（叫）ｄ　（叫）　

一　

去ｃ一　叫　

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２２４　数学物理学报　、，０１．２７Ａ　

例

＝

　

／　。曲（　）ｄ　（Ｗ）＝　。．　

Ｉ　该引理证毕．　

下面我们证明定理１．　

定理１的证明设　分别为Ｄｔ上的Ｂｅｒｇｍａｎｎ投射，ｉ＝１，２．对每个单项式　。根据　

Ｄ２满足条件（　）可以选取　∈ｃＦ（Ｄ２），使得Ｐ２￣。＝　。．根据Ｂｅｌｌ关于Ｂｅｒｇｍａｎｎ投射的　

变换公式［　］得　

尸ｌ（　・（　。。Ｆ））＝　・（（尸２　。）。Ｆ）＝　・Ｆ。，　

其中　＝ｄｅｔ［ＪＦ］为Ｆ的Ｊａｃｏｂｉ行列式．由于Ｆ为全纯逆紧映射，因此　・（　ｏＦ）∈ｃＦ（Ｄ１）．　

于是根据局部Ｑ—Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ的定义可知　．Ｆ。可以全纯地延拓过ｒ．同理可以选取一个函　

数　ｏ　∈ｃｇ（Ｄ２），使得Ｐ２　ｏ＝１，重复上面的讨论可知　可以全纯延拓过ｒ．因为任意一点　

的全纯函数的芽环　是唯一因子分解整环，因此上面的分析说明Ｆ可以全纯地延拓过ｒ　

上的每一点．定理１证毕．　Ｉ　

特别地，当考虑广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形　

Ｑ＝　）∈Ｃ卅ｍ：∑　（　）＜∑　ｆ。）＜１）　

ｔ＝１　Ｊ＝１　

和　

Ｑ。＝　）∈Ｃｎ＋ｍ：Ｅ　ｓ￣（ｊＺｉ　Ｊ　）＜∑　（　）＜１）　

ｉ＝１　Ｊ：１　

之间的全纯逆紧映射时，根据引理１及引理２可得下面的推论．　

推论１设Ｆ：Ｑ—Ｑ。为全纯逆紧映射，　（Ｚ０，Ｗ０）∈ａＱ＼｛（０，０）），则Ｆ可以全纯延拓　

过（Ｚ０，Ｗ０）．　

３主要引理　

在这一节中我们研究全纯逆紧映射Ｆ：Ｑ—Ｑ。在ａＱ上的几何行为．　

令　

＝　

）∈Ｃｎ＋　：∑　（１Ｚｉ　ｌ）＝￣￣ｊ（１ｗｊ　ｌ）＜１）＼｛（０．０））　

ｉ＝ｌ　ｊ＝ｌ　

Ｌ　

Ａ２：｛，（　，　）∈Ｃｎ＋ｍ　

在Ｑ。上类似地定义　，　，　．则易见　，　ｚ，　，　分别有如下局部定义函数　

Ｐ　一∑　ｔ（１Ｚｉ　ｌ）一∑Ｃｊ（１￣ｊｌ　），　

ｉ＝１　ｊ＝ｌ　

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Ｎｏ．２韩静等：全纯逆紧映射的全纯延拓性和广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形上的全纯逆紧映射　２２５　

