2024年1月11日发(作者：)

正弦函数和三角函数的积分及Matlab编程

求正弦函数y = sinx从0到π的积分

当x = 0时，积分为0，画出积分的函数曲线。

定积分的结果为

Ssinxdxcosx0ππ2

0不定积分的结果为

IsinxdxcosxC

其中C是积分常量，由初始条件决定。当x = 0时，积分为I = 0，必有C = 1。结果为

I = -cosx + 1

根据积分的基本概念，将积分区域分为多份，用矩形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

Sf(xi)x

i1n矩形法的函数是sum(f)。

用梯形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

1S[f(xi)f(xi1)]x

i02梯形法的函数是trapz(f)。

用数值积分的函数是quad和quadl，常用使用格式是

S = quad(f,a,b)

其中，f表示被积函数，a表示积分的下限，b表示积分的下限。

用符号的函数是int，常用使用格式是

S = int(f,a,b)

程序如下

%正弦函数的积分

clear %清除变量

x=linspace(0,pi); %自变量向量

dx=x(2); %间隔

y=sin(x); %被积函数

s1=sum(y)*dx %矩形法积分

s2=trapz(y)*dx %梯形法积分

f=inline('sin(x)'); %被积的内线函数

s3=quad(f,0,pi) %数值定积分

s4=int('sin(x)',0,pi) %符号积分

sc1=cumsum(y)*dx; %矩形法累积积分(精度稍差)

sc2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法累积积分

figure %创建图形窗口

n1

1

plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o') %画解析式和矩阵法以及梯形法积分曲线

s=int('sin(x)') %符号积分

sc3=subs(s,'x',x); %替换数值求符号积分的值

C=-sc3(1) %求积分常数

hold on %保持图像

plot(x,sc3+C,'c*') %画符号法积分曲线

grid on %加网格

fs=16; %字体大小

xlabel('itx','FontSize',fs) %横坐标

ylabel('intsinitxrmditx','FontSize',fs)%纵坐标

title('正弦函数的积分','FontSize',fs) %标题

legend('解析解','矩形法','梯形法','符号法')%图例

2.三角函数和指数的积分

[问题]求如下函数的积分

y = eaxsinbx

其中a = 0.5，b = 2。积分下限为0。画出积分的函数曲线。

[数学模型]

设

11axaxsinbxde{esinbxbeaxcosbxdx}

aa1b1b{eaxsinbxcosbxdeax}{eaxsinbx[eaxcosbxbeaxsinbxdx]}

aaaaIeaxsinbxdx因此不定积分为

I1axe(asinbxbcosbx)C

22abCb

a2b2当x = 0时，I应该为零，所以

因此，从0开始的积分为

I1axe(asinbxbcosbxb)

22ab[算法]可用积分的解析式直接画图，也可利用被积函数通过梯形求和指令cumtrapz求积分，数值积分指令quad求积分，还可通过符号积分int求解。

程序如下。

%数值积分和符号积分方法

clear %清除变量

a=0.5; %指数的常数

b=2; %正弦函数的常数

dx=0.1; %间隔

xm=6; %上限

x=0:dx:xm; %自变量向量

s1=(exp(a*x).*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)))/(a^2+b^2);%积分的解析解

C=-s1(1); %求积分常数

2

y=exp(a*x).*sin(b*x); %被积函数

s2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法积分

%s2=cumsum(y)*dx; %矩形法求积分

figure %创建图形窗口

plot(x,s1+C,x,s2,'.') %画积分曲线

s=['exp(',num2str(a),'*x).*sin(',num2str(b),'*x)'];%被积分函数字符串

f=inline(s); %化为内线函数

s3=0; %第1个值

for i=2:length(x) %按自变量循环

s3=[s3,quad(f,0,x(i))]; %连接积分

end %结束循环

s=int('exp(a*x)*sin(b*x)') %对x进行符号积分

ss=subs(s,{'a','b'},{a,b}); %替换常数

s4=subs(ss,'x',x); %替换向量

hold on %保持图像

plot(x,s3,'or',x,s4-s4(1),'ch','MarkerSize',16)%画数值积分和符号积分曲线

title(['ityrm=e^{',num2str(a),'}it^xrmsin',num2str(b),'itxrm的积分'],'FontSize',16)%标题

legend('公式法','梯形法','数值法','符号法',2)%加图例

zqy4.1图 zqy4.2图

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