2024年4月6日发(作者：bamboo可数吗)
南京市中华中学
2021—2022
学年度第二学期期末试卷
高一数学
2022.06
本卷考试时间：
120
分钟
总分：
150
分
一、单项选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的．
1. 已知复数
z=-1+2i
，则复数z在复平面内对应的点位于第( ) 象限
A.
一
B.
二
C.
三
D.
四
!!
2.
如果
a,b
是两个单位向量，则下列结论中正确的是（
）
!!
A.
a=b
!!
B.
a=±b
!!
C.
a
2
=b
2
rr
D.
a=b
3.
我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千
九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北
面若干人，西面有
7488
人，南面有
6912
人，这三面要征调
300
人，而北面共征调
100
人（用分层抽样的
方法），则北面共有（
）人．”
A.
7200
B.
8100
C.
2496
D.
2304
4.
在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
a
2
=b
2
+c
2
+3bc
，则
A
＝（
）
A. 120° B. 150°
C. 45° D. 60°
5.
如图所示的是函数
y=f(x)
的图像，则函数
f(x)
可能是（
）
A.
y=xsinx
B.
y=xcosx
C.
y=xsinx+xcosx
D.
y=xsinx-xcosx
6. “
三个臭皮匠，赛过诸葛亮
”
，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决
n
项目
M
的概率为
P
1
=0.9
；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目
M
，团队成员各自独立
n
的最小值是地解决项目
M
的概率都是
0.4
．如果这个
n
人的团队解决项目
M
的概率为
P
2
，且
P
2
³P
1
，则
(
参考数据：
lg2»0.30
，
lg3»0.48
)
（
）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.
在
!ABC
中，设
AC-AB=2AM×BC
，那么动点
M
的轨迹必通过
!ABC
的（
）
A.
垂心
B.
内心
C.
外心
D.
重心
"
2"
2""
8.
已知四棱锥
P
-
ABCD
中，底面
ABCD
是边长为
4
的正方形，平面
PAB^
平面
ABCD
，且
!PAB
为
等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（
）
A.
28112256
B. C.
32
p
D.
p
p
p
333
二、多项选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得
5
分，部分选对的得
2
分，有错选的得
0
分．
!!!!!!
9.
已知
a
∥
b,a=2b=8
，则
a+b
的值可能为（
）
A 4 B. 8 C. 10 D. 12
10.
在
!ABC
中，下列结论中，正确的是（
）
A.
若
cos2A=cos2B
，则
!ABC
是等腰三角形
B.
若
sinA>sinB
，则
A
>
B
C.
若
AB
2
+AC
2
2 ，则 !ABC 为钝角三角形 D. 若 A=60 ! ， AC=4 ，且结合 BC 的长解三角形，有两解，则 BC 长的取值范围是 (23,+¥) 11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M 、 N ，若线段 MN 的最小值为 3-1 ，则（ ） A. 正方体外接球的表面积为 12 p 的 B. 正方体的内切球的体积为 4 p 3 C. 正方体的棱长为 2 D. 线段 MN 的最大值为 23 12. 已知函数 f(x)=|cos2x|+cos|x| ，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. f(x) 在区间 ê é 3 p 3 p ù , ú 上单调递增 42 ûë B. p 是 f(x) 的一个周期 C. f(x) 的值域为 ê - é ë 2 ù ,2 ú 2 û D. f(x) 的图象关于 y 轴对称 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ( 第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分 ) 13 计算： 2cos20 °- 2cos25 ° ______. = 2sin25 ° 14. 有甲 ､ 乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.9 ，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率 是 ___________. 15. 某一时段内，从天空降落到地面上 的 雨水，未经蒸发 ､ 渗透 ､ 流失而在水平面上积聚的深度，称为这个 时段的降雨量（单位： mm ） .24 小时降雨量的等级划分如下： 24 小时降雨量（精确到 0.1 ） … 0.1~9.9 10.0~24.9 25.0~49.9 50.0~99.9 降雨等级 … 小雨 中雨 大雨 暴雨 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 200 mm ，高为 300 mm 的圆锥形雨量器 . 若一次降雨过 程中，该雨量器收集的 24 小时的雨水高度是 150 mm （如图所示），则这 24 小时的降雨量的等级是 ___________. 