2023年12月26日发(作者：)

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

MatLab简介

MATLAB是什么？

典型的使用包括：

数学和计算

算术发展模型，

模拟，和原型

数据分析，开发，和可视化

科学和工程图学

应用发展包括图形用户界面设计

MATLAB表示矩阵实验室。

MATLAB系统

MATLAB系统由5主要的部分构成：

1. MATLAB语言。 这是高阶的矩阵/数组语言,带控制流动陈述，函数，数据结构，输入/输出，而且面向目标的编程特点。

Ops 操作符和特殊字符。

Lang 程序设计语言作。

strfun 字符串。

iofun 输入/输出。

timefun 时期和标有日期。

datatypes数据类型和结构。

2. MATLAB工作环境。 这是你作为MATLAB用户或程序编制员的一套工具和设施。

3. 制图这是MATLAB制图系统。它为2维上，而且三维的数据可视化，图象处理，动画片制作和表示图形包括高阶的指令在内。它也为包括低阶的指令在内,允许你建造完整的图形用户界面（GUIs），MATLAB应用。制图法功能在MATLAB工具箱中被组织成5文件夹：

graph2d 2-的维数上的图表。

1

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graph3d 三维的图表。

specgraph 专业化图表。

graphics 制图法。

uitools 图形用户界面工具。

4. MATLAB的数学的函数库。 数学和分析的功能在MATLAB工具箱中被组织成8文件夹。

elmat 初步矩阵，和矩阵操作。

elfun 初步的数学函数。

specfun 专门的数学函数。

matfun 矩阵函数－用数字表示的线性的代数。

datafun 数据分析和傅立叶变换。

polyfun 插入物，并且多项式。

funfun 功能函数。

sparfun 稀少矩阵。

5. MATLAB应用程序接口（API）。 这是允许你写C、Fortran语言与MATLAB交互。

关于 Simulink

Simulink ？ MATLAB为做非线性的动态的系统的模拟实验的交互式的系统。它是允许你通过把方框图拉到屏幕，灵活地窜改它制作系统的模型的用图表示的鼠标驱动的程序。 实时工作室？允许你产生来自你的图表块的C代码，使之能用于各种实时系统。

关于工具箱

工具箱是为了解答特别种类的问题扩展MATLAB环境的MATLAB函数的综合的（M-文件）收集

MatLab工作环境

2

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命令窗口

若输入

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]

按下回车键后显示如下

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 10

清除命令窗口

clc

这并不清除工作间，只是清除了显示，仍可按上箭头看到以前发出的命令

数据格式命令

x = [4/3 –6]

format short

format short e

+000 –006

format short g

–006

3

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format long

format long e

+000 –006

format long g

–006

format bank

format +

++

format rat

4/3 1/810045

format hex

3ff55555 3eb4b6231abfd271

若最大的元素大于1000或小于,则显示short或long格式时时会加上一个比例

还有两个格式:

format compact

format loose

禁止结果的显示

4

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在命令后加上分号,则屏幕上不会立即显示出结果,这在运算大的数据量时十分有用,如下命令产生100*100的幻方:

A = magic(100);

长命令行

如想另起一行输入命令,在末尾加上"..."即可,如:

s = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 ...

– 1/8 + 1/9 – 1/10 + 1/11 – 1/12;

MatLab工作间

你可用who或whos来察看当前工作间中有哪些变量,如:

whos

Name Size Bytes Class

A 4x4 128 double array

D 3x5 120 double array

M 10x1 40 cell array

S 1x3 628 struct array

h 1x11 22 char array

n 1x1 8 double array

s 1x5 10 char array

v 1x14 28 char array

Grand total is 93 elements using 984 bytes

5

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若要从工作间中删除所有的变量,用

clear

保存、重载工作间

你可以将工作间保存为一个二进制的M文件，以后还可以恢复回来：

save june10

也可只保存工作间中的部分变量值

save june10 x y z

重载时只需输入

load june10

文件名保存在字符串中

这样可以像调用函数一样调用工作间

save(’myfile’,’VAR1’,’VAR2’)

A = ’myfile’;

load(A)

与下面的命令相同

save myfile VAR1 VAR2

load myfile

下面的命令把1至10的平方值分别存放在data1至data10中：

file = ’data’;

for i = 1:10 j = i.^2;

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save([file int2str(i)],’j’);

end

查找路径

当你输入“yourpig"时发生了什么呢?

