2024年4月28日发(作者：)

对数函数

图象与性质：

要点 定义 符号

一般地，函数

ylog

a

x(a0

且

a1)

叫做

对数

f(x)log

a

x(a0

且

a1)

函数

指数函数，其中

x

是自变量，函数的定义域为

注：

ya

x

(0,)

与

ylog

a

x

(a0

且

a1)

互为反函数

a1

0a1

对数

函数

的图

象

（1）图象都在

y

轴的右边

（1）图象都在

y

轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）函数图象都经过（1，0）点

对数

（3）从左往右看，图象逐渐上升 （3）从左往右看，图象逐渐下降 .

函数

的图

（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，

（4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）

象特

在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.

点左边的纵坐标都大于0 .

征

注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则

log

a

x0

；当底与真数一个大于1另一具大于0小

于1，则

log

a

x0

（1）

ylog

a

x

与

ylog

1

x

(a0

且

a1)

的图象关于

x

轴对称

a

底不

ylog

a

x

同的

ylog

b

x

两个

图象

几个不同的指数函数的图象规律：

的关

当

x1

时，图象是“底大图低”

系

即

ba1dc0

ylog

c

x

ylog

d

x

指数函数与对数函

数的关系

ya

x

与

ylog

a

x

(a0

且

a1)

互为反函数，它们的图象关于直线

yx

对称

典例精讲剖析

例1.函数

ylog

a

(2x5)4

的图象恒过定点

1

例2. 已知

f(x)

是对函数

ya

(a0

且

a1)

的反函数，并且

f(x)

的图象经过

x

3

1

P(3,)

，求

f()

的值

3

2

例3. 求下列函数的定义域：

2x

（1）

ylog

a

x

(2)

ylog

a

(42x)

（3）

ylog

(x1)

(164)

例4. 求函数

f(x)log

2

|x|

的定义域，并画出它的图象.

练习：

1.下列函数是对数函数的是

2

( )

A．

ylog

a

x

(a0

且

a1)

B.

y

C．

ylog

a

2

1

log

a

x

(a0

且

a1)

2

x

(a0

且

a1)

D．

ylog

a

|x|

(a0

且

a1)

x

2. 已知

a0

且

a1

，函数

ya

与

ylog

a

(x)

的图象只能是 ( )

3. 如下图所示的曲线是对数函数

y

＝log

a

x

的图象，已知

a

的取值分别为

413

、

3

、、，则相应于

C

1

、

C

2

、

C

3

、

3105

C

4

的

a

值依次是

2

4. 已知

f(x)

是对数函数，且

f(x)

的图象过点

P(27,6)

，求

f(x)

的解析式

5. 求下列函数的定义域：

（1）

f(x)log

1

1

2

(2x1)

(2)

f(x)

logx2)

（3）

f(x)

log

1

(3

4

(3x2)

2

基础知识：

对数函数的图象和性质

函数名称 指数函数

解析式

f(x)log

a

x(a0

且

a1)

定义域

(0,)

值域

(,)

，

a1

0a1

图象

奇偶性 对数函数是非奇非偶函数

单调性

在

(0,)

上是增函数 在

(0,)

上是减函数

性质

函数值分



0(x



0(x1)

布

logx



1)

a



0(x1)

log



(x1)



a

x



0



1(0x1)





0(0x1)

典例精讲剖析

例1. 比较下列各组数中两个值的大小：

（1）

log

2

3.4

，

log

2

3.8

； （2）

log

05

1.8

，

log

05

2.1

；

（3）

log

a

5.1

，

log

a

5.9

（

a0

，

a1

）； （4）

log

7

5

，

log

6

7

；

3