2024年4月14日发(作者：苹果5c和5s的区别)

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：因式分解的应用1（附答案）

1．已知m

2

＝3n+a，n

2

＝3m+a，m≠n，则m

2

+2mn+n

2

的值为（ ）

A．9 B．6 C．4 D．无法确定

2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：

2＝1

3

﹣（﹣1）

3

，26＝3

3

﹣1

3

，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，

所有的“和谐数”之和为（ ）

A．6858 B．6860 C．9260 D．9262

3．已知x

2

+x＝1，那么x

4

+2x

3

﹣x

2

﹣2x+2020的值为（ ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

4．已知2x

2

﹣ax﹣2＝0，给出下列结论：①当x＝2时，a+；②当a＝1时，x

2

+

＝3；③当a＝2时，x

3

﹣4x

2

+2x＝﹣3．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

5．已知4

96

﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）

A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64

6．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）

A．b＞0，b

2

﹣ac≤0

C．b＞0，b

2

﹣ac≥0

B．b＜0，b

2

﹣ac≤0

D．b＜0，b

2

﹣ac≥0

7．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式

a

2

+b

2

+c

2

﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．已知6

64

﹣1能被30﹣40之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）

1 / 23

A．35，37 B．35，36 C．34，38 D．36，37

9．对于算式2018

3

﹣2018，下列说法错误的是（ ）

A．能被2016整除

C．能被2018整除

B．能被2017整除

D．能被2019整除

10．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a

2

+b

2

+c

2

﹣ab﹣ac﹣bc的值

是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3

11．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且（a+b+c）（a﹣b）＝0，则△ABC一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上均不对

