2024年4月6日发(作者：周杰伦线上演唱会)

河南省南阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1

．已知复数

z

=

3

+

4i

，则

z=

（

）

1

-

2i

A

．

5

5

B

．

1C

．

5

D

．

5

uuuruuur

uuur

2

．已知

VABC

的边

AC

上有一点

D

，且满足

CD

，则

=3DABD=

（

）

uuuruuur

-2BC+3BA

A

．

r

1

uuur

2

uuu

BC+BA

B

．

33

r

1

uuur

3

uuu

C

．

BC+BA

44

r

3

uuur

1

uuu

D

．

BC+BA

44

3

．如图，四边形

ABCD

的斜二测画法的直观图为等腰梯形

A

¢

B

¢

C

¢

D

¢

，已知

A

¢

B

¢

=4,C

¢

D

¢

=2

，则下列说法正确的是（

）

A

．

AB=2

B

．

A

¢

D

¢

=

22

C

．四边形

ABCD

的周长为

4+22+23

D

．四边形

ABCD

的面积为

62

a,b,c

3

33

，

b=cos

，

c=tan

，则实数

的大小关系是（

）

2

22

4

．已知

a=sin

A

．

C

．

a

b

B

．

a

D

．

b

试卷第11页，共33页

5

．矩形

ABGH

由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令

ÐHBG=

a

,ÐFBG=

b

，则

b

+

a

=

（

）

A

．

π

6

B

．

π

4

C

．

π

3

D

．

π

2

6

．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中

BH

与底面

ABCD

的夹角的余弦

值为（

）

A

．

2

1

B

．

2

2

C

．

3

3

D

．

6

3

7

．在

VABC

中，角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c,B=60°

且

VABC

的面积为

3

，若

c+a=6

，则

b=

（

）

A

．

B

．

5C

．

27

D

．

30

26

uuuruuuruuuruuur

Ð

C

8

．已知点

G

为三角形

ABC

的重心，且

GA+GB=GA-GB

，当取最大值时，

cosC=

（

）

试卷第21页，共33页

A

．

4

5

B

．

3

5

C

．

2

5

D

．

1

5

二、多选题

9

．已知不重合的两条直线

m,n

和不重合的两个平面

a

,

b

，则下列命题正确的是（

）

A

．若

mÌ

a

,nÌ

a

,m//

b

,n//

b

，则

a

//

b

B

．若

m^

a

,m^

b

，则

a

//

b

C

．若

m^

a

,n//

b

，且

m^n

，则

a

//

b

D

．若

m^

a

,n//

b

，且

m//n

，则

a

^

b

10

．已知复数

z

1

满足

z

1

=

yÎR

z

1

z

2

1

+

i

z

2

=x+yi

，，

x

，，，所对应的向量分别为

i

uuuur

uuuur

，

OZ

1

OZ

2

，其中

O

为坐标原点，则（

）

A

．

z

的共辄复数为

1-i

1

B

．当

x=0

时，

z

为纯虚数

2

uuuuruuuur

C

．若

OZ∥OZ

，则

x+y=0

12

uuuuruuuur

D

．若

OZ

，则

z+z=z-z

1212

1

^OZ

2

11

．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；

底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的

四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AC⊥BC

，且

AA

1

=AB=2

．下列

说法正确的是（

）

A

．四棱锥

B-AACC

为“阳马”

11

试卷第31页，共33页

B

．四面体

AACB

的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为

8

p

1

C

．四棱锥

B-A

1

ACC

1

体积最大值为

2

3

D

．四面体

ACCB

为“鳖臑”

11

12

．已知函数

fx=sin

n

x+cos

n

x,nÎN

*

，则下列说法正确的是（

）

n

()

()

ù

上单调递增

A

．

f

1

(

x

)

在区间

é

-

ππ

,

ê

ë

34

ú

û

B

．若

f

(

x

)

=

2

，则

f

(

x

)

=

32

13

28

π

C

．

f

4

(

x

)

的最小正周期为

2

π

1

D

．

f

4

(

x

)

的图象可以由函数

g

(

x

)

=sin4x

的图象先向左平移

个单位，再向上平

8

4

移

3

个单位得到

4

三、填空题

13

．已知角

q

的顶点在坐标原点，始边在

x

轴非负半轴，终边经过点

P

(

1,3

)

，则

2sin

q

=

.

sin

q

+

cos

q

r

rr

r

rr

l

=

a=3,3,b=1,-1

()()

a+

l

b^a-

l

b

14

．已知向量

.

