2024年3月20日发(作者：索尼电视老款型号大全)

2.1 数 列

2.1.1 数 列

[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数

列与函数的关系，会依据数列的前几项写出它的通项公式．

[学问链接]

下列四个结论正确的有________．

(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．

(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；

(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；

(4)对于函数f(x)，x

1

，x

2

为函数f(x)定义域内任意两个值，当x

1

>x

2

时，f(x

1

)

2

)，则f(x)是增函数．

答案 (3)

解析 函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天

的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)明显正确；(4)中的

函数为减函数，故不正确．

[预习导引]

1．数列的概念

依据肯定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的表示

数列的一般形式可以写成a

1

，a

2

，a

3

，…，a

n

，….其中a

n

是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式

的数列简记作{a

n

}．

3．数列的通项

假如数列的第n项a

n

与n之间的关系可以用一个函数式a

n

＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项

公式．

4．数列与函数的关系

数列可以看作一个定义域为正整数集N

＋

(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相

应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．

5．数列的分类

(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摇摆数列．

(3)从其次项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从其次项起，每一项都小于它的前一项的

数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.

要点一 数列的概念及通项

例1 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)

1

2

，2，

9

2

，8，

25

2

，…；

(3)0.8,0.88,0.888，…；

(4)

1

2

，

1

4

，－

5

8

，

132961

16

，－

32

，

64

，…；

(5)

3

2

，1，

7

10

，

9

17

，….

解 (1)符号问题可通过(－1)

n

或(－1)

n

＋

1

表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数

的确定值大6，故通项公式为a

n

＝(－1)

n

(6n－5)．

(2)统一分母为2，则有

1

2

，

4

2

，

9

2

，

16

2

，

25

2

，…，

因而有a

n

2

n

＝

2

.

(3)将数列变形为

8

9

(1－0.1)，

8

9

(1－0.01)，

8

9

(1－0.001)，…，∴a

81

n

＝

9

(1－

10

n

)．

(4)各项的分母分别为2

1

,2

2

,2

3

,2

4

，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－

2－3

2

，至

2

1

此原数列已化为－

－3

2

2

－3

2

3

－3

2

4

－3

2

1

，

2

2

，－

2

3

，

2

4

，…，

2

n

∴a

－3

n

＝(－1)

n

·

2

n

.

(5)将数列统一为

3

2

，

5

5

，

79

10

，

17

，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b

n

＝

2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n

2

}，可得分母的通项公式为c

n

＝n

2

＋1，

∴可得原数列的一个通项公式为a

2n＋1

n

＝

n

2

＋1

.

规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、

转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项

的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和确定值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、

分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系．

跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式：

(1)3,5,9,17,33，…；

(2)

1371531

2

，

4

，

8

，

16

，

32

，…；

(3)

2

3

，－1，

10

7

，－

17

9

，

26

11

，－

37

13

，….

解 (1)中3可看作2

1

＋1,5可看作2

2

＋1,9可看作2

3

＋1,17可看作2

4

＋1,33可看作2

5

＋1，….

所以a

n

＝2

n

＋1.

2

4

，…，所以a

2

n

(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为2

1,

2

2,

2

3,

－1

n

＝

2

n

.

(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)

n

＋

1

，观看各项确定值组成的数列，从第3项到第6

项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是3

2

＋1,4

2

＋1,5

2

＋1,6

2

＋1，依据这样的规律，第1,2两项

可分别改写为

1

2

＋1

2

2

＋1

2＋1

，－

2×2＋1

，所以a

n

＝(－1)

n

＋

1

n

2

＋1

2n＋1

.

要点二 数列通项公式的应用

例2 已知数列{a

n

}的通项公式为a

n

＝3n

2

－28n.

(1)写出数列的第4项和第6项；

(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．

解 (1)依据a

n

＝3n

2

－28n，a

4

＝3×4

2

－28×4＝－64，a

6

＝3×6

2

－28×6＝－60.

(2)令3n

2

－28n＝－49，即3n

2

－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝

7

3

(舍)．

∴－49是该数列的第7项，即a

7

＝－49.

令3n

2

－28n＝68，即3n

2

－28n－68＝0，

∴n＝－2或n＝

34

3

.

∵－2∉N

＋

，

34

3

∉N

＋

，∴68不是该数列的项．

规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n项a

n

与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，

就可以求出数列的相应项．

(2)推断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列

的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．

跟踪演练2 已知数列{a

11

n

}的通项公式为a

n

＝

nn＋2

(n∈N

＋

)，那么

120

是这个数列的第________项．

答案 10

解析 ∵

1

nn＋2

＝

1

120

，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.

要点三 推断数列的单调性

例3 已知数列{a

n

2

n

}的通项公式为a

n

＝

n

2

＋1

，试推断该数列的单调性．

∵a

＝

n＋1

2

n

2

解

n＋1

－a

n

n＋1

2

＋1

－

n

2

＋1

n＋1

2

n

2

＋1－n

2

[n＋1

2

＝

＋1]

[n＋1

2

＋1]n

2

＋1

＝

2n＋1

[n＋1

2

＋1]n

2

＋1

，

由n∈N

＋

，得a

n＋1

－a

n

>0，即a

n＋1

>a

n

.

∴数列{a

n

}是递增数列．

规律方法 单调性是数列的一个重要性质．推断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法推断a

n＋1

与

a

n

(n∈N

＋

)的大小，若a

n＋1

>a

n

恒成立，则{a

n

}为递增数列；若a

n＋1

n

恒成立，则{a

n

}为递减数列．用作差法

推断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．

跟踪演练3 推断数列





n





3n＋1





的增减性．

解 ∵a

n

n＋1n＋1

n

＝

3n＋1

，∴a

n＋1

＝

3n＋1＋1

＝

3n＋4

.