2024年4月23日发(作者：native)

2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题

（二模）

一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 元月份某，北京市的气温为﹣6℃，长泰县的气温为15℃，那么这长泰县的气温比北京市的

气温高（　　）

A. 15℃B. 20℃C. 　21℃D. 21℃

2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力

发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)

A

.

5.3×10

3

B. 5.3×10

4

C. 5.3×10

7

D. 5.3×10

8

3. 下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

4. 在社会中，四名同学分别就同一种商品的价格变化情况，给了如下四幅图，为了更直观、

清楚地体现该商品的价格增长势头，你认为比较理想的是（　　）

A. B. C. D.

5. 若 a、b 是一元二次方程 x

2

+3x -6＝0

的

两个没有相等的根，则 a

2

﹣3b 的值是（

）

A. -3B. 3C. ﹣15D. 15

6. 已知函数y＝（k﹣2）x+k没有第三象限，则k的取值范围是（　　）

A. k≠2B. k＞2C. 0＜k＜2D. 0≤k＜2

7. 已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（

）

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A. 5条B. 6条C. 8条D. 10条

8. 下列运算正确的是（ ）

A. （x

3

）

2

=x

5

B. （﹣2x）

2

÷x=4x

C. （x+y）

2

=x

2

+y

2

yx



D.

x



yy



x

=1

9. 如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交

4

S



S

四边形

BEOF

于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD =

3

，④



ODC

中，正

确的有【 】

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

10. 如图所示，向一个半径为

R

、容积为

V

的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积

y

与容器内水深

x

间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

　

二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）

第2页/总56页

x

2



2x



11. 要使分式

x



4

x

2



x



2

x

2



2x



x



4

和

x

2



x



2



2

都有意义，则x的取值范围是 _____．

12. 如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC

的

角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，

则∠F的度数是__．

13. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆

成这样的图形，至少需用_____块小正方体．

14. [x]表示没有超过x的整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当

x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大

而一直增大．其中正确命题有_____（只填写正确命题的序号）．

15. 已知△ABC与△ABD没有全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则

CD＝_____．

16. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个没有规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，

小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在没有远处向圈内掷石子，且记录如下：

依此估计此封闭图形ABC的面积是_____m

2

．

三．解 答 题（共9小题，满分72分）

1

17. （1）计算：（

3

）

﹣2

　（π　

7

）

0

+|

3

　2|+6tan30°；

第3页/总56页

3xxx



2

（2）先化简，再求值：（

x



2x



2

）÷

x4

，其中x=﹣1．

18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，

（1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．

OE1



为

（2）若点E

AC中点，问点D满足什么条件时候，

OB2

．

19. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从

中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图

（如图）．

月均用水量（单位：t）

2≤x＜3

3≤x＜4

4≤x＜5

5≤x＜6

6≤x＜7

7≤x＜8

8≤x＜9

频数

2

12

　　

10

　　

3

2

百分比

4%

24%

　　

20%

12%

6%

4%

（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总

体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的

2个家庭来自没有同范围的概率．

第4页/总56页

20. 某种水果的价格如表：

购买的质量（千克）没有超过10

千克

每千克价格6元

超过10千

克

5元

张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于次），共付款132元．问张欣次、第二次分别

购买了多少千克这种水果？

1

2mx4mx1

x



6

，求m的值.

2

的解是21. 已知关于

x

的没有等式

3

22. 随着人们经济收入的没有断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解

停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张

贴限高标志，以便告知车辆能否驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是

平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果到0.1m，sin28°

≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

23. 如图，象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为

3

（2，4），且tan∠ACB=

2

求：（1）反比例函数的解析式；

（2）点C

的

坐标；

第5页/总56页

（3）sin∠ABC的值．

24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过

点A的切线相交于点E．

（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；

（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；

（3）若AB=8，AD=6，求BD．

25. 已知，抛物线y＝ax

2

+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将

线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求

t的取值范围．

第6页/总56页

2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题

（二模）

一．选一选（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 元月份某，北京市的气温为﹣6℃，长泰县的气温为15℃，那么这长泰县的气温比北京市的

气温高（　　）

A. 15℃

【正确答案】D

B. 20℃C. 　21℃D. 21℃

【详解】分析：

根据题意列出式子按有理数减法法则计算即可.