12．如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a

3

b+ab

3

+2a

2

b

2

的值为（ ）

A．70 B．140 C．2560 D．490

13．已知x

2

﹣1＝x，则代数式x

3

﹣2x

2

+2020＝ ．

14．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC

的周长为 ．

15．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a

2

+b

2

﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的

周长为

16．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为 ．

17．如果x+y＝5，xy＝2，则x

2

y+xy

2

＝ ．

18．已知m

2

﹣mn＝2，mn﹣n

2

＝5，则3m

2

+2mn﹣5n

2

＝ ．

19．若m

2

＝n+2，n

2

＝m+2（m≠n），则m

3

﹣2mn+n

3

的值为 ．

2 / 23

20．若a﹣b＝﹣2，则a

2

﹣ab+2b＝ ．

21．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a

3

b+2a

2

b

2

+ab

3

的值 ．

22．已知a﹣b＝5，ab＝1，则a

2

b﹣ab

2

的值为 ．

23．请阅读以下材料，并解决相应的问题：

材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特

殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x

4

﹣

2x

2

+1＝0时，令x

2

＝t，则原方程可变为t

2

﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解

为x＝±1．

材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所

著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的

几何排列．如图为杨辉三角形：

（1）利用换元法解方程：（x

2

+3x﹣1）

2

+2（x

2

+3x﹣1）＝3

（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，

设a

n

是第n行的第2个数（其中n≥4），b

n

是第n行的第3个

数，c

n

是第（n﹣1）行的第3个数．

请利用换元法因式分解：4（b

n

﹣a

n

）•c

n

+1

24．对于一个非零整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，得到一个新数

b，称b是a的“荣耀数”例如：a＝125，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、

8、125，则其个位数字分别为1、8、5，则a的“荣耀数”b为185．

（1）18的“荣耀数”为 ，2046的“荣耀数”为 ．

（2）对于一个两位数m和一个三位数n，在m的中间位插入一个一位数k，得到一个新

的三位数m'，若m'是m的9倍，且n是m'的“荣耀数”，求所有满足条件的n的值．

25．若一个三位数m＝（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行

3 / 23

重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如435，

重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M（435）＝543﹣345＝198．

（1）若一个三位数t＝（其中x＞y＞2）的差数M（t）＝594，且各数位上的数字之

和能被5整除，求t的值；

（2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求

所有符合条件的M（m）的最小值．

26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）

2

＝a

2

+2ab+b

2

．

请解答下列问题：

（1）写出由图②可以得到的数学等式 ；

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a

2

+b

2

+c

2

＝14，求ab+bc+ac

的值；

（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长

为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝ ．

27．已知A＝x

3

÷x

2

+x•x

2

，B＝（x+1）

2

﹣（x﹣1）

2

（1）求A•B；

（2）若变量y满足4A÷B﹣2y＝0，用x表示变量y，并求出x＝﹣2时y的值；

（3）若A＝B+1，求x

5

﹣x

2

﹣9x+5的值．

28．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．

4 / 23

（1）求证：对任意“好数”m，m

2

﹣64一定为20的倍数；

（2）若m＝p

2

﹣q

2

，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）

＝，例如68＝18

2

﹣16

2

，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）＝＝，

求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．

29．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就

无法分解，如x

2

﹣4y

2

+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后

两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以

完成整个式子的分解因式，过程为：

x

2

﹣4y

2

+2x﹣4y

＝（x

2

﹣4y

2

）+（2x﹣4y）

＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x+2y+2）

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式：x

2

﹣6xy+9y

2

﹣3x+9y

（2）△ABC的三边a，b，c满足a

2

﹣b

2

﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．

30．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），则n

的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分

解，并规定：F（n）＝

．

，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则F（18）＝＝

（1）计算：F（24）、F（270）；

5 / 23

（2）如果一个三位正整数t，t＝10x+y+600（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位

上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整

除，那么我们称这个数t为“心意数”，求所有“心意数”中F（t）的最大值．

31．若a，b，c均为非零实数，且a+b+c＝abc＝a

3

，求ab+bc+ca的最小值．

32．如果三个正整数a，b，c满足：a

2

+b

2

＝c

2

，那么我们称这一组数为勾股数．

例如：3

2

+4

2

＝5

2

，则3、4、5是一组勾股数，4

2

+5

2

≠6

2

，则4、5、6不是一组勾股数．

（1）利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式

a＝2n+1，b＝2n

2

+2n，c＝2n

2

+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式

的a、b、c的数是一组勾股数．

（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，是收集在我国古代的著名数学著作《九章

算术》中，书中提到：当a＝，b＝mn，c＝（m，n为正整数，

m＞n）时，a，b，c，构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某三角形的

三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．

6 / 23

参考答案

1．解：∵m

2

＝3n+a，n

2

＝3m+a，

∴m

2

﹣n

2

＝3n﹣3m，

∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，

∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，

∵m≠n，

∴（m+n）+3＝0，

∴m+n＝﹣3，

∴m

2

+2mn+n

2

＝（m+n）

2

＝（﹣3）

2

＝9．

故选：A．

2．解：（2k+1）

3

﹣（2k﹣1）

3

＝[（2k+1）﹣（2k﹣1）][（2k+1）

2

+（2k+1）（2k﹣1）+（2k﹣1）

2

]

