2024年4月21日发(作者：oppo x903)

第三单元 二元二次方程组

一、

教法建议：

【抛砖引玉】

本单元由实例“X

2

＋2XY＋Y

2

＋X＋Y＋6=0”向同学展现了二元二次方程。这样引入

教学使同学们感到实实在在。对其二元二次方程的概念容易接受，进而再结合实例，介绍

这个方程的二次项、常数项，然后，再通过实例，讲述二元二次方程组，继续再引导同学

研究二元二次方程组（研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组）的解

法，把教学推上高峰。适时让学生回顾二元一次方程组的解法──代入消元法，然后类比

到可学新内容上来，向学生讲述一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般

都可用代入法来解。交待解法，那么特殊的由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成

的方程组，除用代入法可以求解外，还有特殊解法，如例2与课本P

31

的根与系数关系一脉

相承，把x、y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x、y，也十

分简便。引导学生在这方面作积极有益的探索。

对于“由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组”

必须强调首先把一个方程分解，达到降次，进而组合新的方程组，达到转化，用代入法求

解。

【指点迷津】

简单的的二元二次方程组的两种类型：一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程

组成的方程组；二、由一个二元二次方程和一个可以分解为两为二个二元一次方程的方程

组成的方程组，第一种类型用代入法求解；第二种类型通过分解因式，重新组合方程组转

化为第一种类型，仍用代入法求解。总之，应掌握用代入法进行“消元”，用因式分解进

行“降次”，这是解二元二次方程组的基本思想和方法。

x＋y=7

对于对称方程组（ )应用根与系数关系构造出一元二次方程进行求解。方法

xy=12

新颖、简捷，而且这种方法涉及面广，对于几何、代数涉及两数和与两数积的问题，都可

应用这种方法求解。可转化为这种形式的数学问题，亦可用此法求解。对于对称方程组用

构造法求解，必须注意两个问题：(1)设原方程组的x、y是一元二次方程z

2

-7z+12=0的两根，

可设的一元二次方程的未知数，（这里是z，也可是m、n、t、…）应代表x、y，这样才能

避免字母的混乱；(2)当解出一元二次方程的解z

1

=3，z

2

=4后，得出原方程组的解： x

1

=3

x

2

=4

y

1

=4 y

2

=3

这是两个“对称解”，千万不能漏掉一个解。

对于二元二次方程组解的情况，待把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个元后，

得到一个一元二次方程，由根的判别式可知，解的发问可能是有两个不相等的实数解，两

个相等实数解或无实数解。相应地有此三种情况。

二、

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【思维基础】

回答下列各题：

1. 叫做二元二次方程。

2. 叫做二元二次方程组。

3. 简单的二元二次方程组它包括两种类型：(1)由一个二元一次方程和 组

成的方程组；(2)由一个二元二次方程和 组成的方程组。

1

4. 解简单的二元二次方程组通常采用 法；对于特殊的二元二次方程组（对称方

程组）也可采取 法求解。

5. 解简单二元二次方程组的基本思想是 。

6.应用根与系数关系构造一元二次方程解对称方程组应注意什么？

答：(1) ；(2) 。

【学法指要】

例1. 解方程组：

xyxy4

x

2

－y

2

= 9

思路分析1：观察方程组的结构特征，与我们学习的简单的二元二次方程组两种类型

大相径庭，对学生来说，思路难觅。但第一个方程是无理方程，解无理方程用换元法行之

有效，于是我们仿效，探索如下：

设

xy

=a＞0，

xy

=b＞0则有

x＋y=a

2

，x－y=b

2

，

于是原方程组可变为：

a＋b=4

a

2

b

2

=9

亦可为： a＋b=4

ab=3

通过换元，挖掘隐蔽性，恢复了本来面目，符合我们学习的简单二元二次方程组，因

之，此时用代入法求解是顺理成章的事，解法略。

思路分析2：由上法可求

a＋b=4

ab=3

这显然是对称方程组、自然联想根与系数关系可知a、b是一元二次方程。

t

2

－4t＋3=0 的两个根。

∴t

1

=1，t

2

=3

即 a

1

=1 a

2

=3

b

1

=3 , b

2

=1

亦即

xy

=1

或

xy

=3

xy

=3

xy

=1

∴ x＋y=1

或

x＋y=9

x-y=9 x-y=1

∴ x=5

或

x=5

y=-4 y=4

经检验 x

1

=5 x

2

=5

y=-4

，

y=4

都是原方程组解。

12

思路分析3：通过换元可得方程组

a＋b=4 (1)

ab=3 (2)

可将(1)×a－(2)：（或者将(1)×b－(2)亦可）：

a

2

= 4a－3

∴ a

2

－4a＋3=0

2