2024年4月19日发(作者：买y77后悔了)

2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1

．已知集合

P



x0x2



，且

MP

，则

M

可以是

A

．



0,1



【答案】A

【分析】利用子集概念即可作出判断.

1



x0x2



【详解】

∵

0



x0x2



，

3



B

．



1，

C

．



1,1



D

．



0,5



∴



0,1







x0x2



故选A

【点睛】本题考查了子集的概念，考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2．下列函数中，图像关于坐标原点对称的是（

）

A

．

ylgx

C

．

ye

x

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数，三角函数，幂函数的解析式直接判断即可.

【详解】解：对于

A

选项，函数

ylgx

定义域为



0,+





，不满足；

对于

B

选项，函数

ysinx

为偶函数，关于

y

轴对称，不关于原点对称，不满足；

对于

C

选项，函数

ye

x

图像不关于原点对称，不满足；

对于

D

选项，定义域为





,0







0,+





，

f





x



=



x



函数，故图像关于原点对称

.

故选：D

11



=





x





=



f



x



，是奇



xx



B

．

ysinx

D

．

y=x



1

x

3

3

．如图，角



以

Ox

为始边，它的终边与单位圆

O

相交于点

P

，且点

P

的横坐标为，

5

则

sin(



2





)

的值为（

）

A

．

-

3

5

3

B

．

5

4

C

．



5

D

．

4

5

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得

sin(



2





)

的值．

3

【详解】角



以

Ox

为始边，它的终边与单位圆

O

相交于点

P

，且点

P

的横坐标为，

5

所以

cos





3



3

则

sin(



)cos





；

故选：

B

．

5

25

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

4

．记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和，若

S

2

3

，

S

4

18

，则

S

6



（

）

A．36

【答案】B

【分析】由等差数列的前

n

项和性质可得

S

2

,S

4

S

2

,S

6

S

4

成等差数列，进而可得结果

.

【详解】因为

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和，

所以

S

2

,S

4

S

2

,S

6

S

4

成等差数列，即

3,15,S

6

18

成等差数列，

所以

3



S

6

18



30

，解得

S

6

45

，

故选：B.

5．已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（

）

A

．

zai

B．|z|≥1

C．z一定不是纯虚数

D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限

【答案】B

【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．

B．45 C．63 D．75

【详解】解：

zai(aR)

，



zai

，故

A

错误；

|z|a

2

1…1

，故

B

正确；

当

a0

时，

z

为纯虚数，故

C

错误；

虚部为

1

大于

0

，



在复平面上，

z

对应的点不可能在第三象限，故

D

错误．

故选：

B

．

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．

6

．设



a

n



是公比为

q

的等比数列，且

a

1

1

，则

“

a

n

1

对任意

nN

*

成立

”

是

“

q1

”

的

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

n1

【详解】解：

a

n

a

1

q

，因为

a

1

1

，所以

a

n

1

对任意

nN

*

成立，必有

q1

，

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

n1

反过来，若

q1

，又因为

a

1

1

，所以，

a

n

a

1

q

＞

1

对任意

nN

*

成立，

所以是充分必要条件，

故选C

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好等比数列的性质是解决本题

的关键．

11

7

．已知函数

f



x



sinxx,x



0,





,cosx

0





x

0





0,







，那么下面结论正确的是

33

（

）

A

．

f



x



在



0,x

0



上是减函数

C

．

x



0,





,f



x



f



x

0



【答案】B

【分析】利用导函数研究

f



x



的单调性最值即可

.

B

．

f



x



在



x

0

,





上是减函数

D

．

x



0,





,f



x



f



x

0



1

1

【详解】由题意得

f





x



cosx

，因为

cosx

0



，

3

3

所以当

x



0,x

0



时

f





x



0

，

f



x



单调递增，当

x



x

0

,





时

f





x



0

，

f



x



单调递

减，

故

f



x



在

x



0,x

0



上是增函数，在

x



x

0

,





上是减函数，

A

错误，

B

正确；

f



x



在

xx

0

处取得最大值，即

x



0,





,f



x



f



x

0



，

CD

错误

.

故选：B.

8

．已知函数

f(x)x

3

x

2

2xk

.

