2024年4月13日发(作者：)

TI图形计算器辅助下的数学探究学习—

—回归分析的基本思想及其初步应用

一、创设情境

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示.

编

号

1

2

3

4

5

6

7

8

身

高

65

1

65

1

57

1

70

1

75

1

65

1

55

1

70

1

体

重

8

4

7

5

0

5

4

5

4

6

1

6

3

4

9

5

求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女

大学生的体重.请利用TI图形计算器研究这个实际问题.

二、探究新知

实验活动一：画散点图

新建一个“列表与电子表格”页面，输入数据.添加一个“图形”页面，并

设置图形类型为“散点图”.从散点图上我们可以看出，样本点呈条状分布，身

高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归直线y=bx+a来近似刻画它们

之间的关系.

实验活动二：求回归直线方程

添加一个计算页，并采用线性回归.按菜单，选择6：Statistics，再选择1：

Stat Calculations，再选择4：Linear Regression.小组合作，记录线性回归方

程的结果.回到1.2散点图页，按菜单键，选择3：Graph Type，再选择1：

Function，输入函数解析式，画出线性回归直线方程.

实验活动三：预测女大学生的体重并讨论结果的准确性

小组合作交流，讨论身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316（kg）吗？

如果不是，你能解释一下原因吗？对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可

以预测其体重为0.849×172-85.712=60.316（kg）.学生很快能够认识到，身高

为172cm的女大学生的体重不一定是60.316（kg）.我们只能认为这个学生的体

重大约是60.316（kg），这个预测并不是百分百的准确，但是也有很重要的参考

意义.

从散点图中可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线

上，这条直线方程并不能非常准确的描述女大学生的身高和体重之间的关系.那

怎么办呢？如何用一个更加精确的量来刻画模型拟合的效果呢？进行下面的实验

活动四.

实验活动四：画残差图

我们可以引入一个参数e，采用y=bx+a+e这个线性回归模型.其中e称之为

随机误差.实际上一个人的体重除了受身高的影响外，还受到其它很多因素的影

响，例如饮食习惯、是否喜欢运动、度量误差等等.我们可以计算出每一个已知

的体重值和回归模型的预测值之间的差异量，也就是计算出每一个人的体重的误

差值.也就是计算 ，我们把 称之为残差.即 .

新建一个“列表与电子表格”页面，将光标移动到表格第一栏，分别在A,B

列输入变量名称m,n.然后输入编号和相对应的残差数据.添加一个图形页面，选

择3：Graph Type，然后设置图形的类型，为Scatter Plot（散点图）.画残差

图的过程和前面画散点图的步骤相同，再调整一下窗口，就完成了残差图.

从残差图中学生可以发现，第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需

要确认这两个样本有没有问题，如果是采集数据有误，就予以纠正，然后再重新

进行模拟.如果数据没有问题，则需要寻找其它的原因.残差点比较均匀地落在水

平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越窄越好，回

归方程的预报精度越高.

实验活动五：引入刻画回归效果

残差图非常直观的显示了每个样本预测的误差情况，那么能不能用一个数来

表示模型模拟的好坏程度呢？我们引入一个变量.用 来刻画回归的效果，其

计算公式是

让学生小组合作交流，讨论 的大小和模型拟合好坏之间的关系.由表达式

可知，残差平方和越大， 越小，即模型拟合的效果就不是很好.相反，残差平

方和越小的时候，也就是残差平方和越接近于0的时候， 越大，并且 越接

近于1. 0.64，表明“女大学生的身高能解释64%的体重变化”，或者说“女

大学生的体重差异有64%是由身高引起的”. 是通常的选择模型的指标之一，

在实际应用中应尽量选择 大的回归模型.

三、讨论总结

1.用身高预测体重时，需要注意什么问题？

2. 建立回归模型的基本步骤？

四、课堂练习

利用TI图形计算器研究下面的问题，已知一个研究员收集了14个人的年龄

和脂肪的数据，数据如下表所示，请研究这14个人的年龄和脂肪之间的关系.

小组合作做出年龄与脂肪的散点图，发现数据围绕在一条直线周围，两个变

量有很强的线性相关关系，所以我们采用线性回归模型，利用最小二乘法求出回

归直线方程：y=0.56x-0.448.那么这个模型拟合的够不够好呢？我们计算每个数

据的残差，做出残差图.通过残差图学生可以发现，1号、2号、4号数据的残差

比较大，其它数据的残差比较好. =0.942， 非常接近1，说明线性回归模

型拟合的非常好.

五、课堂小结

1.画散点图的作用.看两个变量是否是线性相关关系.

2.最小二乘法求回归直线方程.

3.随机误差和线性回归模型.

4.残差和残差图.平均分布在一条带状区域中，越窄越好.

5.相关指数 . 越大，模型拟合的越好.

六、布置作业

七、教学反思

统计案例是高中数学选修课程中的内容，文科和理科生都要求掌握.回归分

析的基本思想及其初步应用是统计案例的第一部分.传统的教学方法，只能是依

靠PPT进行展示，学生采用笔算，或者借助计算器进行计算.一方面学生觉得没

有意思，课程比较枯燥，另外笔算非常浪费时间.所以这一部分教学内容如果想

要讲的透彻，需要的课时量还是比较大的.但是，由于课时有限，又很难分配给

这部分教学内容过多的课时.所以这一节内容并不是太好处理.而且书中的例子，

有的数据比较多，有的数据比较大，计算很麻烦，学生们也不是很感兴趣.如果

采用比较简单的数据，又好像脱离了实际生活.课后题目也是这种情况，第3题

数据有21组，而且小数点后面有3位数，计算量非常大，如果不采用TI图形计

算器进行模型模拟，课后题目是很难处理的.

采用TI图形计算器，能够非常精准、快速的画出散点图，学生能够迅速判

断出两个变量是否是线性相关的关系.然后计算出残差，很快就能得到残差图，

马上就能判断出哪一个数据可能有问题，如果有问题，可以去掉错误的数据之后

再次进行模型拟合.而且TI图形计算器直接就显示了相关指数 的值，学生省

去了不少计算的时间.教师可以利用这一部分时间讲解一下本节课内容涉及的原

理，留给学生更多自主探究的时间.

通过利用TI图形计算器，给了学生充分的探究时间，锻炼了学生观察、讨

论、交流、探究、分析、总结等能力.让学生充分感受到了数学和生活戚戚相关，

数学就来源于生活，并应用于生活.培养了学生学习数学的兴趣，让学生意识到

数学的价值，感受数学的魅力，让学生爱上探究的过程，享受探索新知的乐趣，

让学生喜欢上数学.学生也体验了一次做科研的过程，感受了利用科学严谨的方

法去研究现实生活当中的现象，从中发现并总结出规律，而且这个结论可以用来

预测，对人们的生活和社会的发展有非常重要的意义.