2023年7月29日发(作者：)

分段正交匹配追踪(StOMP)算法改进研究

汪浩然;夏克文;牛文佳

【摘 要】信号重构是压缩感知的核心技术之一,而其重构精度和所耗时长直接影响其应用效果.现今分段正交匹配追踪算法(StOMP)因耗时短而得到广泛应用,但也存在着重构精度差、稳定性低的缺点.提出一种基于粒子群优化(PSO)算法且同时具有回溯特性的StOMP改进算法(ba-IWPSO-StOMP),即首先在StOMP算法的一次原子选择上,引入回溯策略,实现原子的二次筛选;在每次迭代计算中,使用具有惯性权重指数递减的PSO(IWPSO)算法对传感矩阵中部分原子进行优化,从而实现更高精度,更少迭代次数的信号重构.对一维信号和二维图像的重构结果表明,在稀疏条件相同的情况下,算法在收敛时间较短的情况下,其重构精度明显优于StOMP等同类算法.%Signal reconstruction is one of the core technologies of compressed

sensing, and the reconstruction accuracy and time-consuming directly

affects its application effect. Nowadays, Stagewise Orthogonal Matching

Pursuit(StOMP) algorithm has been widely used for short running time, but

its reconstruction accuracy is unsatisfactory. To make up for the defects of

the StOMP algorithm, this paper presents a variant of StOMP, called

backtracking-based adaptive and iner-tia weight index decreasing particle

swarm optimization-based StOMP(ba-IWPSO-StOMP)algorithm. As an

extension of the StOMP algorithm, in each iteration, the proposed ba-IWPSO-StOMP algorithm incorporates a backtracking tech-nique to select

atoms by the second screening, then uses the IWPSO algorithm to

optimize atoms in the measurement matrix. Through these modifications,

the ba-IWPSO-StOMP algorithm achieves superior reconstruction accuracy and less times of iteration compared with other OMP-type algorithms.

Moreover, unlike its predecessors, the ba-IWPSO-StOMP algorithm does

not require to know the sparsity level in advance. The experiments

demonstrate the performance of ba-IWPSO-StOMP algorithm is superior

to several other OMP-type algorithms.

【期刊名称】《计算机工程与应用》

【年(卷),期】2017(053)016

【总页数】7页(P55-61)

【关键词】压缩感知;分段正交匹配追踪;粒子群优化

【作 者】汪浩然;夏克文;牛文佳

【作者单位】河北工业大学 电子与信息工程学院,天津 300401;河北工业大学 电子与信息工程学院,天津 300401;河北工业大学 电子与信息工程学院,天津 300401

【正文语种】中 文

【中图分类】TP391

压缩感知（CS）理论是由Donoho和Candes等在2005年提出的一种从信号稀疏分解和逼近理论发展而来的新的信号处理理论[1-3]。该理论表明，用远低于Nyquist采样定理要求的频率对信号进行采样也能够实现信号的精确重构。其本质内容是：可压缩信号（即在某个基上具有稀疏描述的信号）的少量随机的线性投影即包含了重构和处理该信号的足够信息，即仅仅利用信号可压缩的先验知识和少量全局的线性测量就可以获得精确重建。这种观测策略可以显著减少测量时间、采样率，节省模数转换资源和存储空间。 压缩感知包括3个环节：原始信号稀疏表示、测量矩阵设计和利用观测值重构原始信号。其中，重构算法的作用是将采集到的低维数据尽可能地恢复成高维的原信号，也可以看作是获得的已知信号在给定字典上的稀疏分解的过程。按寻优目标函数的表示方式，重构算法主要可分为：（1）使信号l1范数最小的凸松弛[4-5]和非凸局部最优方法；（2）基于匹配追踪策略的、使信号l0范数最小的贪婪寻优算法。在第一类方法中，凸松弛是最常用的重构策略之一，它首先在冗余字典中全局搜索稀疏基，将信号l1范数最小化问题转化为一类有约束条件的极值问题，然后利用线性规划（LP）求解。凸松弛算法中最典型的是基追踪（BP）[6-7]算法，它使用线性规划中的内点法，在字典的所有基矢量中搜索使全局目标函数极小化的最优基矢量，搜索结果为全局最优；其精确重建具备充分的理论依据并且所需的观测数目少，但算法复杂度极高[8]。而第二类l0范数最小化贪婪寻优算法通过每次迭代时选择一个局部最优解来逐步逼近原始信号。贪婪算法的每次迭代主要包括以下两步：（1）原子匹配（找到一个或多个原子，使其与上一轮迭代所得残差的内积最大，将这些原子加入基原子候选集）；（2）更新（更新逼近系数，使当前残差的范数最小，更新残差）。贪婪算法虽然精度比凸松弛法略低，但由于其易于实现、重构速度快的特点而得到广泛应用。典型代表包括匹配追踪（MP）算法[9]、正交匹配追踪（OMP）算法[10]和正则化正交匹配追踪（ROMP）算法[11]等。