若存在实数

x

0

，使得

f(x

0

)f(x

0

)

成立，则实数

k

的取值范围是（

）

A

．

[1,)

【答案】A

【分析】根据题意将存在实数

x

0

，使得

f(x

0

)f(x

0

)

成立转化为

f



x

0



f



x

0



有

2

2

根，再根据方程变形可得，原问题转化为

x2xk

有根，进而转化为

yx2x

与

B

．

(,1]

C

．

[0,)

D

．

(,0]

yk

的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．

32

【详解】

∵

f(x)xx2xk

且

f(x

0

)f(x

0

)

，

2

x

3

x

2

2xk（x

3

x

2

2xk）

整理得

x2xk

，

22

∴原问题转化为

yx2x

与

yk

的图象有交点，

画出

yx2x

的图象如下：

当

x1

时，

y1

，由图可知，

k1

．

故选：

A

．

【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．

9

．在

ABC

中，

AC=6

，

BC=8

，

C90

.

P

为

ABC

所在平面内的动点，且

PC1

，

则

PAPB

的取值范围是（

）

A

．



11,9



C

．



10,11



【答案】B

【分析】由已知，根据题意，以

C

为坐标原点，建立平面直角坐标系，分别表示出各点

坐标，设出

P

点坐标，利用坐标表示出

PA



PB

，再根据

PC1

，利用三角换元即可完

成范围求解

.

B

．



9,11



D

．



11,10



【详解】

由已知，以

C

为坐标原点，分别以

CB

，

CA

为

x

轴，

y

轴的正方向，建立平面直角坐标

系，则

C(0,0)

，

B(8,0)

，

A(0,6)

，

设

P(x,y)

，由

PC1

可知，

x

2

+y

2

=1(x



0,y



0)

，

PA=(



x,6



y)

，

PB=(8



x,



y)

，

所以

PA



PB=x

2

+y

2



8x



6y=1



8x



6y

，

因为

x

2

+y

2

=1

，可令

x=cos



,y=sin



，

所以

PA



PB=1



8x



6y=1



8cos



6sin



=1



10sin(



+



)

，

43

其中

sin



=,cos



=

，

55

因为

sin(



+



)









1,1



,10sin(



+



)









10,10



，

所以

PA



PB

的取值范围为：





9,11



.

故选：B.

10

．按照

“

碳达峰

”

､

“

碳中和

”

的实现路径，

2030

年为碳达峰时期，

2060

年实现碳中和，

到

2060

年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过

70%

，新型动力电池迎来了蓬

勃发展的风口

.Peukert

于

1898

年提出蓄电池的容量

C

（单位：

Ah

），放电时间

t

（单位：

h

）与放电电流

I

（单位：

A

）之间关系的经验公式：

CI

n

t

，其中

n

为

Peukert

常数，

为了测算某蓄电池的

Peukert

常数

n

，在电池容量不变的条件下，当放电电流

I20A

时，

放电时间

t20h

；当放电电流

I30A

时，放电时间

t10h

.

则该蓄电池的

Peukert

常数

n

大约为（

）（参考数据：

lg20.30

，

lg30.48

）

A

．

4

3

5

B

．

3

8

C

．

3

D

．

2

【答案】B

【分析】根据题意可得

C20

n

20

，

C30

n

10

，两式相比结合对数式与指数式的互化

及换底公式即可得出答案

.

【详解】解：根据题意可得

C20

n

20

，

C30

n

10

，

1

20

n

20



2



两式相比得

n

1

，即





，

2

3010



3



所以

n

nlog

2

3

1lg2lg20.35

log

3

2

3

lg3lg20.480.33

.

2

2

lg

2

故选：B.

二、填空题

rr

11

．已知向量

a(1,2)

，

b(2,t)

，若

a//b

，则实数

t

的值是

___________.

【答案】

4

【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数．

rr

2t



，解得

t =-4

．

【详解】因为

a//b

，所以

12

故答案为：

4

12

．能使命题

“

若

sin2Asin2B

，则

ABC

为等腰三角形

”

为假命题的一组

A

，

B

的值是

___________.

【答案】

A60,B30

（不唯一）

【分析】根据题意得

AB

或

AB



2

，进而只需使得

AB



2

即可

.

【详解】解：因为在

ABC

中，

A,B



0,





，

sin2Asin2B

，

所以

2A2B

或

2A2B



，

所以

AB

或

AB



2

，

所以要使

“

若

sin2Asin2B

，则

ABC

为等腰三角形

”

为假命题，则需

AB



2

.

所以

A,B

的值可以是：

A60,B30

，此时满足

sin2Asin2B

，但不

ABC

为等腰三

角形

故答案为：

A60,B30

13

．北京

2022

年冬奥会将于

2022

年

2

月

4

日开幕

.

某社区为了宣传冬奥会，决定在办

公楼外墙建一个面积为

8

m

2

的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣

.

