2024年1月12日发(作者：)

２０１２年２月　重庆文理学院学报（自然科学版）　Ｆｅｂ．，２０１２　第３１卷第１期　Ｊｏｕｍ￣ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ　ｏｆ　Ａｎｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｎａｔｕｒ￣Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３１　Ｎ０．１　四元数刻划的矢量旋转　陈　杰　（贵州大学人民武装学院信息工程系，贵州　贵阳５５００２５）　［摘　要］四元数在数学、物理学和计算机图形学中具有很高的应用价值．在仿真设计中，刚体　的旋转模拟可以有很多算法实现，相比较而言，四元数占用较少的空间，具有运算量少、操作简　便、几何意义明确等优越性．本文讨论了四元数的定义、运算性质以及利用四元数对矢量旋转　的运算原理，给出了四元数刻划矢量旋转的详细证明．　［关键词］四元数；矢量；旋转　［中图分类号］０４１１　［文献标志码］Ａ［文章编号］１６７３—８０１２（２０１２）０１—００１３—０３　１８４３年英国数学家哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ，Ｎｉｌ．　１）四元数的和　１ｉａｍ　Ｒｏｗａｎ）把自己发现的新数命名为四元　Ｐ＋Ｐ　＝［　，　］＋［ｕ　，　］　＝［　＋　，　＋　］；　数¨　Ｊ．此后，四元数在数学、物理学中体现了　２）四元数的积　很高的应用价值　ｊ．１９８５年，四元数方法被　ＰＰ　＝［ｕ，　］［“　，　］　Ｋ．Ｓｈｏｅｍａｋｅ￣Ｉ入到计算机图形学中，从此该技术　＝［　一　・　，　×　＋¨　＋Ｍ　］．　在真实感图形绘制、计算机动画、仿真设计的刚　其中，　・　是向量　与　的数量积，　×　的向　体旋转模拟等方面得到了广泛的应用．　量积．　本文对四元数的定义、运算性质以及利用四　特别地，当ｕ：０且　＝０时，两个四元数　元数对矢量旋转的运算原理进行讨论，给出了四　Ｐ，Ｐ　的积就成了两个向量　，　的积，即　元数描述矢量旋转的详细证明．　ＰＰ　＝［０，　］［０，　］＝［一　・　，　×　］．　１　四元数的定义与运算性质　设ｔ为任意实数，则　设Ｐ＝［ｕ，　］＝　＋０　＋　＋ｃｋ（“，口，ｂ，Ｃ∈　：ｐｔ＝［ｔ，０］［　，　］＝［ｔｕ，ｔｖ］．　Ｒ），其中ｉ，　，ｋ满足ｉ　＝　＝ｋ　＝一１，　＝一ｊｉ　３）双线性关系　＝ｋ，ｊｋ：一巧＝ｉ，ｋｉ＝一ｉｋ＝　，则称Ｐ为四元　（ｑｐ）ｐ　＝ｇ（ｐｐ　），　数，为数量“与矢量　＝ａｉ＋　＋ｃ　之和，ｉ，．　，ｋ　ｑ（ｔｐ＋ｔ＇ｐ　）＝ｔｑｐ＋ｔ＇ｑｐ　，　代表三维空问直角坐标系中沿　，Ｙ，ｚ轴的单位　（ｔｐ＋ｔ＇ｐ　）ｑ＝ｔｐｑ＋ｔ＇ｐ　ｑ．　矢量．称Ｍ为Ｐ的实部，　为Ｐ的虚部．特别地，当　４）共轭四元数　ｂ＝ｃ＝０时，则四元数就是复数了，这时Ｐ＝ｕ＋　Ｐ　＝［　，　］＝［　，一　］，　０　，进而当０＝ｂ＝Ｃ＝０时，该四元数就成为了　（Ｐ　）　＝Ｐ，　实数，此时Ｐ＝ｕ．由此可以发现，四元数就是实　（ｑＰ）　＝Ｐ　ｑ　，　数和复数的扩展．当　＝０时，Ｐ＝［０，　］，当ａ　（ｑ＋ｐ）　＝ｑ　＋Ｐ　．　＝ｂ＝ｃ＝０时，Ｐ＝［Ｍ，０］．　５）四元数的范　２四元数的运算性质　Ｎ（ｐ）＝ＰＰ　＝Ｐ　Ｐ＝“　＋　・　＝　２＋０　＋ｂ　＋ｃ　，　Ｎ（ｐｐ　）＝Ⅳ（ｐ）Ｎ（ｐ　），　定义两个四元数Ｐ，Ｐ　，其运算规则如下．　Ｊ７＼，（ｐ　）＝Ｎ（ｐ）．　【收稿日期］２０１１—１０—１９　［作者简介］陈杰（１９７６一），男，贵州人，讲师，硕士，主要从事应用数学方面的研究　１３　

６）四元数的逆　于是Ｖ０・Ｖ１：ｃｏｓＯ．令垂直于　０和　ｌ所在平　Ｐ～＝Ｐ　／Ⅳ（ｐ）．　面的单位向量　＝ｖ。×　。）／Ｉ　ｌ。×　ｌ，则ｐ可　７）单位四元数　以写作Ｐ＝［ｃｏｓＯ，　ｓｉｎ０］．　令Ｎ（ｐ）＝Ｎ（Ｖ　）＝１，　为某一单位向量，　ｖ０×ｖ２　（　）　＝一１，于是ｐ＝［ｃｏｓ０，　ｓｉｎＯ］，Ｐ　：Ｐ　．　３　矢量旋转的四元数刻划　四元数与三维空间坐标旋转的关系可以用　以下推导来说明：　设点ｑ（ａ，ｂ，ｃ）为三维空间中任意一点，利　用其坐标描述为四元数形式，即ｑ＝［“，（ａ，ｂ，　图１单位四元数旋转　ｃ）］＝［ｕ，Ｖ］，若Ｐ为单位四元数，那么：　由于单位矢量　，　和　在同一平面内，可　１）通过乘积ＰｑＰ～，可使得四元数ｑ变为四　以得出（Ｖ２　）具有同样的数量积和向量积，　元数ｑ　＝［“　，Ｖ　］＝ＰｑＰ～，并且Ｎ（Ｖ）＝Ｎ（Ｖ　）；　Ｐ　Ｖ２Ｙ１　＝［　ｌ・　２，Ｖｌ×Ｖ２＝［ｃｏｓＯ，Ｖｔｓｉｎ０］］，　２）Ｐ与任意非零实数的积，同样可以实现上　Ｖ　和　的夹角也是０．　