匹配追踪（MP）算法是最早的一种匹配追踪迭代算法，与BP算法相比计算复杂度低并具有渐近收敛性，但由于其在已选定原子（传感矩阵的列向量）集合上的投影的非正交性导致每次迭代的结果都是次最优的，因此需要经过很多次的迭代才能实现收敛。针对这一缺陷，正交匹配追踪（OMP）算法沿用了MP算法的原子选择准则，通过递归地正交化已选择原子集合来保证每次迭代所选的原子最优，相较于MP算法收敛速度得到了明显提升。OMP算法利用Gram-Schmidt正交化过程将投影方向正交化，从而提高了追踪的效率，但是其正交化过程却引入了新的计算开销，导致计算时间过长。为解决这一问题，2012年Donoho D提出了分段正交匹配追踪（StOMP）算法[12]，将OMP算法进行进一步的简化，大大提高了运算速度。这一算法的本质在于每次匹配追踪时选出的是多个匹配原子而不是单个原子，减少了匹配次数，但该算法的重构精度不够理想。另一种改善OMP类算法性能的算法是由Huang于2011年提出的基于回溯策略的匹配追踪（baOMP）算法，baOMP算法将迭代过程分为多个阶段，在每个阶段通过余量的更新进行若干次迭代，通过设置一个可变步长多次迭代逐步逼近稀疏度。该算法可实现对稀疏度自适应，且重构精度较高。

文中针对欠采样条件下的信号重建问题，结合了StOMP算法中的分段匹配追踪策略和baOMP算法中的回溯策略，并对每次迭代所得到的传感矩阵使用惯性权重指数递减粒子群优化算法（IWPSO）进行原子优化，提出一种基于惯性权重指数递减粒子群优化算法和回溯策略的分段正交匹配追踪（ba-IWPSO-StOMP）算法。通过回溯策略和IWPSO算法优化，本文使用的传感矩阵中的原子质量得到了明显改善，从而克服了StOMP算法重构精度受限于阈值选取的不足，可以对信号进行更高精度的稀疏重构。文中对本文算法和多种同类算法进行了仿真比较和结果分析。

2.1 压缩感知基本理论

假设x是一个一维有限长的实值离散时域信号，长度为N,x可在某组正交基Ψ=[ψ1,ψ1,…,ψN]上被表示为：

其中s为x在Ψ域的稀疏系数，x和s均为N×1维向量。若s中大部分系数为零或按降序排列后呈指数级衰减且趋近于零，则认为信号x是可压缩的。信号可压缩（稀疏）是压缩感知应用的前提条件。使用一个M×N维的测量矩阵Θ(M＜＜N)对信号x进行线性测量，得到M×1维的测量向量y，即

式中，Φ=ΘΨ是M×N维的矩阵，称Φ为传感矩阵。若传感矩阵Φ满足等距限制性准则（RIP），则x的稀疏系数s可以通过求解如下优化问题实现精确重构： 式中，””表示0范数，即”⋅”中非零元素的个数。最终由式（1）得到重构的原始信号x。

