2023年12月18日发(作者：华为p20pro电池容量)

专题强化五 天体运动的“三类热点”问题

【专题解读】 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现。

2.学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解。

3.需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等。

热点一 近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别

1.卫星的轨道

(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。

(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

2.同步卫星问题的“四点”注意

v2Mm4π22(1)基本关系：Gr2＝ma＝mr＝mrω＝mT2r。

(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析。

(3)物理规律

①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期。

②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径。

③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行。

(4)重要条件

①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，

地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。

②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天。

③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。

3.两个向心加速度

产生原因

方向

大小

卫星绕地球运行的向心加速度

由万有引力产生

指向地心

物体随地球自转的向心加速度

由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生

垂直且指向地轴

a＝rω2，r为地面上某点到地轴的GMa＝r2(地面附近a近似等于g)

距离，ω为地球自转的角速度

随卫星到地心的距离的增大而减小

从赤道到两极逐渐减小 特点

4.两种周期

(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。

(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离。

【例1】 (2020·湖北荆门市上学期1月调考)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图1，则下列说法正确的是( )

r3GM，

图1

A.a的向心加速度大于b的向心加速度

B.四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd

C.在相同时间内d转过的弧长最长

D.d的运动周期可能是30 h

答案 D

解析 因为a、c的角速度相同，根据a＝ω2r，因a离地心的距离小于c离地心的距离，所以a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引MmGM力提供向心力Gr2＝ma，得a＝r2，因b的轨道半径小于c的轨道半径，所以b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，知a的速度小于c；b、c、d是v2Mm围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力G2＝m，得v＝rrGM，因rb的轨道半径最小，d的轨道半径最大，所以b的速度大于c，c的速度大于d，则vb＞vc＞vd，vb＞vc＞va，故B错误；因b的速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Mm4π2Gr2＝mT2r，得T＝2πr3GM，可知因d的轨道半径大于c的轨道半径，d的周期大于c，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。

【变式1】 (2020·福建三明市5月质检)关于地球同步卫星下列说法正确的是( )

①地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的

②地球同步卫星绕地球的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小

③在赤道上空运行的地球同步卫星一定相对地面静止不动

④为了避免同步通信卫星在轨道上相撞，必须让它们运行在不同轨道上

A.①③

C.①④

答案 A

解析 地球同步卫星相对地面一定静止，③正确；由于地球自西向东自转，同步卫星也绕地球自西向东转动，由于卫星轨道的圆心在地心，因此地球同步卫星一GMm定在赤道的正上方，且运动周期为24 h，根据万有引力定律和牛顿第二定律r2v2πGMm＝m(T)2r，可知，轨道半径是确定的，而根据r2＝mr2，线速度大小也是确定的，①正确，②错误；由于所有的同步卫星转动方向相同，运动速度大小相同，B.②④

D.②③

因此不会相撞，④错误。因此A正确，B、C、D错误。

【变式2】 (多选)[2020·苏、锡、常、镇四市调研(一)]我国北斗卫星导航系统(BDS)已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能。A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，B是中轨道卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0，下列判断正确的是( )

A.卫星A可能经过江苏上空

B.卫星B可能经过江苏上空

C.周期大小TA＝T0＞TB

D.向心加速度大小aA＜aB＜g

答案 BCD

解析 A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，静止在赤道上空，不可能经过江苏上空，故A错误；B是中轨道卫星不是静止同步轨道卫星，所以卫星B可能经过Mm4π2mr江苏上空，故B正确；根据Gr2＝T2，可得T＝4π2r3GM，半径越大，周期越MmM大，所以TA＝T0＞TB，故C正确；根据万有引力提供向心力Gr2＝ma，a＝Gr2，半径越大，向心加速度越小，所以向心加速度大小aA＜aB＜g，故D正确。

热点二 卫星变轨和能量问题

1.变轨原理

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。如图2所示。

图2

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2.变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分r3别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律T2＝k可知T1＜T2＜T3。

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。

【例2】 (多选)(2021·1月湖北学业水平选择性考试模拟演练，9)嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图3所示为嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )

图3

A.在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大

B.嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长

C.嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等

D.嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等

答案 BC

解析 在同一轨道上运动时，嫦娥五号的机械能守恒，A错误；由开普勒第三定a3律T2＝k可知，半长轴越大，周期越长，故嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行周期比在轨

GMmGM道Ⅲ上运行的周期长，B正确；由牛顿第二定律r2＝ma可知a＝r2，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C正确；由Ⅱ轨道在Q点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见vⅡQ>vⅢQ，D错误。

【变式3】 (2021·1月湖南普高校招生适应性考试，7)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接。以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动。且甲的轨道半径比乙小。如图4所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是( )