，若，则实数

()()

15

．若四面体各棱的长是

或，且该四面体不是正四面体，则其体积是

（只需写

12

出一个可能的值）

试卷第41页，共33页

四、双空题

16

．如图所示，有一块三角形的空地，已知

Ð

ABC

=

7

p

,BC

=

42

千米，

AB

＝

4

千米，

12

则∠

ACB

＝

；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为

B

，

D

，

E

，其中

D

，

E

为

AC

边上的点，若使

Ð

DBE

=

p

，则

BD

＋

BE

最小值为

平

6

方千米．

五、解答题

17

．（

1

）在①

z+z=-8

，②

z

为纯虚数，③

z

为非零实数这三个条件中任选一个，补

充在下面的问题中，并对其求解

.

已知复数

z=m

2

-2m-3+m

2

-3m-4i(i

为虚数单位

)

，若

__________

，求实数

m

的

()()

值

.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分

.

（

2

）已知

x=1-i

是关于

x

的实系数一元二次方程

x

2

+ax+b=0

的一个根，求

a,b

的值

.

r

r

r

是同一平面内的两个向量，其中

r

18

．已知

a,b

a=

(

1,2

)

,b=

(

l

,1

)

.

r

与

r

的夹角的余弦值；

(1)

当

l

=1

时，求

a

b

r

r

r

r

(2)

若

a+2b

与

2a-2b

共线，求实数

l

的值

.

19

．如图，在圆锥

PO

中，已知

PO=2,eO

的直径

AB=2

，点

C

是

»

AB

的中点，点

D

为

AC

的中点

.

试卷第51页，共33页

(1)

证明：平面

(2)

求二面角

POD^

平面

PAC

；

.

B-AC-P

的余弦值

r

20

．已知锐角

VABC

的内角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c

，向量

m=

(

sinA,cosA

)

，

rr

r

n=

(

2sinB-cosC,-sinC

)

，且

m^n

.

(1)

求角

的值；

A

(2)

若

b=2

，求

VABC

周长的取值范围

.

21

．如图是一个以

△ABC

为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为

VABC

.

111

已知

AA

1

=4,BB

1

=2,CC

1

=3

.

(1)

在边

AB

上是否存在一点

O

，使得

OC//

平面

A

1

B

1

C

1

？若存在，求出

AO

的值；若不

OB

存在，请说明理由；

(2)

若

AB=2

，求几何体

ABC-ABC

的体积

.

11111

试卷第61页，共33页

π

ö

f

(

x

)

的图象上所有点的横坐标变为

22

．已知函数

f

(

x

)

=

4sinxcos

æ

.

将函数

x

++

3

ç÷

3

øè

原来的

3

，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移

2

π

个单位长度，得到函数

18

g

(

x

)

的图象

.

π

π

(1)

求函数

f

(

x

)

在区间

[

-

，

]

上的单调递减区间；

4

6

(2)

若对于

"

x

Î

é

0

,

π

ù

,g

2

(

x

)

-

mg

(

x

)

-

3

£

0

恒成立，求实数

m

的范围

.

ê

3

ú

ëû

试卷第71页，共33页

参考答案：

1

．

C

【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果

.

【详解】因为

z

=

3

+

4i(3

+

4i)(1+2i)

-

5

+

10i

===-

1

+

2i

，

1

-

2i(1

-

2i)(1+2i)5

22

所以

z=(-1)+2=5

.