＝2（12k

2

+1）（其中k为非负整数），

由2（12k

2

+1）≤2016得，k≤9

∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，

它们的和为[1

3

﹣（﹣1）

3

]+（3

3

﹣1

3

）+（5

3

﹣3

3

）+…+（17

3

﹣15

3

）+（19

3

﹣17

3

）＝19

3

+1

＝6860．

故选：B．

3．解：∵x

2

+x＝1，

∴x

4

+2x

3

﹣x

2

﹣2x+2020

7 / 23

＝x

4

+x

3

+x

3

﹣x

2

﹣2x+2020

＝x

2

（x

2

+x）+x

3

﹣x

2

﹣2x+2020

＝x

2

+x

3

﹣x

2

﹣2x+2020

＝x（x

2

+x）﹣x

2

﹣2x+2020

＝x﹣x

2

﹣2x+2020

＝﹣x

2

﹣x+2020

＝﹣（x

2

+x）+2020

＝﹣1+2020

＝2019．

故选：A．

4．解：①把x＝2代入2x

2

﹣ax﹣2＝0，得a＝3，

把a＝3代入a+＝3+＝．

所以①正确．

②把a＝1代入2x

2

﹣ax﹣2＝0，得

2x

2

﹣x﹣2＝0，

方程两边同时除以x，得

2x﹣1﹣＝0，2x﹣＝1，x﹣＝，

两边同时平方，得

x

2

﹣2+＝，x

2

+＝≠3．

所以②错误．

8 / 23

③把a＝2代入2x

2

﹣ax﹣2＝0，得

2x

2

﹣2x﹣2＝0，x

2

﹣x﹣1＝0，x

2

﹣x＝1，x

2

＝x+1，

方程两边同乘以x，得x

3

＝x

2

+x，

∴x

3

﹣4x

2

+2x＝x

2

+x﹣4x

2

+2x＝﹣3x

2

+3x＝﹣3（x

2

﹣x）＝﹣3．

所以③正确．

故选：C．

5．解：利用平方式公式进行分解该数字：4

96

﹣1＝（4

48

+1）（4

48

﹣1）＝（4

48

+1）（4

24

+1）

（4

24

﹣1）＝（4

48

+1）（4

24

+1）（4

12

+1）（4

6

+1）（4

3

+1）（4

3

﹣1）

＝（4

48

+1）（4

24

+1）（4

12

+1）（4

6

+1）×65×63

故选：B．

6．解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，

∴a+c＝2b，b＝，

∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，

∴b＜0，

∴b

2

﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，

即b＜0，b

2

﹣ac≥0，

故选：D．

7．解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，

∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，

∴a

2

+b

2

+c

2

﹣ab﹣bc﹣ca

9 / 23

＝

＝

＝

＝

＝

＝3，

故选：A．

8．解：6

64

﹣1

＝（6

32

+1）（6

32

﹣1）

＝（6

32

+1）（6

16

+1）（6

16

﹣1）

＝（6

32

+1）（6

16

+1）（6

8

+1）（6

8

﹣1）

＝（6

32

+1）（6

16

+1）（6

8

+1）（6

4

+1）（6

4

﹣1）

＝（6

32

+1）（6

16

+1）（6

8

+1）（6

4

+1）（6

2

+1）（6

2

﹣1）

＝（6

32

+1）（6

16

+1）（6

8

+1）（6

4

+1）×37×35．

故选：A．

9．解：2018

3

﹣2018＝2018（2018

2

﹣1）

＝2018×（2018+1）（2018﹣1）

＝2018×2019×2017

2018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．

故选：A．

10 / 23

10．解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，

∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，

∴a

2

+b

2

+c

2

﹣ab﹣ac﹣bc

＝

＝

＝

＝

＝3，

故选：D．

11．解：∵（a+b+c）（a﹣b）＝0，

∴a+b+c＝0或a﹣b＝0，

∵a，b，c是△ABC的三条边长，

∴a+b+c＞0，

∴a﹣b＝0，即a＝b，

∴△ABC一定是等腰三角形．

故选：A．

12．解：根据题意得：，

解得：a+b＝7，ab＝10，

11 / 23

所以a

3

b+ab

3

+2a

2

b

2

＝ab（a

2

+b

2

+2ab）＝ab（a+b）

2

＝10×7

2

＝490，

故选：D．

13．解：x

2

﹣1＝x，则x

2

﹣x＝1，

x

3

﹣x

2

＝x，

x

3

﹣2x

2

+2020＝x

3

﹣x

2

﹣x

2

+2020＝x﹣x

2

+2020＝﹣1+2020＝2019，

故答案为2019．

14．解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119

∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120

