2024年3月16日发(作者：)
正态分布 检验统计量
正态分布是常见的概率分布之一，被广泛应用于自然科学、社
会科学、金融等领域。当数据符合正态分布模型时，我们可以
使用一些检验方法来检验数据是否真的服从于正态分布。
首先，我们需要了解正态分布的基本概念和特点。正态分布又
称为高斯分布，是一个钟形曲线，其均值、中位数和众数均相
等，并且其标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高
瘦。正态分布的累积分布函数是一个以均值为中心的对称函数。
在验证数据符合正态分布的假设时，我们需要使用一些检验统
计量。这些统计量的选择取决于许多因素，例如样本规模、是
否有离群值等。常见的检验统计量包括以下几种：
1. Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法。该检验是基
于样本数据的偏度和峰度的统计量W值计算而来，其假设原
假设H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不
服从正态分布”。在进行Shapiro-Wilk检验之前，需要确保样
本大小小于5000。
2. Kolmogorov-Smirnov检验
Kolmogorov-Smirnov检验是一种广泛应用的正态性检验方法。
该检验最早用于检验两个不同分布是否相等，后来也被用于检
验单一样本是否符合正态分布。该检验基于样本累积分布函数
与正态累积分布函数之间的最大差异来计算，其假设原假设
H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不服从
正态分布”。
3. Anderson-Darling检验
Anderson-Darling检验是一种敏感的正态性检验方法，适用于
样本大小较小的情况。该检验基于样本与期望分布之间的距离
来计算统计量，其中期望分布可以是正态分布，也可以是其他
分布。其假设原假设H0为“数据集服从正态分布”，备择假设
H1为“数据集不服从正态分布”。
4. Lilliefors检验
Lilliefors检验是对Kolmogorov-Smirnov检验的改进。与
Kolmogorov-Smirnov检验不同的是，Lilliefors检验不需要假
定正态分布的均值和标准差已知，而是通过具有与样本大小相
关的、经验计算的校正系数来计算检验统计量。其假设原假设
H0为“数据集服从正态分布”，备择假设H1为“数据集不服从
正态分布”。
总的来说，选择哪种检验方法取决于数据的特点和要求。在使
用这些统计量进行正态性检验时，应该注意样本大小，避免过
度依赖于p值，特别是在样本较小的情况下。
除了以上列举的检验方法之外，我们还可以使用直方图、Q-Q
图、箱线图等图形方法来检验数据是否符合正态分布。这些方
法的优点在于具有直观性和易于理解的特点。例如，通过绘制
Q-Q图，可以直观地观察到样本数据点是否分布在一条直线上，
从而判断样本数据是否服从于正态分布。
总的来说，正态分布检验是数据分析中的一项重要工作，准确
地检验数据是否符合正态分布有助于选择合适的统计方法、进
行准确的数据分析和决策。针对不同的数据特点，选择合适的
检验方法进行判断，才能获得可靠的结果。
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