故选：

C.

2

．

D

uuur

【分析】利用向量的线性运算可得

BD

的表示形式

.

uuuruuur

uuuruuuruuuruuur

CD=3DA

【详解】因为，故

BD-BC=3BA-BD

，

()

uuur

1

uuur

3

uuur

整理得到：

BD=BC+BA

，

44

故选：

D.

3

．

D

【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可

.

【详解】如图过

D

¢

作

DE^O

¢

B

¢

，

由等腰梯形

A

¢

B

¢

C

¢

D

¢

可得：

△A

¢

D

¢

E

是等腰直角三角形，

1

即

A

¢

D

¢

=2A

¢

E=´

(

4-2

)

´2=2

,

即

B

错误；

2

还原平面图为下图，

答案第11页，共22页

即

AB=4=2CD,AD=22

，即

A

错误；

过

C

作

CF⊥AB

，由勾股定理得

CB=23

，

故四边形

ABCD

的周长为：

4+2+22+23=6+22+23

，即

C

错误；

1

四边形

ABCD

的面积为：

´

(

4

+

2

)

´

22

=

62

，即

D

正确

.

2

故选：

D

4

．

C

【分析】由

π3π

<<

，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可

.

322

【详解】因为

π3π

<<

，

322

3

所以

3π3π

=

sin

<

sin

<

sin

=

1

，即

，

2

2322

1π3π1

=

cos

>

cos

>

cos

=

0

，即

0

，

2322

2

c=tan

3π

>tan=3

，

23

所以

c>a>b

.

故选：

C

5

．

B

答案第21页，共22页

【分析】设出正方形的边长，在

Rt△BGH

和

Rt△BEF

中，分别求出

sin

a

,cos

a

和

sin

b

,cos

b

，从而可求出

cos(

a

+

b

)

的值，再利用

a

+

b

Î(0,π)

即可求出结果

.

【详解】不妨设正方形的边长为

1

，

则在

Rt△BGH

31

中，

BG=3,GH=1,BH=10

，所以

cos

a

=

，

,sin

a

=

1010

21

中，

BE=2,EF=1,BF=5

，所以

cos

b

=

，

,sin

b

=

55

则在

Rt△BEF

所以

cos(

a

+

b

)

=

cos

a

cos

b

-

sin

a

sin

b

=

3

´

2

-

1

´

1

=

5

=

2

，

2

10510550

a

+

b

Î(0,π)

π

π

又易知，

a

,

b

Î

(0,)

，所以，故

a

+

b

=

.

4

2

故选：

B.

6

．

D

【分析】由展开图得到正方体的直观图，则

ÐHBD

即为

BH

与底面

ABCD

的夹角，再由锐

角三角函数计算可得

.

【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知

HD^

平面

ABCD

，则

ÐHBD

即

为

BH

与底面

ABCD

的夹角，

设正方体的棱长为

1

，则

BD=1

2

+1

2

=2

，，

BH=DH

2

+BD

2

=3

答案第31页，共22页

BH

ABCD

所以

cos

Ð

HBD

=

BD

=

2

=

6

，即与底面的夹角的余弦值为

6

.

3

BH3

3

故选：

D

7

．

A

【分析】利用余弦定理结合面积公式可求

b

.

【详解】因为

VABC

ac=4

的面积为

3

，故

1

acsinB=

1

ac´

3

=3

，故，

222

又

b

2

=a

2

+c

2

-2accosB=a

2

+c

2

-ac=

(

a+c

)

2

-3ac=36-12=24

，

故

b=26

，

故选：

A.

8

．

A

uuuruuur

uuur

1

uuuruuuruuur

1

uuuruuur

【分析】由题设可得

AG×BG=0

，结合

AG=(AC+AB)

，

BG=(BA+BC)

及余弦定理

33

可得

cosC

=

2ab

(

+

)

，根据基本不等式即可求解

.