1:察看是否是变量;

2:察看是否是内建函数;

3:察看当前目录下是否有文件:;

4:察看查找目录下是否有文件:;

对于查找路径中的文件,what显示当前目录下的文件,加上路径后可显示输入的路径下所有的MatLab文件.如:

what matlab/elfun

以下二命令分别显示、编辑m文件

type rank

edit rank

图像窗口

下面的命令产生一个与命令窗口隔离的图形窗口,

figure

plot函数则会在新的窗口中绘制图形,如

t = 0:pi/100:2*pi;

y = sin(t);

7

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plot(t,y)

则有如下图形:

寻求帮助

下面的函数在寻求帮助时十分有用:

help 列出你所寻求帮助的函数的功能描述；

lookfor 列出所有函数的功能描述中含有你所输入的内容的函数的简介

如:

help inverse

显示

not found.

但如输入

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lookfor inverse

则显示

INVHILB Inverse Hilbert matrix

ACOSH Inverse hyperbolic cosine

ERFINV Inverse of the error function

INV Matrix inverse

PINV Pseudoinverse

IFFT Inverse discrete Fourier transform

IFFT2 Two–dimensional inverse discrete Fourier transform

ICCEPS Inverse complex cepstrum

IDCT Inverse discrete cosine transform

数据分析和统计

面向列的数据集

这年头似乎十分风行”面向”这个词，这儿故也套用，其英文为"Column-Oriented Data Sets",可理解为MatLab按列的存储方式来分析数据,下面是一个例子:

Time Location 1 Location 2 Location 3

01h00 11 11 9

02h00 7 13 11

9

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03h00 14 17 20

04h00 11 13 9

05h00 43 51 69

06h00 38 46 76

07h00 61 132 186

08h00 75 135

09h00 38 88

10h00 28 36

11h00 12 12

12h00 18 27

13h00 18 19

14h00 17 15

15h00 19 36

16h00 32 47

17h00 42 65

18h00 57 66

19h00 44 55

20h00 114 145

21h00 35 58

22h00 11 12

23h00 13 9

24h00 10 9

以上数据被保存在一个称为的文件中．

11 11 9

10

180

115

55

14

30

29

48

10

92

90

257

68

15

15

7

18

151

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7 13 11

14 17 20

11 13 9

43 51 69

38 46 76

61 132 186

75 135 180

38 88 115

28 36 55

12 12 14

18 27 30

18 19 29

17 15 18

19 36 48

32 47 10

42 65 92

57 66 151

44 55 90

114 145 257

35 58 68

11 12 15

13 9 15

10 9 7

下面，我们调入此文件，并看看文件的一些参数

11

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load

[n,p] = size(count)

n =

24

p =

3

创建一个时间轴后，我们可以把图画出来：

t = 1:n;

set(0,'defaultaxeslinestyleorder’,’-|--|-.’)

set(0,'defaultaxescolororder’,[0 0 0])

plot(t,count), legend('Location 1','Location 2','Location 3',0)

xlabel('Time'), ylabel('Vehicle Count'), grid on

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足以证明，以上是对３个对象的２４次观测．

基本数据分析函数

（一定注意是面向列的）

继续用上面的数据，其每列最大值．均值．及偏差分别为：

mx = max(count)

mu = mean(count)

sigma = std(count)

mx =

13

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114 145 257

mu =

sigma =

重载函数，还可以定位出最大．最小值的位置

[mx,indx] = min(count)

mx =

7 9 7

indx =

2 23 24

试试看，你能看懂下面的命令是干什么的吗？

[n,p] = size(count)

e = ones(n,1)

x = count – e*mu

看看答案！

下面这句命令则找出了整个矩阵的最小值:

min(count(:))

ans =

14

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7

协方差及相关系数

下面,我们来看看第一列的方差:

cov(count(:,1))

ans =

cov()函数作用于矩阵,则会计算其协方差矩阵.

