2024年5月17日发(作者：mx150显卡相当于什么)

2021年河北省沧州市高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．（5分）已知（i﹣1）z＝i，复数z的共轭复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知集合A＝{x|x

2

＜2x}，集合B＝{x|log

2

（x﹣1）＜1}，则A∪B＝（ ）

A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}

3．（5分）若圆C：x

2

+16x+y

2

+m＝0被直线3x+4y+4＝0截得的弦长为6，则m＝（ ）

A．26

4．（5分）函数

B．31 C．39

的图象大致为（ ）

D．43

A． B．

C． D．

5．（5分）三星堆古遗址是迄今在西南地区发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰

富的古城、古国、古蜀文化遗址．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，

同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”考古学家在测定遗址年代的过程中，建立

了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：

0

表示碳14

的初始量）．2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出

碳14的含量约为初始量的68%，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（ ）

2

5≈2.32，log

2

17≈4.09）

A．2796年

B．3152年 C．3952年

第1页（共19页）

D．4480年

6．（5分）已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，2S

8

＝S

7

+S

10

，则S

21

＝（ ）

A．21 B．11 C．﹣21 D．0

7．（5分）（x

2

+3x﹣1）

5

展开式中x的系数为（ ）

A．﹣3 B．3 C．﹣15 D．15

的正三角形，且点O恰好在平面8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是面积为

ABC内，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）已知平面向量

A． B．

，，且

C．m＝﹣1 D．

在区间

，则（ ）

上有（多选）10．（5分）若关于x的方程

且只有一个解（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a

2

+b

2

＝1，则（ ）

A．a+b≥ B．

D．ab+1＞a+b

与双曲线C

2

：

C．log

2

a+log

2

b≤﹣1

（多选）12．（5分）设F

1

，F

2

同时为椭圆C

1

：

的左、右焦点，设椭圆C

1

与双曲线C

2

在第一象限内交

于点M，椭圆C

1

与双曲线C

2

的离心率分别为e

1

，e

2

，O为坐标原点，若（ ）

A．|F

1

F

2

|＝2|MO|，则

B．|F

1

F

2

|＝2|MO|，则＝2

C．|F

1

F

2

|＝4|MF

2

|，则e

1

e

2

的取值范围是

第2页（共19页）

D．|F

1

F

2

|＝4|MF

2

|，则e

1

e

2

的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.

13．（5分）若，则＝ ．

14．（5分）沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接

管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，某沙漏由上、下两个圆锥组成，该圆锥的高为

1的液体，且液体能流入下面的圆锥 ．

15．（5分）规定记号“△”表示一种运算，即a△b＝（a

2

﹣1）（b

2

﹣2b），a，b∈R，若k＞

0（x）＝（kx）△x的图象关于直线x＝对称 ．

16．（5分）三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损

一”“三分益一”两层含义．三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长

度×＝生得长度，即原有长度×＝生得长度．两种方法可以交替运用、连续运

用，每次损益的概率为，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在①sinA，sinC，sinB成等差数列；③bcosA＝1这三个条件中任选一个，补充

在下面问题中．若问题中的三角形存在；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c（sinA﹣sinB）+bsinB

＝csinC，c＝1

18．（12分）在公比大于0的等比数列{a

n

}中，已知a

2

，a

3

，6a

1

依次组成公差为4的等差

数列．

（1）求{a

n

}的通项公式；

（2）设，求数列{c

n

}的前n项和T

n

．

19．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，BC∥DE，AB＝BC＝AC＝2DE＝2BE．

第3页（共19页）

（1）证明：AD⊥BC；

（2）若平面BCDE⊥平面ABC，经过A，D的平面α将四棱锥A﹣BCDE分成左、右两

部分的体积之比为1：2

20．（12分）已知抛物线C：x

2

＝2py（p＞0）的焦点为F，点P（1，y

0

）在抛物线C上，

．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）已知直线l交抛物线C于点A，B，且PA⊥PB，证明：直线l过定点．