目前常见的恢复算法主要有两种，一种是凸松弛法，包括BP（基追踪）、SL0（平滑l0范数）等。另一种是匹配追踪类算法，包括MP（匹配追踪）、OMP（正交匹配追踪）等。其他的重构方法包括贝叶斯方法，迭代加权方法和非凸方法，等等。本文主要研究匹配追踪类算法。

2.2 分段正交匹配追踪算法

正交匹配追踪（OMP）算法是在匹配追踪（MP）算法基础上提出的一种改进算法。与匹配追踪相比，该算法特点是在每次迭代中将选出的列用Gram-Schimidt正交化方法进行正交化处理，再将采样值在已选列组成的张量空间上投影，其目的是加快算法收敛速度。虽然OMP算法精度高于MP算法，但该算法仍然保留了MP算法在每次迭代过程中只选择一个原子的策略，这导致了OMP算法面对大规模问题时收敛速度过慢的问题[13]。

StOMP算法将OMP算法进行一定程度的简化，以逼近精度为代价进一步提高计算速度。该算法与OMP算法的区别在于选择子坐标集时设定了一个门限值，在每个迭代阶段，形成匹配滤波器，识别出所有幅值超过设定门限值所对应的坐标。StOMP算法每次迭代选择若干元素，而OMP算法每次迭代仅选出一个元素，所以StOMP算法比OMP算法执行速度快，更适合于解决大规模问题。StOMP算法描述如下。

输入：传感矩阵Φ∈RM×N，测量值y，稀疏度K，候选原子索引集Λ，新选原子索引J，门限参数st；

过程：

步骤1初始化。初始化残差信号r0=y，索引集Λ0=∅，按索引Λ所选出的原子集合Φ0=[]，迭代计数t=1。 步骤2计算，从u中挑选大于门限值st的值，这些值所对应的Φ的列序号j构成J。

步骤3更新索引集Λt=Λt-1⋃J，Φt=[Φt-1,φj] (∀j∈J)。

步骤4由最小二乘法得到=

步骤5更新残差rt=y

步骤6判断是否满足t＞k或残差r的2范数小于误差限，若满足，停止迭代；否则t=t+1，返回步骤2。

3.1 改进的基于回溯策略的匹配追踪算法

baOMP算法[14]是在传统的OMP算法基础上结合了回溯策略的一种匹配追踪算法。该算法在每次迭代中，将原子筛选过程分为两个阶段：（1）按照OMP算法原子选择策略进行原子一次筛选；（2）检测之前筛选出的原子的可靠性，然后按一定策略删除不可靠原子，使迭代所得结果更精确，并且能够实现稀疏度的自适应。该算法不仅能够获得良好重构质量，还继承了OMP算法低复杂度的优点。

baOMP算法在进行原子的二次筛选时使用硬阈值策略，表达式为：

式中，和是第t次迭代通过第一次和第二次原子筛选后通过最小二乘法求得的近似系数，u是所设定的硬阈值。

但baOMP算法的缺陷在于，在正交匹配追踪过程中，随着迭代进行到后期，剩余候选原子的数量越来越少，由候选原子所求得的对应近似系数的数值差距也越来越大，使用硬阈值策略可能会导致二次筛选过程的无效化（即二次筛选时产生空集）。为解决这一问题，本文对原算法使用的固定阈值回溯策略作出改进，使用软阈值回溯策略。每次迭代中，原子的选择策略如下：

式中，Dt是由sigmoid回归函数计算出的第t次迭代的软阈值，通过sigmoid函数设置原子二次选择时所用的阈值，该阈值随着迭代次数的增加不断变大并逐渐逼近1。sigmoid函数表达式如下： 得到的所对应的索引值即为二次筛选后优选原子的索引值。

3.2 基于IWPSO的传感矩阵原子优化算法

PSO算法是群智能算法中的一种，其核心思想来源于鸟类捕食行为，通过个体及群体之间的协作和信息共享来寻找最优解。其算法的数学表达式如下：

在式（6）和式（7）中，vid是粒子的速度向量；xid是粒子的位置向量；pid是粒子个体位置的最优值；pgd是粒子群体位置的最优值；d表示粒子的维数；i表示粒子的个数；c1和c2为学习常数；r1和r2是取值范围在[0，1]之间的随机数；ω是惯性权重因子。

