2024年1月16日发(作者：)

lookup二分法查找原理

从什么是二分法查找开始，讲解二分法查找的原理和实现，包括常见的二分法查找模板及其时间复杂度分析，同时介绍二分法查找在实际场景中的应用以及注意事项。

【什么是二分法查找？】

二分法查找也称为二分查找、折半查找，是一种常用的查找算法。它是针对有序数列进行查找的一种算法，利用数列有序的特点，通过将搜索范围不断缩小一半，逐步定位待查找的元素位置，从而快速找到目标元素。

以一个有序数组为例，假设我们要查找其中某个元素x是否存在于数组中，可以采用二分法查找的方式进行。具体步骤如下：

1. 首先确定数组的中间位置mid，取mid值为数组元素个数n的一半。

2. 将元素x与数组中间位置的元素nums[mid]进行比较。

3. 如果x等于nums[mid]，那么说明x已经找到，返回mid的索引值即可。

4. 如果x小于nums[mid]，那么说明x在数组的左半部分，此时将搜索范围缩小为数组左半部分。

5. 如果x大于nums[mid]，那么说明x在数组的右半部分，此时将搜索范围缩小为数组右半部分。

6. 重复以上步骤，直到找到x或者搜索范围为空，此时说明没有找到x。

【二分法查找的原理和实现】

二分法查找的原理很简单，即不断将搜索范围缩小至只有一半，通过不断缩小搜索范围而快速找到目标元素。而实现二分法查找则需要考虑多个方面，包括查找的范围、查找的边界问题、查找的终止条件等。

首先，我们来看二分法查找的基本模板：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] == target) {

return mid;

} else if (nums[mid] < target) {

left = mid + 1;

} else {

right = mid - 1;

}

}

return -1;

}

上面的代码示例中，定义了数组的左右边界，初始时左边界为0，右边界为数组长度减一。然后进入while循环，不断缩小搜索范围，直到搜索范围为空或者找到目标元素。

其中，mid值是搜索范围的中间索引值，通过不断调整left和right的值来更新mid值，从而缩小搜索范围。而比较语句部分则是根据mid值和target的大小关系，调整搜索范围的策略。

这个模板代码非常简洁，理解了这个模板之后，我们就可以根据不同的题目要求来进行修改。下面是一些常见的二分法查找场景：

【1. 查找定值元素】

以查找某个定值元素为例，给定一个有序数组nums和一个定值target，要求返回该target在nums中的位置。如果找到该元素，则返回它的索引值；否则，返回-1。

我们可以运用上述模板，进行以下修改：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] == target) {

return mid;

} else if (nums[mid] < target) {

left = mid + 1;

} else {

right = mid - 1;

}

}

return -1;

}

【2. 查找第一个值等于给定值的元素】

以查找第一个值等于给定值的元素为例，给定一个有序数组nums和一个值target，要求返回该数组中第一个等于target的元素的下标。如果不存在，则返回-1。

这个场景和上一个场景有所不同，因为我们需要找到第一个target元素的位置，而不是所有的位置。所以需要在原有模板的基础上稍作修改：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] < target) {

left = mid + 1;

} else if (nums[mid] > target) {

right = mid - 1;

} else {

if (mid == 0 nums[mid - 1] < target) {

return mid;

} else {

right = mid - 1;

}

}

}

return -1;

}

其中，if分支用来判断当前mid的值和target的大小关系，然后根据不同情况缩小搜索范围。else分支则是判断是否已经找到第一个等于target的元素，如果是，则返回其索引；否则，继续缩小搜索范围。

【3. 查找最后一个值等于给定值的元素】

类似于上一个场景，这个场景需要查找最后一个值等于target的元素的位置。我们可以通过类似的代码结构进行修改：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] < target) {

left = mid + 1;

} else if (nums[mid] > target) {

right = mid - 1;

} else {

if (mid == - 1 nums[mid + 1] > target) {

return mid;

} else {

left = mid + 1;

}

}

}

return -1;

}

这个代码和上一个代码比较相似，区别在于else分支中的判断条件，这里需要判断当前元素是否是最后一个等于target的元素。

【4. 查找第一个大于等于给定值的元素】

这个场景比较特殊，它要求查找第一个大于等于target的元素的位置。我们可以通过类似的代码结构进行修改：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] < target) {

left = mid + 1;

} else {

if (mid == 0 nums[mid - 1] < target) {

return mid;

} else {

right = mid - 1;

}

}

}

return -1;

}

这里需要判断nums[mid]和target的大小关系，如果小于target，则需要继续在右侧进行搜索；如果大于等于target，则需要在当前mid的左侧或者当下mid进行搜索，直到找到第一个大于等于target的元素。

【5. 查找最后一个小于等于给定值的元素】

这个场景也比较特殊，它要求查找最后一个小于等于target的元素的位置。我们可以采用和上一个场景类似的代码结构进行修改：

java

public int binarySearch(int[] nums, int target) {

int left = 0, right = - 1;

while (left <= right) {

int mid = left + (right - left) / 2;

if (nums[mid] > target) {

right = mid - 1;

} else {

if (mid == - 1 nums[mid + 1] > target) {

return mid;

} else {

left = mid + 1;

}

}

}

return -1;

}

这里需要判断nums[mid]和target的大小关系，如果大于target，则需要继续在左侧进行搜索；如果小于等于target，则需要在当前mid的右侧或者当下mid进行搜索，直到找到最后一个小于等于target的元素。

【二分法查找的时间复杂度分析】

二分法查找的时间复杂度为O(logn)，是非常快速的一种查找方式，其中n为数组的元素个数。这个时间复杂度分析可以通过数学归纳法证明。

首先，在循环最开始的时候，我们需要通过一个比较操作来判断是否已经找到目标元素，因此，循环的次数不会超过O(logn)。其次，在每一次循环中，我们需要做的操作都是“排除一半”，即将搜索区间缩小一半，这是一个常数级别的操作，不难看出每一次循环的时间复杂度为O(1)。

假设循环了k次，那么搜索区间的大小为[n/(2^k)]或者更小，而我们需要寻找的元素就在这个区间内。因为这里是“向下取整”，所以k的取值应该是满足下

列条件的最小整数值：

n / 2^k <= 1

通过不等式的转换，可以得到：

k >= log2n

因此，二分法查找的时间复杂度为O(logn)。

【二分法查找的应用场景和注意事项】

二分法查找十分适用于对有序序列进行查找的场景，尤其是对于大量的数据，二分法查找的查找效率比较高。在实际应用中，二分法查找被广泛使用，包括在搜索算法、数值分析和数据压缩等领域。

在使用二分法查找时需要注意以下几点：

1. 序列必须有序：二分法查找是基于有序序列的特性进行查找的，如果序列本身是无序的，得先进行排序。

2. 注意边界问题：比如循环条件中是left<=right还是left

算，以及处理好首尾元素的情况。

3. 注意结束条件：循环结束条件的设置必须清晰，否则会出现死循环或者找不到元素等问题。

4. 注意查找元素是否存在：由于二分法查找是基于有序序列的特性进行的，因此如果查找的元素不存在于序列中，则需要进行特殊的处理，比如返回-1。

5. 理解二分法查找的递推公式：即left=mid+1，right=mid-1，找到第一个等于给定值的元素、最后一个等于给定值的元素等场景下，需要加上特殊处理。

以上是关于二分法查找的原理和实现的基本内容，二分法查找是一种对效率要求比较高的查找方式，需要在实际应用中灵活运用。