2024年5月2日发(作者：)

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考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值

知识点

1.求函数单调区间的步骤：

①确定f(x)的定义域；②求导数y′；③令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)

在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数

2.求极值常按如下步骤：

① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程

y

/

=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可

能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。

3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：

①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最

大值，最小的一个是最小值。

4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。

5.求函数f(x)的极值的步骤:

①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将

函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，若左正右负，则

f(x)在这个根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正

或都负，则f(x)在这个根处无极值

例题

1. 函数

f(x)xlnx(x0)

的单调递增区间为_______________．

2. 讨论下列函数的单调性：

（1）

f(x)a

x

a

x

（

a0

且

a1

）；

（2）

f(x)log

a

(3x

2

5x2)

（

a0

且

a1

）；

3.求下列函数的极值：

（1）

f(x)x12x

；（2）

f(x)xe

32x

；（3）

f(x)

2x

2.

2

x1

练习

1.下列说法正确的是（ ）

A.当

f

′(

x

0

)=0时，则

f

(

x

0

)为

f

(

x

)的极大值

B.当

f

′(

x

0

)=0时，则

f

(

x

0

)为

f

(

x

)的极小值

C.当

f

′(

x

0

)=0时，则

f

(

x

0

)为

f

(

x

)的极值

D.当

f

(

x

0

)为函数

f

(

x

)的极值且

f

′(

x

0

)存在时，则有

f

′(

x

0

)=0

2

2.函数

y

=

6x

的极大值为（ ）

1x

2

A.3 B.4 C.2 D.5

3

3.函数

y

=

x

－3

x

的极大值为

m

,极小值为

n

,则

m

+

n

为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.4

4.

y

=ln

2

x

+2ln

x

+2的极小值为（ ）

A.

e

－1

B.0 C.－1 D.1

5．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（ ）

A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)

6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）.下面四个图象中

y=f（x）的图象大致是（ ）

7.函数

ylog

1



1



2



1





在区间

(0,)

上是（ ）

x



A．增函数，且

y0

B．减函数，且

y0

C．增函数，且

y0

D．减函数，且

y0

8．函数

f

(

x

)=

x

－3

x

+7的极大值为___________.

9. 求下列函数的单调区间：

42

（1）

f(x)x2x3

； （2）

f(x)2xx

2

； （3）

f(x)x

32

b

(b0).

x

3

10.已知

f(x)ax

3

bx

2

cx(a0)

在

x1

时取得极值，且

f(1)1

．

（1）试求常数

a、b、c

的值；

（2）试判断

x1

是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

11.已知函数f（x）＝x＋ax＋bx＋c在x＝－

32

2

与x＝1时都取得极值

3

（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2） 若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c恒成立，求c的取值范围．

2