2024年4月21日发(作者：k920联想)

回顾一下柯西不等式：

设，，，则设ai，bi∈R，i=1,⋯

i=1naibi)2

,n，则

(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)≥(∑

当且仅当，时取等当且仅当ai=kbi(k≠0)，i=1,...,n时取等

Ⅰ 起步

柯西不等式的取等条件是很多竞赛生(特别是初学不等式者)所不曾注意

的，事实上利用柯西不等式待定系数的核心就是在于它的取等条件，下

面我们来看几个例子:

例一：(IMO Short List 2016)求最大的实数

，a，

使得对所

有正整数

n≥1

和任意

x0,x1,⋯xn

满足

＜＜＜＜0=x0＜x1＜x2＜⋯＜

xn,

均有

∑k=1n1xk−xk−1≥a∑k=1nk+1xi⋯(1)

分析与解答：由原不等式直接估计

a

的上界是一件困难的事，为了构造

出

1xi−xi−1

这一项，我们来考虑待定系数，由柯西不等式，有：（其中

ak

为

待定系数）

[xk−1+(xk−xk−1)](ak−12xk−1+1xk−xk−1)≥(ak−1+1)2

于是

1xk−xk−1≥(ak−1+1)2xk−ak−12xk−1

将其余（n-1）个式子相加，比较

1xk

的系数，有

((ak−1+1)2−ak2)=)(ak−1+1−ak)(ak−1+1+ak)=a(k+1)

其中

a0=0

（因为

x0=0

)。如果把

k

看做变量，那么上式右边为关于

k

的

一次式，因此我们大胆猜测

{ak}

可能是等差数列

！

设

ak=bk

（ b为常数），

有：

(1−b)(2bk−b+1)=a(k+1)

为凑出

a(k+1)

这一项，上式左边

k

和常数项系数必须相等，因此

2b=1−b⇒b=13

回到原题，则当

n≥k≥2

时，有：

[xk−1+(xk−xk−1)]((k−1)2xk−1+32xk−xk−1)≥(k−1+3)2⋯(2)

⇒32xk−xk−1≥(k+2)2xk−(k−1)2xk−1

⇒32x1−x0+∑k=2n32xk−xk−1≥ 32x1+∑k=2n[(k+2)2xk−(k−1)2xk−1]

⇒9⋅∑k=1n1xk−xk−1≥ 4⋅∑k=1nk+1xk+n2xn

，故

a=49

时,不等式恒成立

下证

amax=49

，由（2）的取等条件得

3xk−1=(k−1)(xk−xk−1)