要求上下各空

0.25

m

，传栏（如图所示）左右各空

0.25

m

，相邻宣传栏之间也空

0.25

m

.

设三个宣传栏的面积之和为

S

（单位：

m

2

），则

S

的最大值为

___________.

【答案】

4.5

m

2

【分析】根据题意设矩形展示区的长为

x

m

，则宽为

8

S8.50.5x

，再根据基本不等式求解即可

.

x

8

m

，进而结合题意得

x

【详解】解：设矩形展示区的长为

x

m

，则宽为

8

m

，

x

因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空

0.25

m

，左右各空

0.25

m

，

相邻宣传栏之间也空

0.25

m

，

88



8



所以

S



x0.254





0.252



8.50.5x8.520.5x4.5

，

xx



x



当且仅当

0.5x

8

，即

x4

时等号成立，

x

所以

S

的最大值为

4.5

m

2

故答案为：

4.5

m

2



ax1,x0

14

．已知函数

f(x)



，给出下列三个结论：

lnx,x0



①当

a2

时，函数

f(x)

的单调递减区间为

(,1)

；

②若函数

f(x)

无最小值，则

a

的取值范围为

(0,)

；

③若

a1

且

a0

，则

bR

，使得函数

yf(x)b

.

恰有

3

个零点

x

1

，

x

2

，

x

3

，且

x

1

x

2

x

3

-1

．

其中，所有正确结论的序号是______．

【答案】②③

【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即

可判断②；由题意结合函数图象不妨设

x

1

0x

2

1x

3

，进而可得

x

1



b1

b

，

x

2

e

，

a

x

3

e

b

，令

x

1



b1

1

验证后即可判断③；即可得解

.

a

22

【详解】对于①，当

a2

时，由

0e

2

1

，

f(0)1f(e)lne2

，所以函数

f(x)

在区间

(,1)

不单调递减，故①错误；



ax1,x0



ax1,x0



对于②，函数

f(x)



可转化为

f(x)



lnx,0x1

，



lnx,x0



lnx,x1



画出函数的图象，如图：

由题意可得若函数

f(x)

无最小值，则

a

的取值范围为

(0,)

，故②正确；

对于③，令

yf(x)b0

即

f(x)b

，结合函数图象不妨设

x

1

0x

2

1x

3

，

则

ax

1

1lnx

2

lnx

3

b

，

所以

x

1



令

x

1



b1

b

bbb

，

x

2

e

，

x

3

e

，所以

x

2

x

3

ee1

，

a

b1

1

即

ba1

，

a

当

a0

时，

ba11

，

yf(x)b0

存在三个零点，且

x

1

x

2

x

3

-1

，符合题意；

当

0a1

时，

0ba11

，

yf(x)b0

存在三个零点，且

x

1

x

2

x

3

-1

，符合题

意；

故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与

数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.

三、双空题

15

．在

△ABC

中，

AB43,B

△ACD

的面积为

____.

【答案】

42

26



4

，点

D

在边

BC

上，

ADC

2



,

CD=2

，则

AD=___

；

3

【解析】在

△ABD

中用正弦定理求解

AD

，在

△ACD

用面积公式可得

.

【详解】

ADC



2



,

ADB,

3

3

在

△ABD

中由正弦定理得：

43sin

sin

ADAB



，

sinBsinADB



4

42

.

AD

ABsinB



sinADB



3

在

△ACD

中，

S

ACD



113

ADDCsinCDA42226

，

222

故答案为：

42

;

26

.

【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.

其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正

弦、余弦定理、勾股定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

四、解答题

32

16

．设函数

f



x



xaxbxc.

（

I

）求曲线

yf



x



.

在点



0,f



0





处的切线方程；

（

II

）设

ab4

，若函数

f



x



有三个不同零点，求

c

的取值范围



32



【答案】（

1

）

ybxc

（

2

）

c



0,





27



【详解】试题分析：（

1

）由导数几何意义得切线斜率为

f





0



，再根据点斜式写切线方

程；（

2

）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得

c

的取值范围

322

试题解析：解：（

I

）由

f



x



xaxbxc

，得

f





x



3x2axb

．

因为

f



0



c

，

f





0



b

，

所以曲线

yf



x



在点



0,f



0





处的切线方程为

ybxc

．

32

（

II

）当

ab4

时，

f



x



x4x4xc

，

2

所以

f





x



3x8x4

．

2

令

f





x



0

，得

3x

2

8x40

，解得

x2

或

x

．

3

f



x



与

f





x



在区间



,



上的情况如下：