详解：

由题意可得：

15(6)15621

（℃）.

故选D.

点睛：本题考查的是有理数减法的实际应用，解题的关键是根据题意列出正确的算式.

2. 据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力

发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为(　　)

A. 5.3×10

3

【正确答案】C

B. 5.3×10

4

C. 5.3×10

7

D. 5.3×10

8

【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，

n是正数；当原数的值<1时，n是负数．

【详解】解：5300万=53000000=

5.310

.

故选C.

在把一个值较大

的

数用科学记数法表示为

a10

的形式时，我们要注意两点：①

a

必须满足：

n

7

1a10

；②

n

比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定

n

）.

3. 下列电脑桌面快捷方式的图片中，是轴对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

第7页/总56页

【正确答案】D

【详解】分析：

根据轴对称图形的定义进行判断即可.

详解：

A选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选A；

B选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选B；

C选项中的图形没有是轴对称图形，没有能选C；

D选项中的图形是轴对称图形，可以选D.

故选D.

点睛：本题考查的是轴对称图形的识别，解题的关键是正确理解轴对称图形的定义：“把一个

图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”，这样

对照定义进行判断即可得到正确答案了.

4. 在社会中，四名同学分别就同一种商品的价格变化情况，给了如下四幅图，为了更直观、

清楚地体现该商品的价格增长势头，你认为比较理想的是（　　）

A. B. C. D.

【正确答案】C

【详解】分析：

按照画折线统计图的规范要求进行判断即可.

详解：

因为绘制折线统计图时，首先要确定好横轴与纵轴的单位长度，然后根据具体数量通过向横轴

和纵轴作垂线的方式确定好各点的位置，再顺次连接所描各点即可得到所求折线，

所以对比四位同学所画折线统计图可知，符合画折线统计图的规范的，比较理想的是C.

故选C.

第8页/总56页

点睛：本题考查是绘制折线统计图，解题的关键是理解画折线统计图的步骤和注意事项.

5. 若 a、b 是一元二次方程 x

2

+3x -6＝0 的两个没有相等的根，则 a

2

﹣3b 的值是

（

A. -3

【正确答案】D

）

B. 3C. ﹣15D. 15

【分析】根据根与系数的关系可得a+b=﹣3，根据一元二次方程的解的定义可得a

2

=﹣3a+6，

然后代入变形、求值即可．

【详解】∵a、b是一元二次方程x

2

+3x﹣6=0的两个没有相等的根，

∴a+b=﹣3，a

2

+3a﹣6=0，即a

2

=﹣3a+6，则a

2

﹣3b=﹣3a+6﹣3b=﹣3（a+b）

+6=﹣3×（﹣3）+6=9+6=15．

故选D．

本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代

数式变形相进行解题．

6. 已知函数y＝（k﹣2）x+k没有第三象限，则k的取值范围是（　　）

A. k≠2

【正确答案】D

B. k＞2C. 0＜k＜2D. 0≤k＜2

【详解】直线没有第三象限，则第二、四象限或、二、四象限，当第二、四象限时，函数为正

比例函数，k=0



k



2



0



k



0

,解得0



综上所述，0≤k<2．故选D

7. 已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP＝6，则过P点，且长度为整数的弦有（

）

A. 5条

【正确答案】C

B. 6条C. 8条D. 10条

【详解】解：如图，AB是直径，OA=10，OP=6，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．由