述变换；　由Ｐ＝　ｌＶ０　，可得　１＝ｐｖｏ．　３）如果Ｎ（ｐ）＝１，那么Ｐ＝［ｃｏｓＯ，　ｓｉｎ０］　同理，　可用来使矢量绕单位向量Ｖ　旋转２　．　Ｖ２＝ｐｖｌ＝ｐ（ｐｖ０）＝Ｐ（ｖｏｐ　）＝ｐｖｏＰ　．　证明：　至此，可以看到　相当于在Ｐ的作用下将　１）设Ｐ是一个单位四元数，由于Ｐ～＝Ｐ　，　绕垂直于　。和　所在平面的单位矢量　旋转得　因此得到ｑ　＝ＰｑＰ～＝ＰｑＰ　．　到２　．而且，由　＝ｑｖ。可以看出Ｐ的作用就是　一般地，数的运算结果仍然是数，而矢量　在与　垂直的平面内产生一个与　夹角为０的　［０，Ｖ］的运算结果仍会是矢量．所以，乘积９　＝　矢量；由　＝ｐｒｏｐ　，可以得出乘积ｐｖｏｐ　的作用　ＰｑＰ　仍然是一个四元数．四元数Ｐ的标量部分　就是令　在与Ｖ　垂直的平面内旋转２　而得到　：．　（实部）Ｒｅ（ｐ）＝（Ｐ＋Ｐ　）／２．　实际上，这种旋转可以作用于任何矢量ｑ，　同理，　只要把ｇ分解为Ａ。　０＋Ａ。　＋Ａ　，四元数的双　２Ｒｅ（ｐｑｐ　）＝（ＰｑＰ　）＋（ｐｑｐ　）　＝ＰｑＰ　＋ｐｇ　Ｐ　．　线性使得我们可以分别研究Ｖ。，　和　的旋转　由于四元数相乘是双线性的，且Ⅳ（Ｐ）＝１，于是　作用．　２Ｒｅ（ｐｑｐ　）＝Ｐ（ｑ＋ｑ　）Ｐ　我们已经研究了Ｖ。和Ｖ　的情况，再看Ｖ　・ｐｖ　：Ｐ（２Ｒｅ（ｐ））Ｐ　＝２Ｒｅ（ｑ）ｐｐ　＝［ｃｏｓＯ，　ｓｉｎ０］［０，　，］．由于其向量积为０，于　＝２Ｒｅ（ｇ）Ⅳ（ｐ）＝２Ｒｅ（ｇ），　是Ｐ　Ｖ＝ｖ＇ｐ，得出ｐｖ　Ｐ　＝ｖ＇ｐｐ　＝　，从而可以　从而Ｒｅ（ＰｑＰ　）＝Ｒｅ（ｑ）．　认定，Ｖ　就是旋转所围绕的轴．　对于四元数ｑ　＝ＰｑＰ　，　这样，对于任意一个矢量，都可以利用单位　Ｎ（ｑ　）＝Ｎ（ｐｑｐ　）＝Ｎ（ｐ）Ｎ（ｑ）Ｎ（ｐ　）＝Ⅳ（ｇ），　四元数ｐ的运算来表示其旋转过程　Ｎ（ｐ）＝Ｎ（ｐ　）＝１．　４结语　于是，对于四元数ｑ＝［Ｍ，　］和四元数ｑ　＝　，Ｌ　Ｍ，　］＝ＰｑＰ～，Ｎ（　）＝Ｎ（ｖ　）．　在动态仿真设计中，刚体的旋转模拟可以有　２）设ｔ为任意非零实数，则（　）的逆为　很多算法实现，包括正交矩阵、极坐标以及欧拉　（ｔｐ）～＝ｐ－１ｔ一．　角等，但完全都可以将所有的旋转矩阵转换为四　于是　元数存储．相比较而言，四元数占用较少的空间，　（　）ｇ（ｃｐ）～＝ｔｐｑｐ　ｔ。。＝ｔｔ－１ＰｑＰ～＝ＰｑＰ～．　具有操作简便、运算量少、几何意义明确等优　３）如图ｌ，设单位矢量　，　和　：，Ｎ（ｖ。）＝　越性．　Ｕ（ｖ１）＝Ｎ（　２）＝１，且Ｐ＝Ｖ１Ｖ０　＝［　・　ｌ，　由于四元数转换组合比很多矩阵转换组合　Ｖ０×Ｖ１］，０是Ｖｏ和　ｌ的夹角．　在数字上更稳定，在刚体力学研究、计算机图形　１４　

学以及仿真技术尤其在坦克、飞机、机器人动态　模拟过程中已越来越多地利用四元数来表示对　［２］Ｍａｒｋ　Ｄｅｌｏｕｒａ．游戏编程精粹［Ｍ］．王淑礼，张磊，译．　北京：人民邮电出版社，２００４：６４—１４９．　象的三维旋转及方位．同时，在控制论、信号处　理、Ａｔｔｉｔｕｄｅ控制、物理和轨道力学中四元数都可　以用来表示旋转和方位．　［参考文献］　［１］李文亮．四元数矩阵［Ｍ］．长沙：国防科技大学出版　［３］刘俊峰．三维转动的四元数表述［Ｊ］．大学物理，　２００４，２３（４）：３９—４３．　［４］杨丕文，杨硕．可换四元数空间中某些双曲型方程的　Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｈｉｌｂｅｒｔ边值问题［Ｊ］．数学学报，２００８，５１　（１）：１７１—１８０．　［５］Ｐｕ　Ｄｅｑｉａｎ．Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ　社．２００２　】一】８．　［Ｊ］．Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｖａｒｉａｂｌｅｓ，２００４，４９（２）：１２５—１４３．　