传统PSO算法策略简单且收敛速度快，但该算法存在算法早熟收敛问题，后期粒子多样性变差，收敛速度变慢，算法极易陷入局部最优。因此，文献[15]在原算法的基础上充分考虑粒子之间的进化差异，提出了指数递减惯性权重（IW）粒子群算法，该算法在早期具有更好的全局搜索能力，后期具有更好的局部搜索能力。其惯性权重ω按照下式变化：

式中，k为当前迭代次数，Kmax为迭代最大次数，ωmin和ωmax分别为惯性权重ω的最小和最大值。

传统匹配追踪算法进行重构时所使用的传感矩阵是由原始信号所对应的特定稀疏字典和特定测量矩阵相乘得到的，即传感矩阵中原子的可选范围以及能得到的最小残差是固定的，导致迭代速度缓慢。本文将种群优化思想引入StOMP算法中，考虑到在计算粒子适应度时需要在高维空间中进行内积运算会导致很大的计算量。本文选择缩小待优化粒子的选择范围，在候选粒子中选取粒子适应度排在前20%的粒子作为候选粒子，利用IWPSO算法进行寻优。相比与固定的传感矩阵，这种做法使得每次迭代得到的残差能够尽可能小，加快了迭代速度。基于IWPSO的原子优化算法如下：

步骤1种群中所有粒子个体的初始化。种群规模为传感矩阵的原子个数N，将所用字典生成的传感矩阵的原子φj∈Rd×1(j∈[1,N])作为粒子的初始位置，粒子的搜索区域（即粒子位置的取值范围）及初始速度由所用字典的参数决定。

步骤2计算每个粒子的适应度函数。若i个粒子xid的适应度值优于pid，则pid被xid替换；若pid优于种群最优值pgd，则pgd被pid替换。适应度函数y的表达式为：

式中，rt-1为第t-1次迭代所得的残差，φj为传感矩阵的第j个原子，t为迭代次数。

步骤3根据式（8）更新第t次迭代的惯性权重ωt，再将ωt代入式（6），根据式（6）和（7）更新粒子的飞行速度vid和位置xid。若更新后粒子的位置和速度超出取值限定范围，则使用边界值替代。若更新的第i个粒子的位置xid的适应度值优于其个体位置最优值pid，则使用xid替换pid；若pid优于种群位置最优值pgd，则使用pid替换pgd，否则保持不变，直至迭代次数达到粒子群算法设置的最大迭代次数。

3.3 ba-IWPSO-StOMP算法

StOMP算法虽然重构速度快，但重构质量相对较差。StOMP算法中，原子的选择策略是一次筛选，即找出与残差相关度的绝对值大于阈值的原子组合组成侯选集，但阈值的选取是否合适会导致重构精度的较大波动。

为弥补StOMP算法重构精度和稳定性差的缺陷，本文将前文提出的基于回溯策略的原子选择策略以及基于IWPSO的原子优化思想结合起来加入到StOMP算法中，提出了一种基于回溯策略和IWPSO算法改进的分段正交匹配追踪算法（ba-IWPSO-StOMP）算法。

ba-IWPSO-StOMP算法的具体实现步骤如下：

输入：传感矩阵Φ∈RM×N，测量值y，稀疏度K，全部原子索引集U，候选原子索引集Λ，新选原子索引J，门限参数St，软阈值Dt。 输出：x的K稀疏逼近x∧。

过程：

步骤1初始化。初始化残差信号r0=y，索引集Λ0=∅，按索引Λ所选出的原子集合Φ0=∅，迭代计数t=t+1。

步骤2设定粒子群算法的参数，按照2.3.2的算法步骤描述，使用IWPSO算法对传感矩阵Φ中的部分原子φi(1≤i≤n)进行粒子群迭代优化。当迭代次数达到最大值时，对传感矩阵Φ进行更新，即用经过优化的原子取代传感矩阵中优化前的原子。