垂径定

理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=8，CD=16，则CD是过点P最短的弦，长为

第9页/总56页

16；AB

是过P最长的弦，长为20．所以过点P的弦的弦长可以是17，18，19各两条．总共有8条长

度为整数

的弦．故选C．

8. 下列运算正确的是（ ）

A. （x

3

）

2

=x

5

B. （﹣2x）

2

÷x=4x

C. （x+y）

2

=x

2

+y

2

【正确答案】B

yx



D.

x



yy



x

=1

【分析】按照幂的相关运算法则、乘法公式和分式的相关运算法则进行计算，再判断即可得到

答案．

326

(x)x

【详解】A．因为，所以该选项计算错误；

2

(2x)x4x

，所以该选项计算正确；B．因为

222

(xy)x2xyy

C．因为，所以该选项计算错误；

yxyx



1

x



yy



xx



yx



y

D．因

为

，所以该选项计算错误．

故选：B．

本题是一道考查整式和分式相关运算的题目，正确理解相关运算的运算法则是正确解答本题的

关键．

9. 如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交

4

S



S

四边形

BEOF

于点O.下列结论：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD =

3

，④



ODC

中，正

确的有【 】

A. 1个

【正确答案】C

B. 2个C. 3个D. 4个

第10页/总56页

【详解】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．

∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3．

在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）．

∴∠CFD=∠BEC．∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°．

∴∠DOC=90°．故①正确．

如图，连接DE

若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE．

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误．

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC．

DC4

=

FC3

．故③正确．∴tan∠OCD=tan∠DFC=

∵△EBC≌△FCD，∴S

△EBC

=S

△FCD

．

∴S

△EBC

－S

△FOC

=S

△FCD

－S

△FOC

，即S

△ODC

=S

四边形BEOF

．故④正确．故选C．

10. 如图所示，向一个半径为

R

、容积为

V

的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积

y

与容器内水深

x

间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

第11页/总56页

【正确答案】A

【

详解】试题分析：观察可得，只有选项B符合实际，

故答案选A.

考点:函数图象.

　

二．填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）

x

2



2x



11. 要使分式

x



4

x

2



x



2

x

2



2x



x



4

和

x

2



x



2



2

都有意义，则x的取值范围是 _____．

【正确答案】x=　4或x＞4．

【详解】x应满足①x

2

+2x≥0；

②|x|　4≥0；

③x

2

　2x≥0；

④x+4≥0；

2

x2xx4

；⑤

⑥x

2

　x　2≥0；

⑦x

2

+x　2≥0；

2

xx2

≠2，⑧

依次解得：①x≤　2或x≥0；

②x≤　4或x≥4；

③x≤0或x≥2；

④x≥　4；

⑤x≠4，x≠　1；

⑥x≤　1或x≥2；

⑦x≤　2或x≥1；

第12页/总56页

⑧x≠　3，x≠2，

∴综合可得x=　4或x＞4．

故答案为x=　4或x＞4．

点睛：本题考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母没有等于0，二次

根式有意义的条件是被开方式大于且等于0.

12. 如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，

则∠F的度数是__．

【正确答案】11°．

【详解】分析：本题考查的是平行线的内错角相等，角平分线的性质和三角形外角的性质.

解析：∵AB//CD，∠DCE=118°，∴∠AEC=118°, ∵∠AEC的角平分线EF与GF相交线于点F,

∴∠AEF=∠FEC=59°, ∵∠BGF=132°, ∴∠F=11°.

故答案为11°.

13. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆

成这样的图形，至少需用_____块小正方体．

【正确答案】5

【详解】由题图可得：第二层有2个小正方体，层至少有4个小正方体，故至少需用6个小正

方体．

14. [x]表示没有超过x的整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，若y=x﹣[x]，下列命题：①当

x=﹣0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大

而一直增大．其中正确命题有_____（只填写正确命题的序号）．

【正确答案】①．

第13页/总56页

【分析】由[x]表示没有超过x的整数可知

x1[x]x

取值代入检验即可判断出几个命题的

正误.

