2024年5月25日发(作者：)

反函数题型及解析

1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）； （2）y=3+

y=．

； （3）

2.求函数的反函数 （1）y= （2）y= （3）y=lnx+1 （4）y=3

x

+2

3.求下列函数的反函数的定义域 （1）y= （2） （3）

4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域 （1）y=

﹣1

；（2）y=；（3）y=e

x

5.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e

x

﹣e

﹣x

）；（3）y=1+ln（x﹣1）

6.求下列函数的反函数．

（1）y=log

y=x|x|+2x．

（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）

反函数题型解析

1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，

化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；

（2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，

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求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域；

（3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，

再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域．

解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R．

由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10

y﹣2

，x，y互换得：y=10

x﹣2

﹣1，

此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）；

（2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，

x=（y﹣3）

2

，x，y互换得：y=（x﹣3）

2

，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）；

（3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y=

，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=

=，∴原

，函数的值域为{y|y≠1}．由y=，x与y互换得：

此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}．

2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域．

解：由y=

反函数是

函数y=

的得，xy+4y=x﹣4，解得

（x≠1）．（2）函数y=

（y≠1），所以（x≠1），则函数y=

，可得x=

的

，

x

1﹣y）可得：2

x

=2

x

y+y．可得2（=y，2

x

=

的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e

y﹣1

，即：y=e

x﹣1

，∵x＞0，∴y∈R所以

函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e

x﹣1

（x∈R）；（4）∵y=3

x

+2，∴3

x

=y﹣2，又3

x

＞0，故y＞2，

∴x=log

3

（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3

x

+2的反函数是y=log

3

（x﹣2）（x＞2）

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