16. 拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定 理： “ 以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边 三角形的顶点 ” ，在△ ABC 中，以 AB ， BC ， CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为 D ， E ， F ， 若 ÐBAC=30 ! ,DF=4 ，利用拿破仑定理可求得 AB ＋ AC 的最大值为 ___ ． m 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 z 1 ,z 2 是实系数一元二次方程的两个虚数根，且 z 1 ,z 2 满足方程 2z 1 +(1-i)z 2 =3+5i ． （ 1 ）求 z 1 和 z 2 ． （ 2 ）写出一个以 z 1 和 z 2 为根的实系数一元二次方程． !! æ 3 ö 18. 已知 a = ( 3,1 ) ,b = ç - ,k ÷ ，求 k 为何值时： è 2 ø （ 1 ） a ∥ b ； !! !! （ 2 ） a^b ； （ 3 ） a 与 b 的夹角为钝角． 19. 某校从高三年级学生中随机抽取 100 名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成 50,60 ) ， 60,70 ) ， !! [[ [ 70,80 ) ， [ 80,90 ) ， [ 90,100 ] 的 5 组，制成如图所示的频率分布直方图 . （ 1 ）求图中 x 的值； （ 2 ）估计这组数据的平均数； （ 3 ）若成绩在 50,60 ) 内的学生中男生占 40% . 现从成绩在 50,60 ) 内的学生中随机抽取 2 人进行分析， 求 2 人中恰有 1 名女生的概率 . 20. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD^ 平面 ABCD ， AD//BC ， AB=AD=AC=6 ， [[ PA=BC=8 ， PD=10 ， M 为棱 AD 上一点，且 AM=2MD ， N 为棱 PC 的中点． （ 1 ）证明：平面 PAB^ 平面 ABCD ； （ 2 ）求四棱锥 N-BCDM 的 体积． A - sin 2 21. 记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 A cos + sin 2 cos A 2 ＝ sinB ． A cosB 2 （ 1 ）若 C = 2 p ，求 B ； 3 （ 2 ）若 a 2 +b 2 -kc 2 =0(kÎR) ，求符合条件的 k 的最小值． 22. 由倍角公式 cos2x ＝ 2cos 2 x － 1 ，可知 cos2x 可以表示为 cosx 的二次多项式，对于 cos3x ，我们有 cos3x ＝ cos(2x ＋ x) ＝ cos2xcosx － sin2xsinx ＝ (2cos 2 x － 1)cosx － 2(sinxcosx)sinx ＝ 2cos 3 x － cosx － 2(1 － cos 2 x)cosx ＝ 4cos 3 x － 3cosx 可见 cos3x 可以表示为 cosx 的三次多项式．一般地，存在一个 n 次多项式 P n (t) ，使得 cosnx ＝ P n (cosx) ，这 些多项式 P n (t) 称为切比雪夫多项式． （ 1 ）求证： sin3x ＝ 3sinx － 4sin 3 x ； （ 2 ）请求出 P 4 (t) ，即用一个 cosx 的四次多项式来表示 cos4x ； （ 3 ）利用结论 cos3x ＝ 4cos 3 x － 3cosx ，求出 sin18° 的值． 南京市中华中学 2021—2022 学年度第二学期期末试卷 高一数学 2022.06 本卷考试时间： 120 分钟 总分： 150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的． 1. 已知复数 z=-1+2i ，则复数z在复平面内对应的点位于第( ) 象限 A. 一 【答案】 B 【解析】 【分析】先得到复数对应的点的坐标，进而可得答案． 【详解】由题意得，复数 z=-1+2i 对应的点的坐标为 (-1,2) ， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟悉复数、复平面内的点之间是一一对应的关系，属于 简单题． B. 二 C. 三 D. 四 !! 2. 如果 a,b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） !! A. a=b !! B. a=±b !! C. a 2 =b 2 rr D. a=b 【答案】 CD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解 . !! 【详解】解：因为 a,b 是两个单位向量， rr 所以 a=b=1 ，但两向量的方向不能确定， ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 a=a=b=b ， 故 AB 错误； CD 正确. 故选： CD . 3. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千 九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北 面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，而北面共征调 100 人（用分层抽样的 方法），则北面共有（ ）人．” A. 7200 【答案】 A 【解析】 【分析】由分层抽样原则可直接构造方程求得结果 . 