21．（12分）某企业有甲、乙两条生产同种产品的生产线．据调查统计，100次生产该产品

所用时间的频数分布表如表：

所用的时间（单

位：天）

甲生产线的频数

乙生产线的频数

10

5

20

20

10

20

10

5

10 11 12 13

假设订单A约定交货时间为11天，订单B约定交货时间为12天．（将频率视为概率，当

天完成即可交货）

（1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线（订

单A，B互不影响）；

（2）已知甲、乙生产线的生产成本分别为3万元、2万元，订单A，B互不影响，现订

单A，B用（1），记订单A，B的总成本为ξ（万元）

22．（12分）已知函数f（x）＝me

x

（x+1）﹣x

2

﹣4x﹣2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥﹣2时，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

第4页（共19页）

2021年河北省沧州市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．（5分）已知（i﹣1）z＝i，复数z的共轭复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的除法运算化简，求出的坐标得答案．

【解答】解：∵（i﹣1）z＝i，

∴

∴，

，

＝，

∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点是

故选：A．

【点评】本题考查复数的除法运算和共轭复数，考查运算求解能力，考查复数的代数表

示法及其几何意义，是基础题．

2．（5分）已知集合A＝{x|x

2

＜2x}，集合B＝{x|log

2

（x﹣1）＜1}，则A∪B＝（ ）

A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2}

【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．

【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|4＜x＜3}，

∴A∪B＝{x|0＜x＜5}．

故选：C．

【点评】本题考查集合运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力

等数学核心素养，是基础题．

3．（5分）若圆C：x

2

+16x+y

2

+m＝0被直线3x+4y+4＝0截得的弦长为6，则m＝（ ）

A．26 B．31 C．39 D．43

【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出圆心到已知直线的距离，

利用垂径定理列式求解m值．

【解答】解：x

2

+16x+y

2

+m＝6可化为（x+8）

2

+y

3

＝64﹣m（m＜64），

∴圆心坐标C（﹣8，0），

第5页（共19页）

圆心到直线6x+4y+4＝5的距离d＝＝7，

又圆C：x

2

+16x+y

2

+m＝3被直线3x+4y+3＝0截得的弦长为6，

∴7

2

+3

5

＝64﹣m，解得m＝39．

故选：C．

【点评】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．

4．（5分）函数的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据条件判断函数的奇偶性，对称性，以及单调性即可．