【详解】①∵[x]表示没有超过x的整数，

∴在y=x﹣[x]中，当x=-0.5时，y=-0.5-(-1)=0.5，

∴命题①成立；

②∵[x]表示没有超过x的整数，

∴

x1[x]x

，

∴在y=x﹣[x]中，y

yxx0

，即

y≥0

；

∴在y=x﹣[x]中，y的取值范围是：

0y1

，

∴命题②错误；

③∵在y=x﹣[x]中，当x=-3时，y=-3-(-3)=0；当x=4时，y=4-4=0；

而此时-3<4，但0=0，

∴命题③错误.

综上所述，正确的命题是：①.

故答案为①.

本题是一道考查“新运算”的题目，解题的关键是：（1）读懂题中对新运算的定义；（2）对于

第3个命题采用取值法进行验证说明比较简单.

15. 已知△ABC与△ABD没有全等，且AC＝AD＝1，∠ABD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则

CD＝_____．

【正确答案】1或

2

．

【分析】根据题意分两种情形分别求解即可．

【详解】解：如图，

第14页/总56页

当CD在AB同侧时，∵AC＝AD＝1，∠C＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AC＝1，

当C、D在AB两侧时，∵△ABC与△ABD没有全等，

∴△ABD′是由△ABD沿AB翻折得到，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠AD′B＝ADB＝120°，

∵∠C+∠AD′B＝180°，

∴∠CAD′+∠CBD′＝180°，

∵∠CBD′＝90°，

∴∠CAD′＝90°，

∴CD′＝

1+1=2

．

当D″在BD′的延长线上时，AD″＝AC，也满足条件，此时CD″＝

2

ABD≌△ABC，没有符合题意，

故答案为1或

2

．

本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键

是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填 空 题中的压轴题．.

16. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个没有规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，

小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在没有远处向圈内掷石子，且记录如下：

6+2

BC＝

2

，此时△

22

依此估计此封闭图形ABC的面积是_____m

2

．

【正确答案】3π．

【详解】分析：

由表中记录的数据通过计算可知，随着投掷石子次数的增加，石子落在阴影内的次数与落在

第15页/总56页

⊙O内(包括⊙O上)的次数之比逐渐稳定在2：1左右，由此说明S

阴影

=2S

⊙O

这样已知即可求出

整个图形的面积了.

详解：

m4



0.74

n19

由表中数据可得：当投掷石子50次时，；当投掷石子150次时，

m43m93



0.51



0.5

n85n186

；当投掷石子300次时，；

∴石子落在阴影部分的概率大约是落在⊙O内(包括和⊙O上)的概率的2倍，

∴S

阴影

=2S

⊙O

，

又∵S

⊙O

=



,

∴S

阴影

=

2



，

∴此封闭图形ABC的面积是：

3



m

2

.

故答案为.

3



点睛：读懂题意，明白“石子落在阴影部分和圆内（包括圆上）部分的概率之比等于两部分图

形的面积之比”是正确解答此题的关键.

三．解 答 题（共9小题，满分72分）

1

17. （1）计算：（

3

）

﹣2

　（π　

7

）

0

+|

3

　2|+6tan30°；

3xxx



2

（2）先化简，再求值：（

x



2x



2

）÷

x4

，其中x=﹣1．

【正确答案】（1）10+

3

；（2）2x+8，6

.

3

【详解】试题分析：(1)先计算－2、0次方、去值符号和将tan30°＝

3

代入计算，再加减；

（2）先化简，再将x=-1代入计算即可；

试题解析：

3

（1）原式＝9－1＋2－

3

＋6×

3

＝10－

3

＋2

3

＝10＋

3

.

第16页/总56页

3x(x



2)x(x



2)

(x



2)(x



2)



x

(2)解：原式＝[

(x



2)(x



2)(x



2)(x



2)

]·

3x

2



6x



x2



2x(x



2)(x



2)

·

x

＝

(x



2)(x



2)

2x

2



8x

x

＝

＝2x＋8，

当x＝－1时，原式＝2×(－1)＋8＝6.

