2024年6月3日发(作者：)
第九章 多元函数微分法及其应用
一、基本要求及重点、难点
1. 基本要求
(1) 理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2) 了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3) 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件
和充分条件。
(4) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8) 理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉
格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点
（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，
多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复
合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。
二、内容概述
多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别
注意它们之间的一些本质差别。
1. 多元函数的极限和连续
(1) 基本概念
1) 点集和区域。
2) 多元函数的定义、定义域。
3) 二元函数的极限、连续。
(2) 基本定理
1) 多元初等函数在其定义域内是连续的。
2) 多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值
M和最小值m之间的任何值。
2. 多元函数微分法
(1) 基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法
1) 偏导数：
zf(x,y)
在
(
x
0
,
y
0
)
处对
x
的偏导数
z
x
，就是一元函数
x
x
0
zf
(
x
,
y
0
)
在
xx
0
处的导数；对
y
的偏导数
z
x
（同理）。
x
x
0
2) `全微分：
zf(x,y)
的全微分
dz
z
z
dx
dy
x
y
3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同
条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
A. 设
zf(u,v)
，
u
(t),v
(t)
，则全导数
B. 设
zf(u,v)
，
u
(x,y),v
(x,y)
dz
zdu
zdv
。
dt
udt
vdt
则：
z
z
u
z
v
z
z
u
z
v
，。
x
u
x
v
x
y
u
y
v
y
4) 隐函数求导法则：
A. 设函数
yf(x)
由隐函数
F(x,y)0
确定，则
F
dy
x
。
dxF
y
F
dz
x
，
dxF
z
B. 设函数
zf(x,y)
由隐函数
F(x,y,z)0
确定，则
F
y
dz
。
dyF
z
C. 设函数
yf(x),zg(x)
由隐函数方程组
F
(
x
,
y
,
z
)0
确定，从
G
(
x
,
y
,
z
)0
F
x
F
y
f
(
x
)
F
z
g
(
x
)0
，求出导数
f
(x),g
(x)
。
G
Gf
(
x
)
Gg
(
x
)0
yz
x
(3) 多元函数连续、可导、可微的关系
(4) 基本定理
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