2024年4月15日发(作者：)
南昌工程学院
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牛顿迭代算法
摘要:
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson
method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方
法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找
方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大
优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程
的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方
法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代
法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出
来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.
关键字:
牛顿 迭代 方程 根 算法
一 .牛顿迭代法简介
1.1 牛顿迭代法的概述
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson
method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方
法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找
方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找
方程f(x) = 0的根。设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）
做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点
的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做
曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2
为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－
f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。解非线性方
程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展
开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其
线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有
f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这
样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
1.2 牛顿迭代法的优点
迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本
方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附
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