2024年1月11日发(作者：)

班级

实验名称

数学与应用数学2班

定积分的近似计算

姓名

杜志佩

学号

1101114074

问题背景描述：

利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．

实验目的：

本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型：

1.矩形法:

根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即

在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同有不同。

的取法，计算结果会（1） 左点法：对等分区间

，

在区间上取左端点，即取。

（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。

（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。

2． 梯形法

等分区间

，（）．

相应函数值为

曲线上相应的点为 （）

将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为

，．

于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，

，

即 ，

称此式为梯形公式。

3． 抛物线法

将积分区间作等分，分点依次为

，，

对应函数值为

（），

曲线上相应点为

（）．

现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线

来近似代替，然后求函数从到的定积分：

由于，代入上式整理后得

同样也有

……

将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：

，

即

这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．

实验所用软件及版本：Matlab R2012b

主要内容：

1． 分别用梯形法与抛物线法，计算算求解，比较结果的差异．

，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计2． 试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）

3． 学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。

实验过程记录：

1.(1)梯形法：

程序: n=120;

a=1;

b=2;

sum=0;%保证sum开始值为0

syms x fx;

fx=1/x;

for i=1:n %循环语句

xj=a+(i-1)*(b-a)/n;

xi=a+i*(b-a)/n;

fxj=subs(fx,'x',xj); %符号运算，替换

fxi=subs(fx,'x',xi); %符号运算，替换

sum=sum+(fxi+fxj)*(b-a)/(2*n);%求矩形面积

end

sum %如果没有这句话就算不出最后的积分

结果:sum =0.6932

（2）抛物线法：

n=120;

a=1;

b=2;

sum=0;

syms x fx；

fx=1/x;

for i=1:n

xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);%第一点的自变量取值后面是除2*n，不是n

yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n); %第二点的自变量取值后面是2*i-1

zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n); %复制后没改自变量的名字

fxx=subs(fx,‘x’,x0);

fyy=subs(fx,‘x’,x1);

fzz=subs(fx,‘x’,x2);

sum=sum+(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n);%求和

end

sum

结果：sum = 0.6931

（3）trapz（）法：

程序：x=1:0.001:2;

y=1./x;

trapz(x,y)

结果：

ans =0.6931

（4）quad（）法：

程序：quad('1./x',1,2,10e-10) %10e-10为计算精度

结果：ans = 0.6931

2. （1）使用int：

程序：

syms x;

int(sin(x)/x,0,inf) %了解inf表示无穷

结果：ans =pi/2

（2）使用函数trapz()：

程序：

x=1:1/120:inf;

y=sin(x)./x;

trapz(x,y)

结果：Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

Error in ch8ex31 (line 1)

x=1:1/120:inf;

（3）使用函数quad()：

quad('sin(x)./x',0,inf)

结果：ans =NaN

（4）矩形法：

n=inf;

a=0;

b=inf;

syms x fx

fx=sin(x)./x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点自变量取值

fxj=subs(fx,'x',xj); %符号运算，替换

f1=fxj*(b-a)/n;

inum1=sum(f1) %计算总面积，即积分

结果：

Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

Error in ch8ex31 (line 6)

i=1:n;

故不能用trapz（），quad（），或梯形法，矩形法，抛物线法计算。

3.（1）矩形法：

程序：

n=120;

a=0;

b=1;

syms x fx;

fx=1/(1+x^2);

i=1:n; %避免for循环

xx=a+i*(b-a)/n;

fxx=subs(fx,'x',xx);

f=fxx*(b-a)/n;

sum=sum(f) %一定要写这个命令，求和

结果：sum = 0.7833

（2）抛物线法：

程序：

n=120;

a=0;

b=1;

syms x fx

fx=1/（1+x^2）;

i=1:n;

xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);

yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);

zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n); %注意变量名应不同

fxx=subs(fx,'x',xx);

fyy=subs(fx,'x',yy); %复制过后改变量名

fzz=subs(fx,'x',zz);

f=(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n);

s=sum(f)

结果：s =0.7854

实验结果报告及实验总结：

1. 实验结果报告：

(1)梯形法：结果:sum =0.6932

（2）抛物线法：结果：sum = 0.6931

（3）trapz（）法：结果：ans =0.6931

（4）quad（）法：结果：ans = 0.6931

实验总结：

将题中的近似计算结果与Matlab各命令的计算结果相比较，发现运用不同的方法，计算结果会有不同。

因为由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大．误差较大。故由计算结果知，利用抛物线法近似计算定积分，更接近于实际值，精确程度更高．

且发现trapz()的调试结果与梯形法结果相同，故可猜测该Matlab中的数值积分命令函数trapz()采用了梯形法近似计算方法。

2. 实验结果报告：

（1）使用int：结果：ans =pi/2

（2）使用函数trapz()：

结果：Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

Error in ch8ex31 (line 1)

x=1:1/120:inf;

（3）使用函数quad()：结果：ans =NaN

（4）矩形法：

结果：Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

Error in ch8ex31 (line 6)

i=1:n;

实验总结：

通过实验发现使用函数trapz()，quad()和附录程序求解，均不能调试出或得出正确答案。用matlab命令中的符号求积分int()才得出正确结果。故矩形法、梯形法、抛物线法是主要研究定积分的三种近似计算算法。Matlab的专门函数trapz()，quad()也是用于定积分的近似数值计算。对于不定积分，由于积

分区间无限大，故不能使用该分割方法。

3. 实验结果报告：

（1）矩形法：结果：sum = 0.7833

（2）抛物线法：结果：s =0.7854

实验总结：

实验结果见实验过程中的调试结果。调试顺利。使用sum函数时，s和sum不需要赋初值，应用了积分理论中分割近似求和取极限的思想方法，避免了for循环的冗杂性，简单明了。

思考与深入：

通过本实验加深理解了积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法。学习并掌握了用matlab求定积分的方法，了解了定积分近似计算的矩形法、梯形法，和抛物线法。并认识到对于不同的题目，采取不同的运算方法，结果会不同，且精确程度也不同。

同时，对于自身，要深刻理解不定积分、定积分概念，熟悉matlab数学软件的求不定积分、定积分的命令，了解简单的编程语句，以更快更准确且熟练地设计出程序。

教师评语：