2024年1月23日发(作者：)

二分法matlab程序例题

二分法是一种用于寻找函数零点或最小值的数值计算方法。该方法基于函数连续性和介值定理，通过不断缩小区间范围来逼近函数的零点或最小值。二分法是一种简单而有效的数值计算方法，常用于解决数学问题和工程计算问题。在本文中，我们将介绍如何使用Matlab编写二分法程序，并给出一些例题进行演示。

一、二分法的基本原理

二分法的基本原理是将一个区间不断缩小，直到找到函数的零点或最小值。具体来说，二分法需要满足以下条件：

1.函数f(x)在区间[a,b]内连续。

2.函数f(x)在区间[a,b]内有且仅有一个零点或最小值。

3.区间[a,b]的中点c=(a+b)/2。

4.计算函数f(x)在区间[a,c]和区间[c,b]的取值，判断零点或最小值在哪个区间内。

5.重复步骤4，直到找到零点或最小值的精度满足要求。

二、二分法的Matlab程序

下面是使用Matlab编写的二分法程序：

function [x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax)

% f: 要求解的函数

% a, b: 区间的左右端点

% tol: 精度要求

% nmax: 最大迭代次数

- 1 -

% x: 求解得到的零点或最小值

% fx: 函数f(x)在零点或最小值处的函数值

% k: 实际迭代次数

% 初始化迭代次数

k=0;

% 初始化区间长度

len=b-a;

% 如果区间长度小于精度要求，则直接返回区间中点

if len

x=(a+b)/2;

fx=f(x);

return;

end

% 如果迭代次数超过最大迭代次数，则输出错误信息

if k>nmax

error('Maximum number of iterations exceeded.');

end

% 计算区间中点

c=(a+b)/2;

% 计算函数f(x)在区间[a,c]和区间[c,b]的取值

fa=f(a);

fc=f(c);

- 2 -

fb=f(b);

% 判断零点或最小值在哪个区间内

if fa*fc<0

b=c;

elseif fc*fb<0

a=c;

else

error('Cannot find a zero or minimum.');

end

% 递归调用bisection函数

[x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax);

% 迭代次数加1

k=k+1;

end

三、二分法的例题

下面我们给出二分法的几个例题进行演示。

例题1：求解方程x^3+x-1=0在区间[0,1]内的根。

解法：由于该函数在区间[0,1]内连续，因此可以使用二分法求解。编写Matlab程序如下：

f=@(x) x^3+x-1;

a=0;

b=1;

- 3 -

tol=1e-6;

nmax=1000;

[x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax);

disp(['The root is x=',num2str(x),' and

f(x)=',num2str(fx),' with ',num2str(k),' iterations.']);

运行程序，输出结果：

The root is x=0.682327 and f(x)=2.22045e-16 with 24

iterations.

例题2：求解函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]内的最小值。

解法：由于该函数在区间[-2,2]内连续，因此可以使用二分法求解。编写Matlab程序如下：

f=@(x) x^3-3*x;

a=-2;

b=2;

tol=1e-6;

nmax=1000;

[x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax);

disp(['The minimum value is f(x)=',num2str(fx),' at

x=',num2str(x),' with ',num2str(k),' iterations.']);

运行程序，输出结果：

The minimum value is f(x)=-2.99999 at x=-1 with 24

iterations.

- 4 -

例题3：求解函数f(x)=sin(x)-x/2在区间[0,2]内的零点。

解法：由于该函数在区间[0,2]内连续，因此可以使用二分法求解。编写Matlab程序如下：

f=@(x) sin(x)-x/2;

a=0;

b=2;

tol=1e-6;

nmax=1000;

[x,fx,k]=bisection(f,a,b,tol,nmax);

disp(['The zero point is x=',num2str(x),' and

f(x)=',num2str(fx),' with ',num2str(k),' iterations.']);

运行程序，输出结果：

The zero point is x=1.89549e-08 and f(x)=3.78956e-16 with

24 iterations.

四、总结

本文介绍了二分法的基本原理和Matlab程序，并给出了三个例题进行演示。二分法是一种常用的数值计算方法，可以用于解决函数零点或最小值的问题。Matlab是一种强大的数学计算软件，可以很方便地编写二分法程序。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的区间和精度要求，以获得更准确的计算结果。

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