步骤3重新计算，从u中挑选大于门限值ts的值ut，ut所对应的Φ的列序号j构成J0。

步骤4更新索引集Λt=Λt-1⋃J0，Φt=[Φt-1,φj] (∀j∈J0)。

为了验证ba-IWPSO-StOMP算法的性能，本文共设计了两组实验：第一组实验检验分别以测量率和稀疏度为自变量，检测该算法对一维信号的重构效果；第二组实验检测该算法对二维图像的重构效果。本文实验在MATLAB 7.0环境下进行仿真。

4.1 一维信号重构实验

4.1.1 以测量率为自变量的重构实验

本节实验中采用的一维非稀疏信号为MATLAB自带的一维电信号leleccum。评价信号重构质量的指标分别选取信噪比（SNR）和相对误差（ERR）。

式中，x为原始信号，x′为重构信号。

为了更好地比较不同算法受测量率变化的影响程度，本文构造一个长度为N(N=256)的leleccum一维电信号作为原始信号，选用db4小波基对其进行稀疏表示，测量矩阵Θ∈RM×N为服从高斯分布的随机矩阵，分别采用不同算法对信号进行重构。信号重构的迭代终止条件是残差小于10-6，StOMP和ba-StOMP以及ba-IWPSO-StOMP中的硬阈值均取ts=2.5，ba-IWPSO-StOMP中，惯性权重的最大值ωmax=0.95和最小值ωmin=0.6，速度向量v的边界值设置为±0.05，IWPSO迭代的最大次数设置为20次。为了使观察结果趋于稳定，重复实验100次对结果取平均值，比较各种算法对信号的重构指标，测试时取不同的测量数M/N来验证算法性能。改变信号的测量率M/N，变化步长为0.1，各算法对信号的重构信噪比和重构平均相对误差的对比曲线和统计数据分别如图1和表1所示。

由图1可见，各算法在不同测量率条件下重构精度差距较大，可知压缩率的选择对重构精度有着重要影响。由图1可以看到，改进前的StOMP算法的重构精度几乎始终处于各算法最低值。测量率在区间[0.3，0.45]变化时，其他三种算法的重构精度均呈平缓或下滑趋势，只有ba-StOMP算法和ba-IWPSO-StOMP算法的重构精度均有所提升，且重构精度明显高于其他三种算法；测量率在区间[0.45，0.8]变化时，StOMP算法的重构精度有所提升，但仍明显低于其他算法。OMP算法均在测量率为0.75时重构精度反而下降，ROMP算法虽然精度持续提升但增长缓慢，而ba-IWPSO-StOMP算法的重构精度则超过了ba-StOMP算法成为最佳，在M/N=0.7时，ba-IWPSO-StOMP算法的SNR最优值为33.273，为5种算法最优值。结合图1（b）中和表1，可以看出，在ERR指标上，ba-IWPSO-StOMP算法最佳值为0.021 2，明显优于OMP，StOMP，ROMP，ba-StOMP这4种算法的最佳值0.033 6，0.004 19，0.029 0，0.025 4，而在稳定性上，ba-IWPSO-StOMP算法也明显占优。综合来看，本文提出的两种算法在测量率变化时的重构精度和稳定性上具有显著优势。

4.1.2 以稀疏度为自变量的重构实验

本节测试稀疏度变化对各算法重构精度的影响。鉴于非稀疏信号经稀疏表示后的稀疏度的不确定性，本组实验中采用二值稀疏信号作为原始信号。除SNR外，评价信号重构质量的指标还选用了平均相对误差（MRE）。

