2024年4月19日发(作者：三星s5830i刚上市多少钱)
数学证明中的构造辅助函数方法
摘要 数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的.
构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到
特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架
起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析
解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通
过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种
形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数
求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构
造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造
函数法的一些思路.
关键词 辅助函数 ； 中值定理 ； 恒等式与不等式； 函数表达式 ；极值
1.引言
数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方
程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数
也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的
方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒
推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过
的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段
出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结
到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也
是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本
质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助
函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.
1
2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧
2.1 拉格朗日（Lagrange）中值定理辅助函数的作法
定理1
（
Rolle
）
：若函数
f(x)
满足如下条件：
（i）
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续； （ii）
f(x)
在开区间
(a,b)
内可导；
（iii）
f(a)f(b)
；
则在
(a,b)
内至少存在一点
，使得
f
(
)0
.
定理2
（
Lagrange
）
：若函数
f(x)
满足如下条件：
（i）
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续；（ii）
f(x)
在开区间
(a,b)
内可导；
则在
(a,b)
内至少存在一点
，使得
f
(
)
f
b
f
a
ba
显然，特别当
f(a)f(b)
时，本定理的结论即为Rolle定理的结论。表明Rolle
定理是Lagrange中值定理的一个特殊情形.
证明：
f
(
)
f
b
f
a
f
b
f
a
0
，自然想到等式的左可以写成
f
(
)
baba
端是某个函数的导数，所以构造辅助函数：
f
b
f
a
x
（1）
F(x)f(x)
ba
显然，函数
F(x)
在闭区间
[a,b]
上连续, 在开区间
(a,b)
内可导,而且
F(a)F(b)
，
于是由Rolle中值定理知道，至少存在一点
a,b
，使得
F
(
)f
(
)
f
b
f
a
0
成立，也就是Lagrange中值定理成立.
ba
f
b
f
a
，该等式的右端是连接曲线弧端
ba
Lagrange中值定理的结论：
f
(
)
点的弦的斜率，所以Lagrange中值定理的几何意义就是：在满足条件的曲线上
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