【解答】解：∵x≠0，

∵f（1）＝e﹣1＞3．排除D．

∵当x＞0时，

故选：B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性，单调性是解

决本题的关键，是基础题．

5．（5分）三星堆古遗址是迄今在西南地区发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰

富的古城、古国、古蜀文化遗址．三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，

同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”考古学家在测定遗址年代的过程中，建立

，∴当x＝2时，∴排除C．

，∴f（x）为奇函数．

了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：

第6页（共19页）

0

表示碳14

的初始量）．2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出

碳14的含量约为初始量的68%，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（ ）

2

5≈2.32，log

2

17≈4.09）

A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年

【分析】利用题中的条件，列出等量关系，再根据对数运算，即可解出．

【解答】解：设三星堆古遗址存在的时期距今大约是x年，则，

即，

所以，解得x≈5730

×7.55≈3152．

故选：B．

【点评】本题考查对数的运算，学生的数学运算能力，考查逻辑推理能力，属于基础题．

6．（5分）已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，2S

8

＝S

7

+S

10

，则S

21

＝（ ）

A．21 B．11 C．﹣21 D．0

【分析】由2S

8

＝S

7

+S

10

，可得a

8

＝a

9

+a

10

，再利用等差数列的性质与求和公式即可得出．

【解答】解：由2S

8

＝S

3

+S

10

，得S

8

﹣S

7

＝S

10

﹣S

3

，

所以a

8

＝a

9

+a

10

，则a

10

+a

3

﹣a

8

＝a

11

＝0，

所以S

21

＝21a

11

＝5．

故选：D．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算

能力，属于基础题．

7．（5分）（x

2

+3x﹣1）

5

展开式中x的系数为（ ）

A．﹣3 B．3 C．﹣15 D．15

【分析】由题意利用乘方的意义，排列组合的知识，计算求得展开式中x的系数．

【解答】解：由于（x

2

+3x﹣4）

5

展表示5个因式（x

2

+3x﹣1）的乘积，

故当一个因式取7x，其余的因式都取﹣1，

可得开式中x的系数为 •3•（﹣1）

5

＝15，

第7页（共19页）

故选：D．

【点评】本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是面积为

ABC内，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ）

A． B． C． D．

的正三角形，且点O恰好在平面

【分析】依题意易知底面ABC的边长为，而外接球的球心O恰好在平面ABC内，

由正弦定理可知外接球半径为2，进而求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值．

【解答】解：由题可知底面ABC的边长为，

∵三棱锥P﹣ABC外接球的球心O恰好在平面ABC内，

∴球O的半径为

．

故选：B．

【点评】本题考查三棱锥外接球体积求解，考查空间想象能力及运算求解能力，属于基

础题．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）已知平面向量

A． B．

，，且

C．m＝﹣1 D．

，则（ ）

，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为

【分析】利用向量的模的运算法则，求解向量的数量积，推出结果即可．

【解答】解：由

故选：AD．

【点评】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，是基础题．

（多选）10．（5分）若关于x的方程

且只有一个解（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

在区间上有

，得，所以2+2m＝3，，，

【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质及方程的解与函数图像

的交点的相互转化关系即可求解．

第8页（共19页）

【解答】解：

即

即

又

当

当

当

要使得

结合

，即

，即

，即

在区间

的图象和直线

，则

时，可得

化简可得

，

，

．

；

时，可得y＝6；

时，可得y＝0．

的图象和直线

的图象（图略）

，

或，

解得m＝﹣2或﹣8＜m≤0，

故选：AC．

【点评】本题考查三角函数的性质，函数性质的灵活应用是求解问题的关键．

（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a

2

+b

2

＝1，则（ ）

A．a+b≥ B．

D．ab+1＞a+b

C．log

2

a+log

2

b≤﹣1

【分析】直接利用不等式的性质，基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】解：对于A，令，，则，故A不正确；

对于B，

正确；

对于C，

确；

对于D，由a

4

+b

2

＝1，所以8＜a＜1，则ab+1﹣a﹣b＝（5﹣a）（1﹣b）＞0．

故选：BCD．

，当且仅当

，故B

时，故C正

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题．

第9页（共19页）

（多选）12．（5分）设F

1

，F

2

同时为椭圆C

1

：与双曲线C

2

：

的左、右焦点，设椭圆C

1

与双曲线C

2

在第一象限内交

于点M，椭圆C

1

与双曲线C

2

的离心率分别为e

1

，e

2

，O为坐标原点，若（ ）

A．|F

1

F

2

|＝2|MO|，则

B．|F

1

F

2

|＝2|MO|，则＝2

C．|F

1

F

2

|＝4|MF

2

|，则e

1

e

2

的取值范围是

D．|F

1

F

2

|＝4|MF

2

|，则e

1

e

2

的取值范围是

【分析】设|MF

1

|＝m，|MF

2

|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m+n＝2a，利用双曲线的定

义，结合离心率，判断选项的正误即可．

【解答】解：如图，设|MF

1

|＝m，|MF

2

|＝n，焦距为5c，

由双曲线定义可得m﹣n＝2a

1

，解得m＝a+a

2

，n＝a﹣a

1

．

当|F

1

F

8

|＝2|MO|时，则∠F

1

MF

7

＝90°，所以m

2

+n

2

＝7c

2

，

即，由离心率的公式可得．

当|F

1

F

8

|＝4|MF

2

|时，可得，即，

由0＜e

4

＜1，可得，即5＜e

2

＜2，则，

可设2+e

2

＝t（8＜t＜4），则

由

故选：BD．

在（2，可得，则

，

第10页（共19页）