【详解】设北面有 x 人，则 故选： A. 4. 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a 2 =b 2 +c 2 +3bc ，则 A ＝（ ） A. 120° 【答案】 B 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得出答案 . 【详解】解：因为 a 2 =b 2 +c 2 +3bc=b 2 +c 2 -2bccosA ， 所以 cosA=- B. 150° C. 45° D. 60° B. 8100 C. 2496 D. 2304 x100 ，解得： x=7200 . = x + 7488 + 6912300 3 ， 2 又 0° ， 所以 A=150° . 故选： B . 5. 如图所示的是函数 y=f(x) 的图像，则函数 f(x) 可能是（ ） A. y=xsinx 【答案】 C 【解析】 B. y=xcosx C. y=xsinx+xcosx D. y=xsinx-xcosx 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可 . 【详解】由图可知： f ( x ) 是非奇非偶函数，且在 y 轴右侧，先正后负． 若 f(x)=xsinx ，则 f(-x)= ( -x ) sin ( -x ) =xsinx ，所以函数 y=xsinx 为偶函数， 与条件矛盾， A 错， 若 f(x)=xcosx ，则 f(-x)= ( -x ) cos ( -x ) =-xcosx ，所以函数 y=xcosx 为奇函数，与条件矛盾， B 错， p öæ =- f(x)2xsinx f(x)=xsinx-xcosx 若，则 ç÷ ， 4 øè 当 x Î ç 0 ， ÷ 时， f ( x ) = æ è p ö 4 ø p öæ 2 x sin ç x - ÷ < 0 ，与所给函数图象不一致， D 错， 4 øè p öæ =+ f(x)2xsinx f(x)=xsinx+xcosx 若，则 ç÷ ， 4 øè 当 x Î ç 0 ， ÷ 时， f(x)>0 ， æ è 3 p ö 4 ø 又 f() = p 4 p 2 p ， f( - ) = 0 ，所以函数 y=xsinx+xcosx 为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一 4 4 致， 故选： C ． 6. “ 三个臭皮匠，赛过诸葛亮 ” ，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决 n 项目 M 的概率为 P 1 =0.9 ；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目 M ，团队成员各自独立 n 的最小值是地解决项目 M 的概率都是 0.4 ．如果这个 n 人的团队解决项目 M 的概率为 P 2 ，且 P 2 ³P 1 ，则 ( 参考数据： lg2»0.30 ， lg3»0.48 ) （ ） A. 4 【答案】 B 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目 M 的概率，再由对立事件的概率 求出 P 2 ，由题意建立不等式求解即可． B. 5 C. 6 D. 7 æ 3 ö 【详解】解：由题意，这 n 个人组成的团队不能解决项目 M 的概率为： P = (1 - 0.4) n = ç÷ ， è 5 ø n æ 3 ö 所以 P 2 = 1 - P = 1 - ç÷ ， è 5 ø 1 æ 3 öæ 3 ö !P 2 ³P ， 1 ， 1 - ç÷ ³ 0.9 ，即 ç÷ £ è 5 øè 5 ø 10 两边取常用对数可得： nlg nn n 3 £-1 ，即 n[lg3-(1-lg2)]=-0.22n£-1 ， 5 解得 n³4.55 ，又 nÎN * ， n³5 ， nÎN * ，即 n 的最小值为 5 ． 故选： B ． 7. 在 !ABC 中，设 AC-AB=2AM×BC ，那么动点 M 的轨迹必通过 !ABC 的（ ） A. 垂心 【答案】 C 【解析】 【分析】设 BC 的中点是 O ，根据题意化简可得 MO×BC=0 ，即可确定 M 的轨迹 . 【详解】设 BC 的中点是 O ， B. 内心 C. 外心 D. 重心 " 2" 2""!"" uuur 2 uuur 2 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur AC-AB=AC+AB×AC-AB=2AO×BC=2AM×BC ， ()()"""""!"" 即 AO-AM×BC=MO×BC=0 ，所以 MO^BC ， () 所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上，故动点 M 的轨迹必通过 !ABC 的外心， 故选： C. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角 形的外心定义是解题的关键，属于较难题. 8. 已知四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，平面 PAB^ 平面 ABCD ，且 !PAB 为 等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 28 p 3 B. 112 p 3 C. 32 p D. 256 p 3 【答案】 B 【解析】 【分析】取侧面 !PAB 和底面正方形 ABCD 的外接圆的圆心分别为 O 1 ,O 2 ，分别过 O 1 ， O 2 作两个平面的 垂线交于点 O ，得到点 O 即为该球的球心，取线段 AB 的中点 E ，得到四边形 O 1 EO 2 O 为矩形，分别求得 OO 2 ,O 2 D ，结合球的截面圆的性质，即可求解 . 