corrcoef()用于计算相关系数,如:

corrcoef(count)

ans =

数据的预处理

未知数据

NaN(Not a Number--不是一个数)被定义为未经定义的算式的结果,如 0/0.在处理数据中,NaN常用来表示未知数据或未能获得的数据.所有与NaN有关的运算其结果都是NaN.

a = magic(3);

a(2,2) = NaN

a =

15

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8 1 6

3 NaN 7

4 9 2

sum(a)

ans =

15 NaN 15

在做统计时，常需要将NaN转化为可计算的数字或去掉,以下是几种方法:

注:判断一个值是否为NaN,只能用 isnan(),而不可用 x==NaN;

i = find( ~ isnan(x));

x = x(i)

先找出值不是NaN的项的下标,将这些元素保留

x = x(find( ~ isnan(x))) 同上,去掉NaN

x = x( ~ isnan(x));

x(isnan(x)) = [];

更快的做法

消掉NaN

X(any(isnan(X)’),:) = []; 把含有NaN的行都去掉

用此法可以从数据中去掉不相关的数据,看看下面的命令是干什么用的:

mu = mean(count);

sigma = std(count);

[n,p] = size(count)

outliers = abs(count — mu(ones(n, 1),:)) > 3*sigma(ones(n, 1),:);

nout = sum(outliers)

nout =

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1 0 0

count(any(outliers'),:) = [];

看看答案

回归与曲线拟合

我们经常需要把观测到的数据表达为函数，假如有如下的对时间的观测：

t = [0 .3 .8 ]’;

y = [ ]’;

plot(t,y,’o’),

grid on

多项式回归

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由图可以看出应该可以用多项式来表达：y=a0+a1*t+a2*t^2

系数a0,a1,a2可以由最小平方拟合来确定，这一步可由反除号＂＼＂来完成

解下面的三元方程组可得：

X = [ones(size(t)) t t.^2]

X =

0 0

a = Xy

a =

–

a即为待求的系数，画图比较可得

T = (0::’;

Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a;

plot(T,Y,'–',t,y,'o',), grid on

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结果令人失望，但我们可以增加阶数来提高精确度，但更明智的选择是用别的方法．

线性参数回归

形如：y=a0+a1*exp(-t)+a2*t*exp(-t)

计算方法同上：

X = [ones(size(t)) exp(– t) t.*exp(– t)];

a = Xy

a =

–

T = (0::';

Y = [ones(size(T)) exp(– T) (– T)]*a;

plot(T,Y,'–',t,y,'o'), grid on

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看起来是不是好多了！

例子研究：曲线拟合

下面我们以美国人口普查的数据来研究一下有关曲线拟合的问题（MatLab是别人的,教学文档是别人的,例子也是别人的，我只是一个翻译而已．．．）

load census

这样我们得到了两个变量，cdate是1790至1990年的时间列向量(10年一次),pop是相应人口数列向量.

