2024年1月9日发(作者：联想a3860参数)

一．问题描述

TJ公司生产3种坚果什锦产品，分销给遍布东南地区的食品连锁店。产品有3个品种，分别是普通型、高级型和假日型，不同品种的区别就是各种坚果的比例不同。为了秋季的生产准，TJ公司购入了一批坚果，价格和类别如表1：

表1 各种坚果运输成果表

坚果类别

杏仁

巴西果

榛子

运量(公斤)

6000

7500

7500

运输费用(美元)

7500

7125

6750

坚果类别

核桃

胡桃

运量(公斤)

6000

7500

运输费用(美元)

7200

7875

普通型的产品含有15%的杏仁，25%的巴西果. 25%的榛子，10%的核桃，25%的胡桃。高级型的产品各种坚果均含20%。假日型的产品含有25%的杏仁，15%的巴西果. 15%的榛子，25%的核桃，20%的胡桃。

TJ公司的会计对包装材料费用、售价等数值进行分析后预测，每公斤普通型产品的利润是1. 65美元，每公斤高级型产品的利润是2美元，每公斤假日型产品的利润是2.25美元。这些数值没有包括坚果的价格，因为它们的价格变化非常大。客户的订单如下：

表2 客户订单表

产品类别

普通型

高级型

假日型

订货量

10000

3000

5000

因为对产品的需求在不断增加，预计TJ公司将会获得大于其生产能力的订单。

TJ公司的目的在于合理安排坚果产品的类型，使公司的利润最大；公司不用的坚果都捐献给当地的慈善机构。还有，无论盈利与否，公司都将满足已经签署的订单。在上述背景下提出以下问题：

1、普通型、高级型和假日型坚果产品的成本。

2、最优生产组合和总利润。

3、如果还可以购买一些坚果，分析如何才能使产品的利润增加。

4、思考公司是否应该从一个供应商那里再以1000美元的价格购入1000公斤的杏仁。

5、如果TJ不必满足全部的已签订单，公司会增加的利润量。

二．问题分析

在问题一中，考虑到运输费用的成本，而其它成本均忽略不计，通过普通的除法计算即可得到每种坚果的单位成本，再结合每种产品所含坚果的成份即可得到不同产品的成本。在问题二中，分别从坚果的购进量与产品的订单两方面考虑，通过约束即可得到利润最大化的生产方式。在问题三中，结合问题二，除去其中对坚果购进量的限制，用坚果的进购成本代之，最终进行约束得到利润最大化的方案。在问题四中，以问题二为基础，加入购买1000美元杏仁的条件即可。在问题五中，以问题二为基础，除去其中对生产品的最低水准即订单要求，就可得到在不考虑订单情况下的利润最大化的生产方案。