【详解】如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， 取侧面 !PAB 和底面正方形 ABCD 的外接圆的圆心分别为 O 1 ,O 2 ， 分别过 O 1 ， O 2 作两个平面的垂线交于点 O ， 则由外接球的性质知，点 O 即为该球的球心， 取线段 AB 的中点 E ，连 O 1 E ， O 2 E ， O 2 D ， OD ，则四边形 O 1 EO 2 O 为矩形， 在等边 !PAB 中，可得 PE=23 ，则 O 1 E= 2323 ，即 OO 2 = ， 33 在正方形 ABCD 中，因为 AB=4 ，可得 O 2 D=22 ， 在直角 !OO 2 D 中，可得 OD=OO 2 +O 2 D ，即 R=OO 2 +O 2 D= 所以四棱锥 P - ABCD 外接球的表面积为 S = 4 p R = 故选： B. 2 222 222 28 ， 3 112 p . 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分． !!!!!! 9. 已知 a ∥ b,a=2b=8 ，则 a+b 的值可能为（ ） A. 4 【答案】 AD B. 8 C. 10 D. 12 【解析】 !!!! !! 【分析】根据 a ∥ b ，可得 a,b 方向相同或相反，分 a,b 同向和反向两种情况讨论即可得解. !!! 【详解】解：因为 a=2b=8 ，所以 b=4 ， !! !! 因为 a ∥ b ，所以 a,b 方向相同或相反， !!!! !! 当 a,b 同向时， a+b=a+b=12 ， !!!! !! 当 a,b 反向时， a+b=a-b=4 故选： AD . 10. 在 !ABC 中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若 cos2A=cos2B ，则 !ABC B. 若 sinA>sinB ，则 A > 是 等腰三角形 B C. 若 AB 2 +AC 2 2 ，则 !ABC 为钝角三角形 D. 若 A=60 ! ， AC=4 ，且结合 BC 的长解三角形，有两解，则 BC 长的取值范围是 (23,+¥) 【答案】 ABC 【解析】 【分析】根据 cos2A=cos2B 及角 A 、 B 范围，可判断 A 的正误；根据大边对大角原则，可判断 B 的正 的 误；根据条件及余弦定理，可判断 C 的正误；根据正弦定理，可判断 D 的正误，即可得答案 . 【详解】对于选项 A ，因为 cos2 A= cos2 B ，且 A ， B ∈ (0 ， π) ，所以 A ＝ B ，所以 !ABC 是等腰三角形， 所以选项 A 正确； 对于选项 B ，由 sinA>sinB ，则 a 且 A ， B ∈ (0 ， π) ，可得 A ＞ B ，所以选项 B 正确； 对于选项 C ，由 AB 2 ＋ AC 2 ＜ BC 2 ，以及余弦定理可得 cosA<0 ，即 !ABC 为钝角三角形，所以选项 C 正 确； 对于选项 D ，由 A ＝ 60° ， AC ＝ 4 ，以及正弦定理可得 sinB = AC23 ＜ 1 ，解得 BC ＞ 2 3 ， sinA = BCBC 且由大边对大角 B ＞ A ，可得 AC ＞ BC ，即 BC ＜ 4 ，所以 BC 长的取值范围是 (2 3 ， 4) ，所以选项 D 错误； 故选： ABC. 11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M 、 N ，若线段 MN 的最小值为 A. 正方体的外接球的表面积为 12 p B. 正方体的内切球的体积为 3-1 ，则（ ） 4 p 3 C. 正方体的棱长为 2 【答案】 ABC 【解析】 【分析】 D. 线段 MN 的最大值为 23 设正方体的棱长为 a ，由此确定内切球和外接球半径，由 MN 的最小值为两球半径之差可构造方程求得 a ， 进而求得外接球表面积和内切球体积；由 MN 的最大值为两球半径之和可得到最大值 . 【详解】设正方体的棱长为 a ， 则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 a 3 . ；内切球半径为棱长的一半，即 a 2 2 !M,N 分别为外接球和内切球上的动点， MN min = 3a3 - 1 a -= a = 3 - 1 ，解得： a=2 ，即正方体棱长为 2 ， C 正确， 222 正方体外接球表面积为 4 p ´ 线段 MN 的最大值为 故选： ABC . () 3 2 =12 p ， A 正确；内切球体积为 4 p ， B 正确； 3 3a a+=3+1 ， D 错误 . 22 【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最 小值为 R-r ，最大值为 R+r . 12. 已知函数 f(x)=|cos2x|+cos|x| ，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） z A. f(x) 在区间 ê é 3 p 3 p ù , ú 上单调递增 ë 42 û B. p 是 f(x) 的一个周期 C. f(x) 的值域为 ê - é ë 2 ù ,2 ú 2 û D. f(x) 的图象关于 y 轴对称 【答案】 CD 【解析】 【分析】 代入特殊值检验，可得 A 错误；求得 f(x+ p ) 的表达式，即可判断 B 的正误；分段讨论，根据 x 的范围， 求得 cosx 的范围，利用二次函数的性质，即可求得 f(x) 的值域，即可判断 C 的正误；根据奇偶性的定 义，即可判断 f(x) 的奇偶性，即可判断 D 的正误，即可得答案 .
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