上一小节所讲的多项式拟合可以用函数polyfit()来完成,数字指明了阶数

p = polyfit(cdate,pop,4)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = –20

p =

20

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+05 *

– –

产生警告的原因是计算中的cdata值太大，在计算中的Vandermonde行列式使变换产生了问题，解决的方法之一是使数据标准化．

预处理：标准化数据

数据的标准化是对数据进行缩放，以使以后的计算能更加精确，一种方法是使之成为0均值：

sdate = (cdate – mean(cdate))./std(cdate)

现在再进行曲线拟合就没事了！

p = polyfit(sdate,pop,4)

p =

pop4 = polyval(p,sdate);

plot(cdate,pop4,'–',cdate,pop,'+'), grid on

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在上面的数据标准化中，也可以有别的算法，如令１７９０年的人口数为０．

余量分析

p1 = polyfit(sdate,pop,1);

pop1 = polyval(p1,sdate);

plot(cdate,pop1,'–',cdate,pop,'+')

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res1 = pop – pop1;

figure, plot(cdate,res1,'+')

p = polyfit(sdate,pop,2);

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pop2 = polyval(p,sdate);

plot(cdate,pop2,'–',cdate,pop,'+')

res2 = pop – pop2;

figure, plot(cdate,res2,’+’)

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p = polyfit(sdate,pop,4);

pop4 = polyval(p,sdate);

plot(cdate,pop4,'–',cdate,pop,'+')

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res4 = pop – pop4;

figure, plot(cdate,res4,'+')

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可以看出，多项式拟合即使提高了阶次也无法达到令人满意的结果

指数拟合

从人口增长图可以发现人数的增长基本是呈指数增加的，因此我们可以用年份的对数来进行拟合，这儿，年数是标准化后的！

logp1 = polyfit(sdate,log10(pop),1);

logpred1 = 10.^polyval(logp1,sdate);

semilogy(cdate,logpred1,'–',cdate,pop,'+');

grid on

logres2 = log10(pop) –polyval(logp2,sdate);

plot(cdate,logres2,'+')

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上面的图不令人满意，下面，我们用二阶的对数分析：

logp2 = polyfit(sdate,log10(pop),2);

logpred2 = 10.^polyval(logp2,sdate);

semilogy(cdate,logpred2,'–',cdate,pop,'+');

grid on

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r = pop – 10.^(polyval(logp2,sdate));

plot(cdate,r,'+')

29

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这种余量分析比多项式拟合的余量分析图案要随机的多（没有很强的规律性），可以预见，随着人数的增加，余粮所反映的不确定度也在增加，但总的说来，这种拟合方式要强好多！

误差边界

误差边界常用来反映你所用的拟合方式是否适用于数据，为得到误差边界，只需在polyfit()中传递第二个参数，并将其送入polyval().

下面是一个二阶多项式拟合模型,年份已被标准化,下面的代码用了2σ,对应于95%的可置信度:

[p2,S2] = polyfit(sdate,pop,2);

[pop2,del2] = polyval(p2,sdate,S2);

plot(cdate,pop,'+',cdate,pop2,'g–',cdate,pop2+2*del2,'r:',...

cdate,pop2–2*del2,'r:'),

grid on

30

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差分方程和滤波

MatLab中的差分和滤波基本都是对向量而言的，向量则是存储取样信号或序列的．

函数y = filter(b, a, x)将用a,b描述的滤波器处理向量x,然后将其存储在向量y中,

filter()函数可看为是一差分方程a1y(n)=b1*x(1)+b2*x(2)+...-a2*y(2)-...

如有以下差分方程:y(n)=1/4*x(n)+1/4*x(n-1)+1/4*x(n-2)+1/4*x(n-3),则

a = 1;

b = [1/4 1/4 1/4 1/4];

我们载入数据,取其第一列,并计算有:

load

x = count(:,1);

y = filter(b,a,x);

t = 1:length(x);

plot(t,x,'–.',t,y,'–'),

grid on

legend('Original Data','Smoothed Data',2)

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实现所表示的就是滤波后的数据,它代表了4小时的平均车流量

MatLab的信号处理工具箱中提供了很多用来滤波的函数,可用来处理实际问题!

快速傅立叶变换(FFT)

傅立叶变换能把信号按正弦展开成不同的频率值,对于取样信号,用的是离散傅立叶变换.

