2024年4月28日发(作者：)
反函数（inverse function）是一种与原函数相反操作的函数。
如果函数 ( f(x) ) 有反函数 ( f^{-1}(y) )，那么对于任
意的 ( x )，都有 ( f^{-1}(f(x)) = x ) 和 ( f(f^{-1}(y))
= y )。
以下是一些常见函数及其反函数：
1. 线性函数:
- ( f(x) = ax + b ) 的反函数是 ( f^{-1}(y) = frac{y
- b}{a} )（假设 ( a neq 0 )）。
2. 指数函数:
- ( f(x) = a^x ) 的反函数是 ( f^{-1}(y) = log_a(y)
)。
3. 对数函数:
- ( f(x) = log_a(x) ) 的反函数是 ( f^{-1}(y) = a^y
)。
4. 三角函数:
- 正弦函数 ( f(x) = sin(x) ) 的反函数是 ( f^{-1}(y)
= arcsin(y) )。
- 余弦函数 ( f(x) = cos(x) ) 的反函数是 ( f^{-1}(y)
= arccos(y) )。
- 正切函数 ( f(x) = tan(x) ) 的反函数是 ( f^{-1}(y)
= arctan(y) )。
5. 双曲函数:
- 双曲正弦函数 ( f(x) = sinh(x) ) 的反函数是
( f^{-1}(y) = text{arsinh}(y) ) 或 ( f^{-1}(y) = ln(y
+ sqrt{y^2 + 1}) )。
- 双曲余弦函数 ( f(x) = cosh(x) ) 的反函数是
( f^{-1}(y) = text{arcosh}(y) ) 或 ( f^{-1}(y) = ln(y
+ sqrt{y^2 - 1}) )。
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