Ｐ２＝∑　（　）一１，　

Ｊ＝１　

引理３设Ｆ：Ｑ—Ｑ０是全纯逆紧映射，则　

Ｏ１　

ｐ　

（ｉ）对任意ａ∈Ａｘ，Ｆ（ａ）不属于ＺＯ；　

证（ｉ）用反证法．假设存在ａ∈Ａ１，使Ｆ（ａ）∈ＺＯ．根据Ｆ在　１　ｕ　２　ｕ　３上的全纯　

ｍ∑　

延拓性及Ｆ的连续性，对　ｎ＋　中任一开球Ｂ（Ｆ（ａ），Ｅ），存在　ｎ＋　中的开球Ｂ（ａ，　）使得　

＝　

（ｉｉ）对任意ａ∈Ａ２，ａ）不属于　２．　

∑　

Ｆ（

＝　

Ｕ．０　—

Ｆ（Ｂ（ａ，　））ｃ　Ｂ（Ｆ（，Ｅ）．令ｖＦ＝｛　∈ａＱ：ｄｅｔ（ＪＦ）（ｚ）＝０）．因为ｄｉｍＲ　ＶＦ　２ｎ＋２ｍ一２，　

一　

ａ）

ｄｉｍＲＡ１＝２ｎ＋２ｍ一１，所以可以选取一个开集Ｕ　ｃ　Ｂ（ａ，　）使得ＵＡＡ１≠Ｏ，但是　ｎ　＝Ｏ．　

ｍ∑　

进而适当选取　可以使Ｆ：　

一　

　—Ｆ（Ｕ）为双全纯映射．由于Ｆ是逆紧映射，故Ｆ（ＵＡＡ１）ｃ　ＺＯ，

从而Ｆ：　ｎ　１一Ｆ（ＵｎＡ１）是双射的，　ｎ　１是　１的一个开子集，Ｆ（ＵｎＡｘ）是　

Ⅲ　

的一个开子集．　

—Ｕ　，　

现在选取一个点ａｌ＝（Ｚｌ，…，　，Ｗｌ，…，ｗ　）∈Ｕ　ｎ　Ａｘ使得兀ｗｊ≠０，则Ｆ（ａ１）∈Ｚｏ．　

ｊ＝ｌ　

记为Ｆ（ａ１）＝（ｚＯ，…，　，叫？，…，ｗｏ）．　

由于Ｐ１和ｐ２分别是超曲面　１和　的局部定义函数，Ｆ：Ｕ　ｎ　Ａｘ—Ｆ（Ｕ　ｎ　Ａｘ）又是　

双射的，于是根据文献［８】中的引理１可知ｐ２　ｏ　Ｆ也是　１在　ｎ　１的局部定义函数．　

Ｌｅｖｉ形式　ｐ　和　２。Ｆ在ａｌ点的系数矩阵分别为　

（　（　１ｌ２）　ｌ＋　ｔ¨　ｌＺ　２）一　．　．　．叫　一　；　　．　．）　

和　

、Ｊ、

ｃ　

由于　

（：　０＋　．叫　）ｃ　

ｇｒａｄｐｌ（ａ１）＝（￣（ＩＺｌｌ　）ｚ－ｘ，…，　，凡（１　ｌ　）　，一　ｉ（１叫１ｌ　）面１，…，一　ｔ、．Ｗ　ｌ　）　＿ｍ），　

故可以考虑方程　

６１面１　ｉ（１叫１　Ｉｓ）＋…＋６　ｒｍ　（１叫　ｌ　）＝０．　

由于ｍ＞１，且　≠０，　；＞０，故（６）式有非平凡解．设之为Ｂ＝（ｂｘ，…，６　）．令　

Ｖ＝（０，…，０，ｂｘ，・・・，ｂ　）∈Ｃ　＋　，　

则ｇａｒｄｐｌ（ａ１）Ｖ　＝０，即Ｖ∈Ｔ　１　，。（　１）．并且由（４）和（５）式易见　

ｍ　

（　）＝一∑（１ｗｊｌ　（１ｗ￣ｌ　）＋　

Ｊ＝１　

ｌ　））・ｌ６Ｊｌ　＜０，　