18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，

（1）若∠BDO=∠CEO，求证：BE=CD．

OE1



（2）若点E为AC中点，问点D满足什么条件时候，

OB2

．

【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【详解】分析：

（1）由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，∠BDO=∠CEO和BC=CB可得△DBC≌△ECB，由此可得

BE=CD；

（2）由E为AC中点可知，若此时D为AB的中点，则由三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=

1

2

OEDE1



BC，从而可得△DEO∽△BCO，由此即可得到

OBBC2

.

详解：

（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△DBC与△ECB中，

∴△DBC≌△ECB，





ABC



ACB







BDO



CEO



BC



CB



，

第17页/总56页

∴BE=CD；

OE1



（2）当点D为AB的中点时，

OB2

，理由如下：

∵点E为AC中点，点D为AB的中点，

1

∴DE=

2

BC，DE∥BC，

∴△DEO∽△BCO，

OEDE1



OBBC2

.∴

点睛：本题是一道考查三角形全等和相似三角形判定和性质的几何题，解题的关键有两点：

（1）熟悉等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法；（2）熟悉三角形中位线定理和相似三

角形的判定和性质.

19. 小军同学在学校组织的社会中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从

中随机了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图

（如图）．

月均用水量（单位：t）

2≤x＜3

3≤x＜4

4≤x＜5

5≤x＜6

6≤x＜7

7≤x＜8

8≤x＜9

频数

2

12

　　

10

　　

3

2

百分比

4%

24%

　　

20%

12%

6%

4%

（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总

体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的

2个家庭来自没有同范围的概率．

第18页/总56页

【正确答案】（1）的总数是：50（户），6≤x＜7部分的户数是： 6（户），4≤x＜5的户数是：

2

15（户），所占的百分比是：30%．（2）279（户）；（3）

3

.

【分析】(1)根据组的频数是2,百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解：

(2)利用总户数450乘以对应的百分比求解;

(3) 在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树

状图表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解.

【详解】解：（1）的总数是：2÷4%=50（户），

则6≤x＜7部分的户数是：50×12%=6（户），

15

则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：

50

×=30%．

月均用水量（单位：t）

2≤x＜3

频数

2

百分比

4%

第19页/总56页

3≤x＜4

4≤x＜5

5≤x＜6

6≤x＜7

7≤x＜8

8≤x＜9

12

15

10

6

3

2

24%

30%

20%

12%

6%

4%

（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；

（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．

82

则抽取出的2个家庭来自没有同范围的概率是：

12

=

3

．

本题主要考查统计表和条形统计图,树状图求概率,较为容易，需注意频数、频率和总数之间的

关系.

20. 某种水果的价格如表：

购买的质量（千克）没有超过10

千克

每千克价格6元

超过10千

克

5元

张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于次），共付款132元．问张欣次、第二次分别

购买了多少千克这种水果？

【正确答案】张欣次、第二次购买这种水果的质量分别为7千克、18千克．

【详解】分析：

由题意设张欣次和第二次购买这种水果的量分别位x千克和y千克，由题意可知x<12.5

后所给数量关系分

x10

和

x10

两种情况分别列出二元方程组进行解答即可.

详解：

设张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为x千克、y千克，因为第二次购买多于次，则

第20页/总56页

x＜12.5＜y．



x



y



25



6x



5y



132

，①当x≤10时，





x



7



y



18

；解得





x



y



25



5x



5y



132

，此方程组无解．②当10＜x＜12.5时：



综上所述，张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为7千克和18千克.

答：张欣次、第二次购买了这种水果的量分别为7千克、18千克．

点睛：本题的解题的关键是抓住题目中“两次共购买水果25千克，且第二次的购买量多于次”

分别设两次购买水果的数量为x和y，从而得到x＜12.5＜y，再分x≤10和10＜x＜12.5两种情

况解答即可.