5ba

uuuruuur

2

uuuruuur

2

uuuruuuruuuruuur

(GA+GB)=(GA-GB)

，【详解】由题意

GA+GB=GA-GB

，所以

uruuur

r

2

uuur

2

uuuruuuruuur

2

uuur

2

uuuruuur

，所以

u

即

uuu

GA×GB=0

，所以

AG^BG

，

GA+GB+2GA×GB=GA+GB-2GA×GB

答案第41页，共22页

uuur

21

uuuruuur

1

uuuruuuruuur

21

uuuruuur

1

uuuruuur

又

AG=´(AC+AB)=(AC+AB)

，

BG=´(BA+BC)=(BA+BC)

，

323323

uuuruuur

1

uuuruuuruuuruuur

1

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

则

AG×BG=(AC+AB)×(BA+BC)=(AC×BA+AC×BC+AB×BA+AB×BC)=0

，

99

ruuuruuuruuuruuuruuuruuur

2

，即所以

uuu

abcosC=bccosA+accosB+c

2

，

CA×CB=AC×AB+BA×BC+AB

222

222

222

a

+

b

-

c

b

+

c

-

a

a

+

c

-

b

由

cosA

=

，

cosB

=

，

cosC

=

，

2ab

2ac

2bc

所以

a

2

+b

2

=5c

2

，

222

a=b

所以

cosC

=

a

+

b

-

c

=

2

(

a

+

b

)

³

4a

×

b

=

4

，当且仅当时等号成立，

2ab5ba5ba5

又

y=cosx

在

(

0,π

)

上单调递减，

CÎ

(

0,π

)

，

所以当

Ð

C

取最大值时，

cosC=

4

5

.

故选：

A

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合

三角形重心的性质和余弦定理可得

a

2

+b

2

=5c

2

，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，

属于较难题

.

9

．

BD

【分析】根据面面平行的判定定理可得

A

的正误，根据线面垂直的性质定理可得

B

的正误，

根据面面垂直的判定定理可得

D

的正误，根据线面的动态关系可判断

C

的正误

.

【详解】对于

A

，当

mÌ

a

,nÌ

a

,m//

b

,n//

b

，且

m,n

相交时才有

a

//

b

，故

A

错误

.

答案第51页，共22页

对于

B

，根据线面垂直的性质定理可得

B

正确

.

对于

C

，若

m^

a

,n//

b

，且

m^n

，

b

可绕

n

旋转，此时

a

//

b

或

a

,

b

相交，

故

C

错误

.

对于

D

，因为

n//

b

，故在

b

中存在一条直线

s

，使得

n//s

，所以

m//s

，

所以

s^

a

，而

sÌ

b

，故

a

^

b

，故

D

正确

.

故选：

BD.

10

．

CD

【分析】根据复数的除法运算化简复数

z

1

=1-i

，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断

A

，

B,

根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断

C

，结合复数模

长公式即可判断

D.

1+i

1

+

i

z

=

1

-

i

，所以

1

的共轭复数为，故选项

A

错误，

i

【详解】

A

选项：由于

z

1

=

,B

选项：当当

x=0

时，

z=yi

，若

y=0

，则

z

为为实数，故选项

B

错误；

2

2

uuuur

uuuuruuuur

uuuur

x+y=0

xy

C

选项：易知

OZ

1

=

(

1,-1

)

，

OZ

2

=

(

x,y

)

，又

OZ

1

//OZ

2

，则

=

，即，故选项

1

-

1

C

正确

;

uuuuruuuur

D

选项：由于

OZ^OZ

，则

x-y=0

，

12

z

1

+z

2

=1-i+x+yi=

(

1+x

)

+

(

y-1

)

=

(

1+x

)

+

(

x-1

)

=2

(

1+x

2

)

，

222222

z

1

-z

2

=1-i-x-yi=

(

1-x

)

+

(

1+y

)

=

(

1-x

)

+

(

1+x

)

=2

(

1+x

2

)

，

222222

故

z+z=z-z

，选项

D

正确．

1212

故选：

CD.