三．模型建立

- 1 -

3.1符号说明

为了更好的描述与解决问题，定义了一些符号，见表3。

表3 符号说明表

符号

xi

ci

dj

yij

mj

kj

符号说明

产品i的生产量

产品i的的利润

坚果j的的成本

产品i中坚果j的含量

坚果j的购进量

之后坚果j的购进量

每种产品类型的需求量

ni

3.2问题二模型的建立

通过对问题的分析，为了是利润最大即

maxzcixi36450

i13约束条件：

1、每种坚果的使用量不超过其购进量。

xyii13ijmjj5

2、公司都要满足已经签署的订单。

xinii1,2,3

通过上述的分析，建立起如下的线性规划模型：

目标函数：

maxzcixi36450

i13约束条件：

3j5xiyijmj

i1xinii1,2,3当符合上述的条件时可求出最优生产组合和总利润。

3.3问题三模型的建立

通过对问题的分析，为了是利润最大即

maxzcixidjkj36450

i1j135约束条件：

1、每种坚果的使用量不超过其购进量。

xyii13ijmjkjj5

2、公司都要满足已经签署的订单。

xinii1,2,3

3、之后购进的坚果量kj不小于0。

kj0j5

通过上述的分析，建立起如下的线性规划模型：

目标函数：

maxzcixidjkj36450

i1j135约束条件：

3j5xiyijmji1

xinii1,2,3k0j5j当符合上述的条件时可求出购买坚果后的最优生产组合和总利润。

3.4问题四模型的建立

通过对问题的分析，为了是利润最大即

maxzcixi100036450

i13约束条件：

1、每种坚果的使用量不超过其总共购进量。

xyii13ijmjkjj5

2、公司都要满足已经签署的订单。

xinii1,2,3

通过上述的分析，建立起如下的线性规划模型：

目标函数：

maxzcixid1k136450

i13约束条件：

3j5xiyijmj

i1xinii1,2,3当符合上述的条件时可求出购买1000美元后的最优生产组合和总利润。

3.5问题五模型的建立

通过对问题的分析，为了是利润最大即

maxzcixi36450

i13约束条件：

1、每种坚果的使用量不超过其购进量。

xyii13ijmjj5

i1,2,3

2、每种产品的产量不小于0。

xi0通过上述的分析，建立起如下的线性规划模型：

目标函数：

maxzcixi36450

i13约束条件：

3j5xiyijmj

i1xi0i1,2,3当符合上述的条件时可求出最优生产组合和总利润。

四．模型求解与程序设计

4.1问题一的求解

五种坚果的成本来自于其运输费用，根据题目中所给的信息可得到每种产品的单位成本，见表4。

表4 五种坚果成本表

坚果类别

单价（元/公斤）

杏仁

1.25

巴西果

0.95

榛子

0.9

核桃

1.2

胡桃

1.05

结合种产品类型中各坚果的比例可得到三种产品类型的单位成本：

普通型成本：

0.151.250.250.950.250.90.11.20.251.051.0325

高级型成本：

0.2（1.250.950.91.21.05）1.07

假日型成本：

0.251.250.150.950.150.90.251.20.2.051.1

则三种类型的成本分别为1.0325、1.07、1.1元/公斤。

4.2问题二的求解

通过Lingo对问题二建立的模型进行求解，其中使用的程序代码如下：

max=1.65*x1+2*x2+2.25*x3-36450;

0.15*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.10*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.2*x3<=7500;

x1>=10000;

x2>=3000;

x3>=5000;

通过计算可得到最优生产组合和总利润为24925美元。其中普通型生产17500

公斤。高级型生产10625公斤，假日型生产5000公斤。

4.3问题三的求解

通过Lingo对问题三建立的模型进行求解，其中使用的程序代码如下：

max=1.65*x1+2*x2+2.25*x3-36450-1.25*k1-0.95*k2-0.9*k3-1.2*k4-1.05*k5;

0.15*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.10*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.2*x3<=7500;

x1>=10000;

x2>=3000;

x3>=5000;

最终得到结果，在购买坚果后得到最优生产组合和总利润为24925美元。其中普通型生产17500公斤。高级型生产10625公斤，假日型生产5000公斤。与未购买之前的最优方案相同且最大利润相同，因此无需购买。

4.4问题四的求解

通过Lingo对问题四建立的模型进行求解，其中使用的程序代码如下

max=1.65*x1+2*x2+2.25*x3-37450;

0.15*x1+0.2*x2+0.25*x3<=7000;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.10*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.2*x3<=7500;

x1>=10000;

x2>=3000;

x3>=5000;

最终得到结果，在购买坚果后得到最优生产组合和总利润为28883.33美元。其中普通型生产11666.67公斤。高级型生产17916.67公斤，假日型生产5000公斤。相比较未以1000美元购进后的利润增加了3958.33美元。

4.2问题二的求解

通过Lingo对问题二建立的模型进行求解，其中使用的程序代码如下：

max=1.65*x1+2*x2+2.25*x3-36450;

0.15*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.25*x1+0.2*x2+0.15*x3<=7500;

0.10*x1+0.2*x2+0.25*x3<=6000;

0.25*x1+0.2*x2+0.2*x3<=7500;

通过计算可得到最优生产组合和总利润为25800美元。其中普通型生产15000公斤。高级型生产18750公斤，假日型不生产。相比较之前有订单条件下的情况利润增加了875美元。

五．结果分析

通过对上述五问求解的结果中可以看出，通过问题二与问题三可以看出TJ公司

的原料购进量满足订单的需求，在没有其它订单的情况下无需再多购进坚果。通过问题四可以看出当TJ公司一低于原本成本的价格购进坚果会对利润最大化的方案产生影响。通过问题五可以看出该公司的假期型产品的利润没有其它两种的利润高。

附录A：指导教师评语及成绩

指导教师评语：

成绩评定：

指导教师：

日 期：