图4

A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙

B.甲可以通过增大速度来抬高轨道

C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大

D.返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大

答案 BD

v2GMm解析 对在圆轨道上运转的卫星，由r2＝mr得：v＝乙GMr∝1r，故v甲>v，A错误；甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；在甲Mm抬高轨道的过程中，由F＝Gr2知，r增大，F减小，C错误；地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重量大，D正确。

【变式4】 (多选)(2020·福建厦门市五月质检)2019年2月15日，《Science》刊登了一幅地月同框照，浩瀚深邃的太空中，在蔚蓝地球的衬托下，月球背面清晰地呈现在人们眼前。这张照片由一架搭载在龙江二号上的相机拍摄，该相机的设计者是哈尔滨工业大学一群平均年龄不到25岁的学生。已知龙江二号是伴随着嫦娥四号中继通讯卫星“鹊桥”发射的一颗小卫星，在近月点350千米、远月点13 700

千米的环月轨道上运行，主要进行超长波天文观测，则( )

图5

A.龙江二号在环月轨道运行时，速度大小不变

B.龙江二号在环月轨道运行时，机械能不变

C.若龙江二号在近月点要变轨进入圆轨道运行，应点火加速

D.若龙江二号在远月点要变轨进入圆轨道运行，应点火加速

答案 BD

解析 龙江二号的环月轨道是椭圆，根据开普勒第二定律，近月点速度最大，远月点速度最小，因此速度大小变化，A错误；龙江二号在环月轨道运行时，由于只有月球的引力做功，因此机械能守恒，B正确；在近月点的椭圆轨道运动时，GMmmv21通过该点之后做离心运动，因此r2＜r，而在与该点相切的圆形轨道上运动GMmmv22时r2＝r，因此在椭圆轨道通过该点时的速度大于圆形轨道上通过该点的速度，因此从椭圆轨道进入圆形轨道要点火减速，C错误；在远月点的椭圆轨道运GMmmv23动时，通过该点之后做近心运动，因此r2＞r，而在与该点相切的圆形轨道GMmmv24上运动时r2＝r，因此在椭圆轨道通过该点时的速度小于圆形轨道上通过该点的速度，因此从椭圆轨道进入圆形轨道要点火加速，D正确。

热点三 双星或多星模型

1.双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图6所示。

图6

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

Gm1m222＝m1ω1r1，

LGm1m222＝m2ω2r2。

L②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。

m1r2④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m＝r。

21⑤双星的运动周期T＝2πL3。

G（m1＋m2）4π2L3⑥双星的总质量m1＋m2＝T2G。

2.多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

(2)三星模型

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图7甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

图7

(3)四星模型

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。

【例3】 (多选)(2018·全国卷Ⅰ，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )

A.质量之积

C.速率之和

答案 BC

解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的12π周期相等，且均为T＝12 s，两中子星的角速度均为ω＝T，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别m1m2m1m2为v1、v2，则有GL2＝m1ω2r1、GL2＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得ω2L3m1＋m2＝G，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。

【变式5】 (多选)(2020·山西阳泉市上学期期末)如图8所示，A、B、C三颗行星组成一个独立的三星系统，在相互的万有引力作用下，绕一个共同的圆心O做角B.质量之和

D.各自的自转角速度

速度相等的圆周运动，已知A、B两星的质量均为m，C星的质量为2m，等边三角形的每边长为L，则( )

图8

m2A.C星做圆周运动的向心力大小为3GL2

m2B.A星所受的合力大小为7GL2

7C.B星的轨道半径为4L

L3D.三个星体做圆周运动的周期为2πGm

答案 BC

m·2mm2解析 C星做圆周运动的向心力大小为FC＝2FACcos 30°＝3GL2＝23GL2，2选项A错误；A星所受的合力大小为FA＝FBA＋F2，其中FBACA＋2FBAFCAcos 60°Gm22Gm2m2＝L2，FCA＝L2，解得FA＝7GL2，选项B正确；因A、B所受的合力相等，12Gm2Gm2＋L22LL2cos 60°m27均为FA＝FB＝7GL2，由几何关系可知R＝，解得R＝BGm24L，B7L2m24π2选项C正确；对星球B：7GL2＝mT2RB，解得T＝πL3Gm，选项D错误。

【变式6】 (2020·广东广州市二模)如图9，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )

图9

π2

2π2

答案 B

解析 设A、B两天体的轨道半径分别为r1、r2，两者做圆周运动的周期相同，设为T′，由于经过时间T两者在此连成一条直线，故T′＝2T

对两天体，由万有引力提供向心力可得

mAmBmAmB2π2πGd2＝mAT′2r1，Gd2＝mBT′2r2

π2d3其中d＝r1＋r2，联立解得mA＋mB＝GT2，故B正确。

π2

4π2