Ｖｅｃｔｏｒ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｉｎｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｃＨＥＮ　Ｊｉｅ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆｔｈｅ　ＰｅｏｐｌｅＡｒｍｅｄＦｏｒｃｅｓ，Ｇｕ＆ｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕ归ｎｇ　Ｇｕｉｚｈｏｕ５５００２５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｇｒａｐｈｉｃｓ　ｉｓ　ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ．Ｉｎ　ｄｅ—　ｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｏｆ　ｒｉｇｉｄ　ｂｏｄｙ　ｃａｎ　ｓｉｍｕｌａｔｅ　ｂｙ　ｍａｎｙ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｉｎ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ，ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｔａｋｅｓ　ｕｐ　ｌｅｓｓ　ｓｐａｃｅ，ａｎｄ　ｉｔ　ｃａｎ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔ－　ｒｉｃ　ｍｅａｎｉｎｇ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｉｔｕｄｅ．Ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｏｆ　ｖｅｃｔｏｒ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｔ　ａｌｓｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ　ｈｏｗ　ｔｏ　ｕｓｅ　ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ　ｔｏ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ　ｖｅｃｔｏｒ　ｒｏｔａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｔｅｒｎｉｏｎ；ｖｅｃｔｏｒ；ｒｏｔａｔｉｏｎ　（责任编辑吴朝平）　（上接第１２页）　Ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔｏｕｒｉｓｔ　ｒｏｕｔｅｓ　ＳＨＩ　Ｘｉａｏ——ｙｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＭｉｎｉｎｇ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ　ｄｉａｎｇｓｕ２２１１１６，Ｃｈ＆ａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｒｏｕｔｅ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｗａｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ａｎｄ　ａ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｏｆｆｅｒｅｄ．Ａｔ　ｌａｓｔ　ａ　ｂｅｔｔｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｖｅｒａｌ　ａｃｔｕａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ａｎｄ　ａｎ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗｅｒｅ　ｍａｄｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｈａｍｉｔｉｏｎ　ｃｉｒｃｕｉｔ；０—１　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ；ＴＳＰ　ｐｒｏｂｌｅｍ　（责任编辑穆刚）