（a+1）（b+1）（c+1）＝120

∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边

∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．

故可分为以下6种情况：

（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不

合题意，舍去．

（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不

合题意，舍去．

（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合

题意，舍去．

（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c

12 / 23

＝12．

（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不

合题意，舍去．

（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不

合题意，舍去．

（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不

合题意，舍去．

综上可知，△ABC

故答案为12．

的周长为12．

15．解：∵a

2

+b

2

﹣4a﹣10b+29＝0，

∴（a

2

﹣4a+4）+（b

2

﹣10b+25）＝0，

∴（a﹣2）

2

+（b﹣5）

2

＝0，

∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，

解得，a＝2，b＝5，

∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，

∴当a＝c＝2时，2+2＜5，此时不能构成三角形，

当b＝c＝5时，此时a＝2，则△ABC的周长为：5+5+2＝12，

故答案为：12．

16．解：∵x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，

∴设a

2

＝x+11，b

2

＝x﹣72，

∵a

2

﹣b

2

＝（a+b）（a﹣b），

13 / 23

∴（a+b）（a﹣b）＝（x+11）﹣（x﹣72），

∴（a+b）（a﹣b）＝x+11﹣x+72，

∴（a+b）（a﹣b）＝83，

∴，

解得：

∵a

2

＝x+11，

∴x＝a

2

﹣11

＝42

2

﹣11

＝1764﹣11

＝1753．

，

故答案为：1753．

17．解：∵x+y＝5，xy＝2，

∴x

2

y+xy

2

＝xy（x+y）＝2×5＝10．

故答案为：10．

18．解：方法一：

根据题意，m

2

﹣mn＝2，mn﹣n

2

＝5，故有m

2

＝2+mn，n

2

＝mn﹣5，

∴原式＝3（2+mm）+2mn﹣5（mn﹣5）＝31．

故应填31．

方法二：根据已知条件m

2

﹣mn＝2，mn﹣n

2

＝5，得

m（m﹣n）＝2，n（m﹣n）＝5

14 / 23

∴两式相加得，（m+n）（m﹣n）＝7，m+n＝

∴3m

2

+2mn﹣5n

2

＝3（m+n）（m﹣n）+2n（m﹣n）

＝3（）（m﹣n）+2（）（m﹣n）

＝21+10

＝31．

故应填31．

19．解：∵m

2

＝n+2，n

2

＝m+2（m≠n），

∴m

2

﹣n

2

＝n﹣m，

∵m≠n，

∴m+n＝﹣1，

∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）

＝mn+2m﹣2mn+mn+2n

＝2（m+n）

＝﹣2．

故答案为﹣2．

20．解：∵a﹣b＝﹣2，

∴a

2

﹣ab+2b

＝a（a﹣b）+2b

＝﹣2a+2b

＝﹣2（a﹣b）

15 / 23

＝4．

故答案为：4．

21．解：∵a+b＝3，ab＝2，

∴a

3

b+2a

2

b

2

+ab

3

＝ab（a

2

+2ab+b

2

）

＝ab（a+b）

2

＝2×3

2

＝18

故答案为：18．

22．解：∵a﹣b＝5，ab＝1，

∴a

2

b﹣ab

2

＝ab（a﹣b）＝5×1＝5，

故答案为：5．

23．（1）解：令t＝x

2

+3x﹣1

则原方程为：t

2

+2t＝3

解得：t＝1 或者 t＝﹣3

当t＝1时

x

2

+3x﹣1＝1

解得：

当t＝﹣3时

x

2

+3x﹣1＝﹣3

解得：x＝﹣1或x＝﹣2

16 / 23

或

∴方程的解为： 或 或x＝﹣1或x＝﹣2

（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：

a

n

＝n﹣1

∴4（b

n

﹣a

n

）•c

n

+1＝（n﹣1）（n﹣4）（n﹣2）（n﹣3）+1＝（n

2

﹣5n+4）（n

2

﹣5n+6）+1

＝（n

2

﹣5n+4）

2

+2（n

2

﹣5n+4）+1＝（n

2

﹣5n+5）

2

24．解：（1）根据题意得，18其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、512，其个位

数字分别为1、2，则18的“荣耀数”为12；

2046其各个数位上的数字分别立方后得到的数为8、0、64、216，则其个位数字分别为8、

0、4、6，则2046的“荣耀数”为8046．

故答案为12；8046；

（2）设m＝10a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b均为整数）则m′＝100a+10k+b（0≤k≤