式中，x为原始信号，x′为重构信号。

信号长度N设置为N=60，且测量率保持不变(M/N=0.5)，改变信号的稀疏度，步长为1，范围为[3，10]。各算法对信号的重构信噪比和重构平均相对误差的对比曲线和统计数据分别如图2和表2所示。由图2和表2可见，各算法在信号稀疏度在区间[1，5]变化时基本能够实现精确重构。当稀疏度K＞5时，除ba-StOMP，ba-IWPSO-StOMP算法SNR变化较为平缓，其余算法的重构精度均明显下降。当稀疏度K从5增加到10时，OMP，StOMP，ROMP，ba-StOMP，ba-IWPSO-StOMP五种算法的SNR下降分别为93.188dB，170.097dB，115.489dB，67.709 dB，43.079 dB，可见ba-IWPSO-StOMP算法的性能受稀疏度K的影响最小，重构效果最好。图2（b）中，当稀疏度K从5增加到10时，在MRE指标方面，5种算法的重构效果从好到差依次是ba-IWPSO-StOMP，ba-StOMP，ROMP，OMP，StOMP。由此可见，本文算法在稀疏度变化时的重构性能上仍具有显著优势。

综合4.1.1和4.1.2的实验结果，可以看出，针对一维信号重构，本文算法相比改进前的StOMP算法重构精度有了明显提升。这主要是因为：本文算法克服了StOMP算法重构精度受限于阈值选取的缺点，通过加入原子回溯策略和IWSPO算法对传感矩阵原子的优化操作，大幅度提高了传感矩阵中的原子质量，从而能够实现对信号更高精度的稀疏表示。

4.2 二维图像重构实验

为进一步验证本文算法的正确性和可靠性，使用二维图像进行实验验证。本文分别选取256×256的Lena图与House图作为原始图像X，对X使用Daubechies小波基进行小波变换得到小波域稀疏信号X1，产生高斯随机观测矩阵，对X1进行线性测量（采样率为0.6），对其应用ba-IWPSO-StOMP算法重构原始图像，并与MP、OMP、StOMP、ROMP、ba-StOMP算法的重建图像进行性能对比试验，各算法的重构效果见图3，各项重构质量指标：平均绝对误差（MAE）、均方误差（RMSE）、峰值信噪比（PSNR）和运行时间如表3所示。

由图3可以看出，StOMP算法重构的图像有明显的失真横向条纹，而本文算法在重构不同图像时均具有更好的重构效果，细节信息清晰，明显优于其他算法。对比表3中的数据可以看出，本文算法各项指标均优于其他算法。其中，ba-StOMP、ba-IWPSO-StOMP算法对比改进前的StOMP算法，重构Lena图时，在PSNR方面分别提升了5.587 2 dB和6.589 8 dB；重构House图像时，在PSNR方面分别提升了5.433 9 dB和7.237 4 dB。可以看出，针对二维图像信号重构，通过加入原子回溯策略和传感矩阵原子优化操作，本文算法使用的传感矩阵比StOMP算法性能更好，这对图像的精确重构起到了关键性作用。在大幅度增加了重构精度的同时，在运行时间方面，ba-IWPSO-StOMP算法虽然比StOMP算法在重构Lena图和House图时耗时要更长，但显然比MP及OMP算法耗时少得多，可视为用一定的时间开销换取了重构精度的提升。因此，综合重构质量和重构时间的均衡性来看，本文算法具有明显的优越性。

针对StOMP算法重构时间短但重构精度和稳定性差的特点，本文在原StOMP算法的基础上，提出的ba-IWPSO-StOMP算法结合了回溯策略和IWPSO算法，通过sigmoid函数选择可变阈值实现了对原子的二次筛选并使用IWPSO算法对传感矩阵中部分原子进行优化，从而实现信号更高精度的重构。同时，针对一维信号和二维图像进行了仿真对比实验，比较改进后的算法与同类典型匹配追踪算法的重构效果。实验结果表明，与同类匹配追踪算法相比，本文算法不仅具有很高的重构质量，在其他性能指标和稳定性方面也表现良好。然而，当信号压缩率过小时，各类算法的重构质量都显得较差；而且，比起原始StOMP算法，ba-IWPSO-StOMP算法的时间复杂度也显得稍高。因此，如何对低压缩率的信号进行更加快速的高精度重构是今后需要重点研究的问题。

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