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２２６　数学物理学报　Ｖｏ１．２７Ａ　

Ｐ２。Ｆ（　Ｖ）　０．　

这与ｐｌ和Ｐ２。Ｆ都是　１的局部定义函数相矛盾．因此假设Ｆ（ａ１）∈Ａ２不成立．　

（ｉｉ）假设存在ａ∈Ａ２使Ｆ（ａ）∈Ａｏ，则同（ｉ）的证明一样我们可以选取适当的小开子集　

Ｕ满足下列性质　

（ａ）Ｕ　ｎ　Ａ２≠Ｄ，　ｎ　ＶＦ＝Ｄ；　

（ｂ）Ｆ：ＵｎＡ２一Ｆ（ＵｎＡ２）是一个双射；　

（Ｃ）Ｕ　ｎ　Ａ２及Ｆ（Ｕ　ｎ　Ａ２）分别为　２及　的开子集．　

同样仍然有Ｐ２和ｐ￣ｏＦ都是　２在ＵＮＡ２的局部定义函数．选取一点ａｌ　

ｗ　）∈Ｕ　ｎ　Ａ２使得　

Ｆ（ａ１）＝（ｚ　，…，ｚ　，叫２，…，叫　０）∈Ｆ（Ｕ　ｎ　Ａ２）　

并且旦　≠０・　

Ｌｅｖｉ形式Ｌ　和Ｌｖｏ。Ｆ在ａｌ点的系数矩阵分别为　

（：　．　．　０２＋　．　）　

和　

ｃＪＦ，　Ｏｔｔ　０　２）ｌｚ　＋　（１ｚ　）

一　

　．．　．　一　．　

）ｃ　，．ｃ８，　

由于　

ｇｒａｄｐ￣（Ｆ（ａ１））＝（　（Ｉｚ￣ｌ　）ｚ—ｏ，・－－，　０ｔ　ｌｚ　０ｌ　）　，一　？　（１ｗ￣ｌ　）ｗｏ，・－－，一…０…＇（１ｗ　０Ｉ．　）　）　

因此可以考虑方程　

ｂｌｗ￣　？　（１ｗ￣ｌ　）＋．．．＋６　（１ｗ￣ｌ　）＝０　

易见（９）式也存在非平凡解．设之为Ｂ＝（ｂｌ，…１６　）．令　

一

（０，…，０，ｂｌ，・一，ｂｍ）（（　Ｆ）一　）　∈Ｃ”＋　

则　

ｇａｒｄ（ｐ　。Ｆ）（０１）　＝ｇａｒｄｐ　・ＪＦ・（ＪＦ）＿。・（０，…，０，ｂｌ，…，ｂｍ）　＝０　

即Ｖ∈Ｔ　１　，。（　２）．并且由（７）和（８）式可见　

Ｐ　

（　）　０，Ｌ　ｏ。Ｆ（　Ｖ）＜０　

同（ｉ）的证明一样这也是矛盾的．该引理证毕．　１　

推论２（ｉ）对任意点ａ∈Ａ３，Ｆ（ａ）∈ＡＯ；　

（ｉｉ）设Ｆ＝（　＋１，…，　＋　），则Ｆ与ｚ无关．　

证（ｉ）由Ｆ的全纯延拓性及引理３，对任意ａ∈Ａａ，Ｆ（ａ）不属于　且不属于　．如　

果Ｆ（ａ）＝０，则对　ｎ＋　中的任意开球Ｂ（ｏ，ｅ），存在　ｎ＋　中的开球Ｂ（ａ，　）使　

Ｆ（Ｂ（０，　））ｃ　Ｂ（ｏ，Ｅ），　

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Ｎｏ．２韩静等：全纯逆紧映射的全纯延拓性和广义Ｈａｒｔｏｇｓ三角形上的全纯逆紧映射　２２７　