9，k为整数），根据题意得，

100a+10k+b＝9（10a+b），

∴b＝，

∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤k≤9，k、a、b均为整数，

∴，或，或，或，

∴m′＝135或225或315或405，

∵n是m'的“荣耀数”，

17 / 23

∴n＝175或885或715或405．

25．解：（1）依题意有100x+10y+2﹣（200+10y+x）＝594，

解得x＝8，

∵x＞y＞2，且各数位上的数字之和能被5整除，

∴y＝5，

∴t的值为825；

（2）满足条件的三位数m有325，729，

M（325）＝532﹣235＝297，

M（729）＝972﹣279＝693．

故所有符合条件的M（m）的最小值为297．

26．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方

形的面积加上6个长方形的面积，

∴（a+b+c）

2

＝a

2

+b

2

+c

2

+2ab+2ac+2bc．

故答案为：（a+b+c）

2

＝a

2

+b

2

+c

2

+2ab+2ac+2bc．

（2）∵（a+b+c）

2

＝a

2

+b

2

+c

2

+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a

2

+b

2

+c

2

＝14，

∴6

2

＝14+2（ab+ac+bc），

∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．

（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa

2

+yab+zb

2

，

∴2a

2

+8ab+ab+4b

2

＝xa

2

+yab+zb

2

，

∴2a

2

+9ab+4b

2

＝xa

2

+yab+zb

2

，

∴x＝2，y＝9，z＝4，

18 / 23

∴x+y+z＝2+9+4＝15．

故答案为：15．

27．解：（1）∵A＝x

3

÷x

2

+x•x

2

＝x+x

3

，

B＝（x+1）

2

﹣（x﹣1）

2

＝4x，

∴A•B＝（x+x

3

）×4x＝4x

2

+4x

4

．

（2）由4A÷B﹣2y＝0得4（x

3

÷x

2

+x•x

2

）÷4x﹣2y＝0，

则y＝，

当x＝﹣2时，y＝；

（3）∵A＝B+1，

∴x+x

3

＝4x+1，

即x

3

﹣3x＝1，x

3

﹣1＝﹣3x，

∴x

5

﹣x

2

﹣9x+5＝x

2

（x

3

﹣1）﹣9x+5

＝x

2

×3x﹣9x+5

＝3x

3

﹣9x+5

＝3（x

3

﹣3x）+5

＝3+5

＝8

∴x

5

﹣x

2

﹣9x+5的值为8．

19 / 23

28．（1）证明：设m＝10t+8，1≤t≤9，且t为整数，

∴m

2

﹣64＝（10t+8）

2

﹣64＝100t

2

+160t+64﹣64＝20（5t

2

+8t），

∵1≤t≤9，且t为整数，

∴5t

2

+8t是正整数，

∴m

2

﹣64一定为20的倍数；

（2）解：∵m＝p

2

﹣q

2

，且p，q为正整数，

∴10t+8＝（p+q）（p﹣q），

当t＝1时，18＝1×18＝2×9＝3×6，没有满足条件的p，q；

当t＝2时，28＝1×28＝2×14＝4×7，

其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28＝8

2

﹣6

2

，

∴H（28）＝，

当t＝3时，38＝1×38＝2×19，没有满足条件的p，q；

当t＝4时，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，

满足条件的p，q的数对为或或，

解得：或或，

即48＝13

2

﹣9

2

＝8

2

﹣4

2

＝7

2

﹣1

2

，

∴H（48）＝或H（48）＝＝或H（48）＝，

∵，

20 / 23

∴H（m）的最大值为．

29．解：（1）x

2

﹣6xy+9y

2

﹣3x+9y

＝（x

2

﹣6xy+9y

2

）﹣（3x﹣9y）

＝（x﹣3y）

2

﹣3（x﹣3y）

＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；

（2）∵a

2

﹣b

2

﹣ac+bc＝0，

∴（a

2

﹣b

2

）﹣（ac﹣bc）＝0，

∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，

∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，

∵a，b，c是△ABC的三边，

∴（a+b）﹣c＞0，

∴a﹣b＝0，

得a＝b，

∴△ABC是等腰三角形．

30．解：（1）∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，

∴F（24）＝；

∵270＝1×270＝2×135＝3×90＝5×54＝9×30＝10×27，其中10与27的差的绝对值

最小，

∴F（270）＝；

（2）t＝10x+y+600，交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数是10x+100y+6，

10x+y+600+（10x+100y+6）＝20x+101y+606，

21 / 23

∵交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和

恰好能被11整除，20x+101y+606恰好能被11整除，1≤x≤y≤9，

或，，，

∴x＝1，y＝6时，“心意数”中F（t）的有最大值，此时t＝10+6+600＝616，即F（616）

＝．

31．解：∵a，b，c均为非零实数，a+b+c＝abc＝a

3

，

∴b+c＝a

3

﹣a，bc＝a

2

，

∴ab+bc+ca＝a

2

+a（a

3

﹣a）＝a

4

，

∵将b、c看作方程x

2

﹣（b+c）x+bc＝0的两根，

∴方程x

2

+（a﹣a

3

）x+a

2

＝0有两个实数根，

则△＝（a﹣a

3

）

2

﹣4a

2

≥0，即a

6

﹣2a

4

﹣3a

2

≥0

∵a

2

≠0，

∴a

4

﹣2a

2

﹣3≥0，即（a

2

﹣3）（a

2

+1）≥0，

由a

2

≥1可得a

2

﹣3≥0，即a

2

≥3，

∴ab+bc+ca＝a

2

+a（a

3

﹣a）＝a

4

≥9，

即ab+bc+ca的最小值为9．

2

32．解：（1）∵a

2

+b

2

＝（2n+1）+（2n

2

+2n）

2

＝4n

2

+4n+1+4n

4

+8n

3

+4n

2

＝4n

4

+8n

3

+8n

2

+4n+1，

c

2

＝（2n

2

+2n+1）

2

＝4n

4

+8n

3

+8n

2

+4n+1，

∴a

2

+b

2

＝c

2

，

∵n为正整数，

∴a、b、c是一组勾股数；

22 / 23

（2）解：∵a＝

∴a

2

+b

2

＝c

2

，

（m

2

﹣n

2

），b＝mn，c＝（m

2

+n

2

），

∴△ABC是直角三角形，且c为直角边，

∵n＝5，

∴a＝（m

2

﹣5

2

），b＝5m，c＝（m

2

+25），

∵直角三角形的一边长为37，

∴分三种情况讨论，

①当a＝37时，（m

2

﹣5

2

）＝37，

解得m＝±3（不合题意，舍去）

②当b＝37时，5m＝37，

解得m＝（不合题意舍去）；

③当c＝37时，37＝（m

2

+n

2

），

解得m＝±7，

∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，

∴m＝7，

把m＝7代入①②得，a＝12，b＝35．

综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35

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