2024年4月28日发(作者：)

函数的奇偶性、指数函数、对数函数

知识精要

一、函数的奇偶性

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶

函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做

奇函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,

且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，

那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，

则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按

照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

奇偶函数图像的特征

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴的轴对称图

形。

f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y）

f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空

集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的

和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇

函数与偶函数的积是奇函数。

函数奇偶性证明的步骤：

（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；

（2）计算

f(x)

的解析式，并考察其与

f(x)

的解析式的关系 ；

(3)下结论 .

性质

1、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于

原点对称的两个区间上单调性相同。

2、奇±奇＝奇 偶±偶＝偶 奇X奇＝偶 偶X偶＝偶 奇X偶＝奇（两函数定义域要

关于原点对称）

3、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数，则F[x]是偶函数

若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数

若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数

4、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称

二、指数函数

x

ya(a0,且a1)

叫做指数函数一般地，函数（exponential function），其中x是自变量，

函数的定义域为R．

注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

（二）指数函数的图象和性质

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

图象特征 函数性质

a1

0a1

a1

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R+

0a1

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

图象逐渐上升

在第一象限内

的图象纵坐标都大

于1

在第二象限内

的图象纵坐标都小

于1

自左向右看，

图象逐渐下降

在第一象限内

的图象纵坐标都小

于1

在第二象限内

的图象纵坐标都大

于1

a

0

1

增函数 减函数

x0,a

x

1

x0,a

x

1

x0,a

x

1

函数值开始增

x0,a

x

1

函数值开始减

小极快，到了某一

值后减小速度较

慢；

图象上升趋势

是越来越陡

图象上升趋势

是越来越缓

长较慢，到了某一

值后增长速度极

快；

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：