2024年5月23日发(作者：)

机器学习算法系列最速下降法牛顿法拟牛顿法

最速下降法（Gradient Descent）

最速下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束的最小化问题。

其原理是通过不断迭代更新参数的方式来逼近最优解。

在最速下降法中，每次迭代的方向是当前位置的负梯度方向，即沿着

目标函数下降最快的方向前进。具体地，对于目标函数f(x)，在当前位

置x_k处的梯度为g_k=▽f(x_k)，则下一次迭代的位置x_{k+1}可以通过

以下公式计算：

x_{k+1}=x_k-α*g_k

其中，α 是一个称为学习率（learning rate）的参数，用于控制每

次迭代的步长。

最速下降法的优点是简单易实现，收敛速度较快。然而，它也有一些

缺点。首先，最速下降法的收敛速度依赖于学习率的选择，过小的学习率

会导致收敛速度过慢，而过大的学习率可能会导致跳过最优解。其次，最

速下降法通常会在目标函数呈现弯曲或者高度相关的情况下表现不佳，很

难快速收敛到最优解。

牛顿法（Newton's Method）

牛顿法是一种通过二阶导数信息来优化的算法，可以更快地收敛到目

标函数的最优解。

在牛顿法中，每次迭代的位置x_{k+1}可以通过以下公式计算：

x_{k+1}=x_k-(H_k)^{-1}*▽f(x_k)

其中，H_k是目标函数f(x)在当前位置x_k处的黑塞矩阵。黑塞矩阵

描述了目标函数的二阶导数信息，可以帮助更准确地估计参数的更新方向。

牛顿法的优点是收敛速度较快，特别是对于目标函数呈现弯曲或者高

度相关的情况下，相较于最速下降法可以更快地达到最优解。然而，牛顿

法也有一些缺点。首先，计算黑塞矩阵的代价较高，尤其是当参数较多时。

其次，黑塞矩阵可能不可逆或者计算代价较大，这时可以通过使用拟牛顿

法来避免。

拟牛顿法（Quasi-Newton Method）

拟牛顿法是一类基于牛顿法的优化算法，通过估计黑塞矩阵的逆来逼

近最优解，从而避免了计算黑塞矩阵的代价较高的问题。

在拟牛顿法中，每次迭代的位置x_{k+1}可以通过以下公式计算：

x_{k+1}=x_k-B_k*▽f(x_k)

其中，B_k是一个对黑塞矩阵逆的估计。拟牛顿法的核心思想是通过

不断更新B_k来逼近真实的黑塞矩阵逆。

拟牛顿法有很多种类，其中最著名的是DFP算法（Davidon-

Fletcher-Powell algorithm）和BFGS算法（Broyden-Fletcher-

Goldfarb-Shanno algorithm）。它们都通过使用历史迭代信息对黑塞矩

阵逆进行估计，以快速逼近最优解。

拟牛顿法的优点是避免了计算黑塞矩阵的代价，收敛速度通常比最速

下降法快。然而，拟牛顿法相较于牛顿法仍存在一些缺点。首先，拟牛顿

法的参数估计可能不够准确，对于复杂的问题可能无法得到最优解。其次，

拟牛顿法在高维问题中的表现可能较差。

总结

最速下降法是一种简单易实现的优化算法，但在收敛速度和处理高维

问题时可能存在问题。牛顿法通过使用二阶导数信息可以更快地收敛到最

优解，但计算代价较高。拟牛顿法通过估计黑塞矩阵的逆来逼近最优解，

可以在一定程度上避免计算代价高的问题，但参数估计可能不够准确。在

实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的优化算法非常重要。