2024年4月9日发(作者：苹果笔记本官网首页)

南平市2021年高中毕业班第二次质量检测

数学试题

本试卷共六页。考试时间120分钟。满分150分。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{2，3，4}，集合B＝{x|x

2

－3x＋m＝0}。若A∩B＝{2}，则B＝

A.{1，－2} B.{1，0} C.{1，2} D.{1，3}

2.复数z满足

z

＝i，则复平面上表示复数z的点位于

z

A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C.实轴 D.虚轴

12

x

3.函数f(x)＝·cosx的图象的大致形状是

x

12

4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结

构，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似

看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2α，则该正六棱锥底面内切圆半

径与侧棱长之比为

- 1 -

A.

3

sinα B.

3

cosα C.2sinα D.2cosα

5.克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献。

5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog

2

(1＋

S

)。它表示：在受噪声干挠的

N

信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高

斯噪声功率N的大小，其中

SS

叫做信噪比。按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比

NN

从1000提升至4000，则C大约增加

A.10% B.20% C.30% D.50%

6.过点P(2，1)的直线l与函数f(x)＝

x1

的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则

x2



OAOB



OP

A.

5

B.2

5

C.5 D.10

7.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需

投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调

查：

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：

A.不更换设备 B.更换为A设备 C.更换为B设备 D.更换为A或B设备均可

8.设函数f(x)＝(x－1)e

x

，若关于x的不等式f(x)

范围是

2223

e

e1e12e1

A.(－1，e

2

] B.(1，] C.(1， ] D.(，]

223

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

x

2

y

2

1

的左、右焦点，且|F

1

F

2

|＝8，则下列结论正确的9.设F，F，分别是双曲线C：

stst

是

- 2 -

A.s＝8 B.t的取值范围是(－8，8)

C.F

1

到渐近线的距离随着t的增大而减小 D.当t＝4时，C的实轴长是虚轴长的3倍

10.已知a>0，b>0，a

2

＋b

2

－ab＝2，则下列不等式恒成立的是

A.

11



≤

2

≤2 C.a＋b≤2

2

D.a

2

＋b

2

≥4

ab

11.己知函数f(x)＝sin(ωx＋

是



)与函数g(x)＝cos(2x＋θ)有相同的对称中心，则下列结论正确的

6



1

]上有两个不同的实数根，则m取值范围是[，1)

2

4



B.将函数|f(x)|的图象向右平移个单位，会与函数|g(x)|的图象重合

2

k





，k∈Z} C.函数f(x)的所有零点的集合为{x|x＝

26



2



D.若函数g(x)在[0，]上单调递减，则θ＝＋2kπ，k∈Z

3

6

A.若方程m＝f(x)在x∈[0，

12.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为θ(θ∈(0°，

180°))的二面角B－AC－D，四面体ABCD内接于球O，下列说法正确的是

A.四面体ABCD的体积的最大值是1 B.无论θ为何值，都有AB⊥DC

C.四面体ABCD的表面积的最大值是4＋2

3

D.当θ＝60°时，球O的体积为

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.请写出与曲线f(x)＝x

3

＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为

g(x)＝ 。

14.过抛物线C：y

2

＝2px(p>0)焦点F的直线l交C于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝

3|BF|，则直线l的倾斜角为 。

15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在

数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，

他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养。现有4名数学特长生可从3位数学教授中

任选一。位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有

种。(结果用数字作答)

16.在平面直角坐标系中，定义P(x

1

，y

1

)Q(x

2

，y

2

)两点间的直角距离为d(P，Q)＝|x

1

－x

2

|＋|y

1

5213



81

- 3 -

－y

2

|，如图

BC

是圆A：(x－1)

2

＋y

2

＝1当x≥

3

时的一段弧，D是

BC

与x轴的交点，将

BC

2

依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线。则d(C，D)

＝ ；若点P为曲线上任一点，则d(O，P)的最大值为 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在①2ccosB＝2a－b，②△ABC的面积为

3

222

(a＋b－c)，

4

③cos

2

A－cos

2

C＝sin

2

B－sinAsinB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解

答。(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，C，且 。

(1)求角C的大小；

(2)若c＝2且4sinAsinB＝3，求△ABC的面积。

18.(本小题满分12分)

已知数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且满足S

n

＋n＝2a

n

(n∈N

*

)。

(1)证明：数列{a

n

＋1}是等比数列；

2

n

(2)设b

n

＝，求数列{b

n

}的前n项和T

n

。

a

n

a

n1

19.(本小题满分12分)

如图，已知四边形ACDE为菱形，∠CDE＝60°，AC⊥BC，F是DE的中点，平面ABC∩平

面BDE＝l。

- 4 -

(1)证明：l⊥平面BCF；

(2)若平面ABC⊥平面ACDE，AC＝BC＝2，求AE与平面BDE所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分)

一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相

关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化。华为公司所研发的Single RAN

算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将

之归功于“数学的力量”。近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并

逐步延伸到乡村。

(1)现抽样调查某市所辖的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：

视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中

A地5G已覆盖的村比B地多的概率；

(2)该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如下表：

探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有

效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的

非线性变化趋势，采用非线性回归模型

yae

bx

拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站

数

y

关于月份x的回归方程。(

b

的值精确到0.01)

附：设u＝lny，则u

i

＝lny

i

，(i＝1，2，…，12)

y

≈1299.17，

u

≈6.88，

1212



(xx)

i

i1

12

2

143

，



(xx)(yy)37238

，



(xx)(uu)32.42

iiii

i1i1

对于样本(x

i

，y

i

)，(i＝1，2，…，n)的线性回归方程

ybxa

有

- 5 -

ˆ

b



(xx)(yy)



xynx y

iiii

i1

nn



(xx)

i

i1

n



2

i1

n

ˆ

。

ˆ

ybx

,

a



x

i1

2

i

nx

2

21.(本小题满分12分)

x

2

y

2

2

已知点P(

2

，

2

)在椭圆C：

2



2

1(ab0)

上，且椭圆C的离心率为，若过

ab

2

原点的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交

C于点E。

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：AB⊥AE。

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝(x－4)e

x3

－

－

1

2

7

x＋3x－，g(x)＝ae

x

＋cosx，其中a∈R。

22

(1)讨论函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>0的解集；

(2)若a＝1，证明：当x>0时，g(x)>2；

(3)用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，若h(x)≥0在(0，＋

∞)上恒成立，求实数a的取值范围。

- 6 -

- 7 -