1

2mx4mx1

x



6

，求m的值.

2

的解是21. 已知关于

x

的没有等式

3

【正确答案】m无值．

【分析】把原没有等式化简整理可得：（12m　2）x≥4m+3，题中所给原没有等式的解集为：

x

1

4m



3115



mm

6

，可得①

12m20

及②

12m



26

，由①可得

6

，由②可得

3

，综合即

可得到满足题中条件的m的值没有存在.

【详解】原没有等式可化为：4m+2x≤12mx　3，

即（12m　2）x≥4m+3，

x

又∵原没有等式的解为

1

6

，

4m



31



∴有①

12m20

、②

12m



26

，

m

∵由①解得

15

m

6

，由②解得

3

，

∴满足条件的m的取值没有存在，即本题无解.

x

本题解题的关键是由“原没有等式化简所得式子（12m　2）x≥4m+3原没有等式的解集为

1

6

”

第21页/总56页

m

得到m需同时满足两个条件：①可得

件忽略了.

15

m

6

；②可得

3

，特别要注意没有要将第1个条

22. 随着人们经济收入的没有断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解

停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张

贴限高标志，以便告知车辆能否驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是

平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果到0.1m，sin28°

≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【正确答案】坡道口的限高DF的长是3.8m．

【详解】试题分析：首先根据AC∥ME，可得∠CAB=∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，

进而得到BD的长，进而求出DF即可．

试题解析：∵AC∥ME，

∴∠CAB=∠AEM，

在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，

∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），

∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），

在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，

在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，

∴∠BDF=∠CAB=28°，

∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），

答：坡道口的限高DF的长是3.8m．

23. 如图，象限内的点A、B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为

3

（2，4），且tan∠ACB=

2

求：（1）反比例函数的解析式；

（2）点C的坐标；

第22页/总56页

（3）sin∠ABC的值．

8

5

【正确答案】（1）y=

x

；（2）点C的坐标为（0，1）；（3）sin∠ABC=

5

．

y



【分析】（1）设反比例函数的解析式为

可求得所求解析式；

k

x

，把点A的坐标代入所设解析式中求得k的值，即

3

（2）如图，过点A作AF⊥x轴于点E，交BC于点F，则由题意易得CF=2，tan∠ACB=

2

可解

得AF=3，从而可得EF=AE-AF=1，由此即可得点C的坐标为（0，1）；

（3）由（1）（2）可求得点B的坐标，从而可得BC的长，进而可得BF的长，AF的长即可在

Rt△ABF中解得AB的长，由此AF的长即可求得sin∠ABC的值了.

y



【详解】解：（1）设反比例函数解析式为

将点A（2，4）代入，得：k=8，

k

x

，

y



∴反比例函数的解析式

8

x

；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，

2CF



又∵tan∠ACB=

3AF

，

第23页/总56页

∴AF=3，

∴EF=AE-AF=4-3=1，

∴点C的坐标为（0，1）；

（3）∵点C的坐标为（0，1），BC∥x轴，

∴点B的纵坐标为1，

y



∵ 当y=1时，在

88

x

由1=

x

可得x=8，

∴点B的坐标为（8，1），

∴BF=BC　CF=6，

22

BFAF35

，∴AB=

AF5



5

．∴sin∠ABC=

AB

本题是一道反比例函数与几何图形和锐角三角函数相的题目，解题的关键是作出如图所示的辅

助线，这样构造出两个直角三角形，已知条件和正切函数及正弦函数的意义即可求出所求量了.

24. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过

点A的切线相交于点E．

（1）∠ACB=　 　°，理由是：　 　；

（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；

（3）若AB=8，AD=6，求BD．

14

【正确答案】（1）90°；直径所对的圆周角是直角；（2）证明见解析；（3）

5

【详解】试题分析：（1）根据AB是⊙O的直径，点C在⊙O上利用直径所对的圆周角是直角

即可得到结论；

第24页/总56页

（2）根据∠ABC

的

平分线与AC相交于点D，得到∠CBD=∠ABE，再根据AE是⊙O的切线得到

∠EAB=90°，从而得到∠CDB+∠CBD=90°，等量代换得到∠AED=∠EDA，从而判定△EAD是等

腰三角形．

（3）证得△CDB∽△AEB后设BD=5x，则CB=4x，CD=3x，从而得到CA=CD+DA=3x+6，然后在直

角三角形ACB中，利用AC2+BC2=AB2得到（3x+6）2+（4x）2=82解得x后即可求得BD的长．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）

（2）△EAD是等腰三角形．

证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，

∴∠CBD=∠ABE

∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°

∴∠AEB+∠EBA=90°，

∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，

∵∠CBE=∠ABE，

∴∠AED=∠EDA，

∴AE=AD

∴△EAD是等腰三角形．

（3）解：∵AE=AD，AD=6，

∴AE=AD=6，

∵AB=8，

∴在直角三角形AEB中，EB=10

∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE

∴△CDB∽△AEB，

AEDC63



∴

ABBC84

，

∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，

∴CA=CD+DA=3x+6，

在直角三角形ACB中，

AC

2

+BC

2

=AB

2

即：（3x+6）

2

+（4x）

2

=82，

14

解得：x=﹣2（舍去）或x=

25

第25页/总56页

14

∴BD=5x=

5

.

点睛：本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定以及

相似三角形的判定与性质，难度中等偏上.

25. 已知，抛物线y＝ax

2

+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将

线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，试求

t的取值范围．

1

的坐标为（﹣

2

【正确答案】（1）b=　2a，顶点D

27327

9



a

a

8

；（3） 2≤t＜，　

4

）；（2）

4a

9

4

．

【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析

式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，

可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定

D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有

一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物

线有两个没有同的公共点时t的取值范围．

【详解】解：（1）∵抛物线y=ax

2

+ax+b有一个公共点M（1，0），

第26页/总56页

∴a+a+b=0，即b=-2a，

1

∴y=ax

2

+ax+b=ax

2

+ax-2a=a（x+

2

1

的坐标为（-

2

9a

）

2

-

4

，

∴抛物线顶点D

9a

，-

4

）；

（2）∵直线y=2x+m点M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=-2，

∴y=2x-2，



y

＝

2x



2



2

y

＝

ax



ax



2a

，



则

得ax

2

+（a-2）x-2a+2=0，

∴（x-1）（ax+2a-2）=0，

2

解得x=1或x=

a

-2，

2

4

∴N点坐标为（

a

-2，

a

-6），

∵a＜b，即a＜-2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

x



∵抛物线对称轴为

1

∴E（-

2

a1



2a2

，

，-3），

第27页/总56页

2

4

∵M（1，0），N（

a

-2，

a

-6），

设△DMN的面积为S，

1

∴S=S

△DEN

+S

△DEM

=

2

29a273

27

|（

a

-2）-1|•|-

4

-（-3）|=

4

−

a

−

8

a，

（3）当a=-1时，

1

2

抛物线的解析式为：y=-x

-x+2=-（x+

2

9

）

2

+

4

，



y



x

2



x



2



y



2x

由



，

-x

2

-x+2=-2x，

解得：x

1

=2，x

2

=-1，

∴G（-1，2），

∵点G、H关于原点对称，

∴H（1，-2），

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，

-x

2

-x+2=-2x+t，

x

2

-x-2+t=0，

△=1-4（t-2）=0，

9

t=

4

，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），

把（1，0）代入y=-2x+t，

t=2，

9

∴当线段GH与抛物线有两个没有同的公共点，t的取值范围是2≤t＜

4

．

第28页/总56页