11

．

ABD

答案第61页，共22页

【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断

A

，

D

的正误；当且仅当

AC=BC

时，

四棱锥

B-A

1

ACC

1

体积有最大值，求值可判断

C

的正误；根据题意找到四面体

A

1

ACB

的外

接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断

B.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AC

^

BC

，侧棱

AA

1

^

平面

ABC

，

对

A

选项，∴

AA

1

^BC

，又

AC

^

BC

，且

AA

1

IAC=A

，则

BC

^

平面

A

1

ACC

1

，

∴四棱锥

B-A

1

ACC

1

为“阳马”，对；

对

C

选项，在底面有

4=AC

2

+BC

2

³2AC×BC

，即

AC×BC£2

，

当且仅当

AC=BC=2

时取等号，

1124

V

B

-

A

1

ACC

1

=

S

A

1

ACC

1

´

BC

=

AA

1

´

AC

´

BC

=

AC

´

BC

£

，故

C

错误；

3333

对

D

选项，由

AC

^

BC

，即

AC

，又

AC

且

BCÇC

1

C=C

，

BC,C

1

CÌ

平面

11

^BC

11

^C

1

C

BB

1

C

1

C

，

∴

A

1

C

1

^

平面

BB

1

C

1

C

，

QBC

1

Ì

平面

BB

1

C

1

C

,

∴

AC

，则

VA

1

BC

1

为直角三角形，

11

^BC

1

又由

BC

^

平面

AAC

，

A

1

CÌ

平面

AAC

，

BC^

AC

，则

VA

1

BC

为直角三角形，

11

C

11

C

1

由“堑堵”的定义可得

VAC

为直角三角形，

VCC

1

B

为直角三角形．

11

C

∴四面体

AC

为“鳖臑”，故

D

正确；

11

CB

对

B

选项，由

C

知

VA

1

BC

为直角三角形，侧棱

AA

1

^

平面

ABC

，则易知

△A

1

AB

,

△A

1

AC

为

答案第71页，共22页

直角三角形，

而

VABC

为直角三角形，则外接球球心

O

位于

A

1

B

的中点，

11

A

1

B=´2

2

+2

2

=2

，

22

则外接球半径

R=

2

则球的表面积为

4

p

R=4

p

´

()

2

2

=8

p

，故

B

正确

.

故选：

ABD

．

12

．

ACD

π

ö

【分析】

A.

由

f

1

(

x

)

=

sinx

+

cosx

=

2sin

æ

x

+

ç÷

，利用这些函数的性质判断；

4

øè

f

3

(

x

)

=

(

sinx+cosx

)

sin

2

x-sinxcosx+cos

2

x

B.

由

()

=

æ

(

sinx

+

cosx

)

2

-

1

ö

÷

求解判

1

-

(

sinx

+

cosx

)

ç

ç÷

2

èø

断；

2

31

442222

C.

由

f

4

(

x

)

=sinx+cosx=sinx+cosx-2sinx×cosx

=+cos4x判断；

44

()

1

D.

由函数

g

(

x

)

=sin4x

利用平移变换和伸缩变换判断

.

4

π

ö

πππ

æ

æ

ππ

ö

ö

【详解】

A.

f

1

(

x

)

=

sinx

+

cosx

=

2sin

æ

ç

x

+

÷

，因为

x

Î

ç

-

,

÷

，所以

x

+Î

ç

-

,

÷

，

4

ø

4

è

122

ø

è

è

34

ø

又

y=sinx

ππ

ö

在

æ

ç

-

,

÷

上递增，故正确；

è

22

ø

2

，则

f

3

(

x

)

=

(

sinx+cosx

)

(

sin

2

x-sinxcosx+cos

2

x

)

，

2

B.

由

f

(

x

)

=sinx+cosx=

1

答案第81页，共22页