并且　

Ｆ（Ｂ（ａ，　）ｎ　ａＱ）ｃ　ａＱ。．　

另外由引理３知Ｆ（Ｂ（ａ，　）ｎ　２）ｎ　ＡＯ＝　．因此，如果　取得充分小，则在Ｂ（ａ，　）ｎ　２　

上Ｆ三０．从而在Ｂ（ａ，　）ｎ　Ａ２上ｄｅｔ（ＪＦ）三０．这与Ｆ是逆紧映射及Ｂ（０，　）ｎ　Ａ２为ａＱ的　

开子集矛盾．　

（ｉｉ）同（ｉ）的证明一样，利用引理３容易证得：对任意一个固定的Ｗ０，如果Ｅ　ｃｊ（Ｉ　０ｊ　　ｌ）　

＝

１，则对一切满足Ｅ　ｔ（　ｌ　）＜１的　有　

Ｅ￣ｏ（ＩＦｏ＋Ｊ（　，ｗｏ）ｌ　）＝１．　（１０）　

ｊ＝ｌ　

对每一个ｉ∈｛１，２，…，佗｝，对（１０）式连续作用击和矗，可得　

ｍ　

Ｊ　Ｊ　２．ｏ，，（　１＋　（　，　。）　．　１＋　（　，　。）　ｌ＋　，（　１＋，（　，　。）　ｌ）】：。．　

从而，对任意Ｊ∈｛１，２，…，ｍ｝，ｉ∈｛１，２，…，佗｝，　

Ｊｌ　ａ　ｌ　Ｊ

即　

（兰：　：０

．　

ｔ　

这说明在Ａ２上一０　Ｆ￣

砘

＋ｊ・三０．因为　可以全纯延拓过Ａ２，所以在Ｑ上仍然有０Ｆ　￣＋ｊ．三０，即　

与　无关．该推论证毕．　Ｉ　

定理２的证明　由推论２知，　（　，　）：　（　）在Ｑ上成立，且当∑ｍ　ｃｊ（Ｉ　Ｉ　）：１时　

∑　（　１（　）　＝１．　

ｊ＝ｌ　

根据可去奇性定理　

：

｛　∈Ｃ　：∑　（１　ｌ　）＜１）一｛　∈Ｃ　：Ｃｊ（１￣ｊｌ。）＜１）　

是一个全纯逆紧映射，再由Ｂｅｒｔｌｏｏｔ的结论可见　是　＝｛Ｗ∈Ｃ　：Ｅ　（１ｗｊｌ　）＜１｝上　

的一个双全纯自同构．　

另一方面，对固定的Ｗｏ，令　

。

（　）＝（Ｆｌ（　，ｗｏ），…，　（　，　ｏ））．　

若Ｅ　（　０　ｌ　）＝１，则由推论２　

。

（　）：｛　∈Ｃ”：∑　ｌ　）＜１）一｛　∈ｃ”：∑　ｌ。）＜１）　

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２２８　数学物理学报　

ｎ　

ＶｌＯ１．２７Ａ　

是全纯逆紧映射．于是根据Ｂｅｒｔｌｏｏｔ的结论可知，　

上的双全纯自同构．　

参考

。是域Ｄ＝｛　∈Ｃ　：∑　（　）＜１｝　

＝

１　

１　

文献　

［１］Ｂｅｌｌ　Ｓ．Ａｎａｌｙｔｉｃ　ｈｙｐｏｅｌｌｉｐｔｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　０一Ｎｅｕｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｐｉｎｇｓ．　

Ａｃｔａ　Ｍａｔｈ，１９８１，１４７：１０９—１１６　

［２】Ｄｉｅｄｅｒｉｃｈ　Ｋ，Ｆｏｒｎａｅｓｓ　Ｊ　Ｅ．Ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｉｍａｇｅｓ　ｏｆ　ｓｔｒｉｃｔｌｙ　ｐｓｅｕｄｏｃｏｎｖｅｘ　ｄｏｍａｉｎｓ．　Ｍａｔｈ　Ａｎｎ，　

１９８２，２５９：２７９—２８６　

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Ｍａｔｈ　Ａｎｎ，１９８３，２６３：４７９—４８２　

［４］Ｂｅｌｌ　Ｓ．Ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎ　ｋｅｒｎｅｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｐｉｎｇｓ．Ｔ　Ａ　Ｍ　Ｓ，１９８２，２７０：６８５－６９１　

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１９９８，３６：２４１—２５４　

［６］Ｂａｒｒｅｔｔ　Ｄ　Ｅ．Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｅｒ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｎｏｔ　ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ　

—

ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎ．Ｃｏｍｍ　Ｍａｔｈ　Ｈｅｌｖ，１９８４，５９：５５０—５６４　

［７］Ｂｅｌｌ　Ｓ．Ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｂｅｒｇｍａｎｎ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ．Ｄｕｋｅ　Ｍａｔｈ　Ｊ，１９８１，４８：１６７—１７５　

［８］Ｘｉａｏｊｕｎ　Ｈ，Ｙｉｆｅｉ　Ｐ．Ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｒｅａｌ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｉｎ　Ｃ　．Ｄｕｋｅ　Ｍａｔｈ　Ｊ，　

１９９６．８２：４３７—４４６　

Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃａｌｌｙ　Ｅｘｔｅｎｄａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｒｏｐｅｒ　Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｍａｐｓ　ａｎｄ　

Ｐｒｏｐｅｒ　Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｍａｐ　ｏｆ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｈａｒｔｏｇｓ　Ｔｒｉａｎｇｌｅ　

Ｈａｎ　Ｊｉｎｇ　Ｃｈｅｎ　Ｚｈｉｈｕａ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｕｒｐｏｓｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｔｏ　ｐｒｏｖｅ　ａ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃａｌｌｙ　

ｅｘｔｅｎｄａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｎｏｎ—ｓｍｏｏｔｈ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｕｎｄｅｒ　

ｓｏｍｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｉｍｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒ　ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｍａｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｈａｒｔｏｇｓ　

ｔｒｉａｎｇｌｅ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐｒｏｐｅｒ　Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃ　Ｍａｐ；Ｈｏｌｏｍｏｒｐｈｉｃａｌｌｙ　Ｅｘｔｅｎｄａｂｉｌｉｔｙ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｈａｒｔｏｇｓ　

Ｔｒｉａｎｇｌｅ．　

ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：３２Ｈ３５；３２Ｈ０２