2024年3月20日发(作者：佳能ixus相机使用说明图解)
函数与方程思想
一、函数与方程思想的含义
【知识梳理】
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，
主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．
（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用
函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于
指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．
（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者
运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题
就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．
（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也
可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是
研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
【例题精讲】
题型一：方程、不等式的有解与恒成立问题
1、方程的恒成立问题：
通常由式子的特点来决定，首先我们需要把具有任意性的变量尽量提到一起，然后让变量定下来即可．
比如，
ya
f(x)
，
f(x)0
式子的值即定下来了；
ylog
a
n1
f(x)
，
f(x)1
式子的值即定下来了，对于整多
n
项式，
a
1
f(x)a
2
f(x)a
3
f
n2
(x)...a
n
f(x)0
，只能让
a
1
a
2
...a
n
0
使式子的值定下
来．
例1.
（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题
满分8分．
已知函数
f(x)2k2
（
xR
）．
（1）判断函数
f(x)
的奇偶性，并说明理由；
（2）设
k0
，问函数
f(x)
的图像是否关于某直线
xm
成轴对称图形，如果是，求出
m
的值；如果不
是，请说明理由；
xx
1
例2.
函数
f(x)2xsin(2x1)
图像的对称中心是___________________
2
x
a
例3.
设
f(x)
x1
（
a,b
为实常数）．
2b
（1）当
ab1
时，证明：
f(x)
不是奇函数；
（2）设
f(x)
是奇函数，求
a
与
b
的值；
例4.
若一个首项为1的等差数列
a
n
的前
n
项和与其后的
2n
项和之比是与
n
无关的定值，试
求此数列的通项公式．
【课堂练习】
1.
函数
f(x)
二、函数与方程的思想在解题中的应用
【知识梳理】
（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问
题，而研究函数的性质也离不开不等式；
（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要；
1
图像的对称中心是_______________
x
42
2
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