FFT是离散傅立叶变换的一种高速算法,在信号和图像处理中有极大的用处!

fft

fft2

fftn

ifft

ifft2

ifftn

abs

angle

unwrap

fftshift

cplxpair

nextpow2

离散傅立叶变换

二维离散傅立叶变换

n维离散傅立叶变换

离散傅立叶反变换

二维离散傅立叶反变换

n维离散傅立叶反变换

幅度

相角

相位按弧度展开,大于π的变换为2π的补角

把零队列移至功率谱中央

把数据排成复数对

下两个更高的功率

向量x的FFT可以这样求:

32

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x = [4 3 7 –9 1 0 0 0]’

y = fft(x)

y =

–

– –

– +

– –

– +

+

x虽然是实数,但y是复数,其中,第一个是因为它是常数相加的结果,第五个则对应于奈奎斯特频率,后三个数是由于负频率的影响,它们是前面三个数的共轭值!

下面,让我们来验证一下太阳黑子活动周期是11年!Wolfer数记录了300年太阳黑子的数量及大小:

load

year = sunspot(:,1);

wolfer = sunspot(:,2);

plot(year,wolfer)

title(’Sunspot Data’)

33

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现在来看看其FFT:

Y = fft(wolfer);

Y的幅度是功率谱,画出功率谱和频率的对应关系就得出了周期图,去掉第一点,因为他只是所有数据的和,画图有:

N = length(Y);

Y(1) = [];

power = abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist = 1/2;

freq = (1:N/2)/(N/2)*nyquist;

plot(freq,power),

34

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grid on

xlabel(’cycles/year’)

title(’Periodogram’)

上面的图看起来不大方便,下面我们画出频谱-周期图

period = 1./freq;

plot(period,power),

axis([0 40 0 2e7]),

grid on

ylabel(’Power’)

35

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xlabel(’Period(Years/Cycle)’)

为了得出精确一点的解,如下:

[mp index] = max(power);

period(index)

ans =

变换后的幅度和相位

abs()和angle()是用来计算幅度和相位的

先创建一信号,再进行分析,unwarp()把相位大于π的变换为2π的补角:

t = 0:1/99:1;

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x = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*40*t);

y = fft(x);

m = abs(y);

p = unwrap(angle(y));

f = (0:length(y)–1)'*99/length(y);

subplot(2,1,1), plot(f,m),

ylabel('Abs. Magnitude'), grid on

subplot(2,1,2), plot(f,p*180/pi)

ylabel('Phase [Degrees]'), grid on

xlabel('Frequency [Hertz]')

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可以发现幅度曲线关于奈奎斯特频率对称,只有0-50Hz的信息是有用的!

FFT的长度与速度

可以为FFT加上第二个参数,告诉MatLab这是n点FFT.如y = fft(x,n),若x长度大于n,软件自动补0,否则截取x.

若:

1. n为2的幂,软件将执行基2快速傅立叶算法,这时的运算速度是最快的

2. n为合数,软件将n分解为素数来算,计算量与n的值有关.n为1013将比1000点的速度慢的多!

3. n为素数,软件执行DFT的公式,此时最慢

矩阵和线性代数

MatLab中的矩阵

38

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MatLab中有好多函数可以产生不同的矩阵,下面就让我们产生两个3*3的矩阵,这一章中,我们的学习就靠她们了!!!

A = pascal(3)

A =

1 1 1

1 2 3

1 3 6

B = magic(3)

B =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

还有一个3*2的随机矩阵:

C = fix(10*rand(3,2))

C =

9 4

2 8

6 7

看看列矩阵，行矩阵，以及常数的表达：

39

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u = [3; 1; 4]

v = [2 0 —1]

s = 7

产生的矩阵是：

u =

3

1

4

v =

2 0

s =

7

加减法

X = A + B

X =

9 2 7

4 7 10

5 12 8

Y = X –A

40

—1

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Y =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

若二矩阵维数不统一，则会出错！

X = A + C

Error using ==> +

Matrix dimensions must agree.

向量的乘积与转置

x = v*u

x =

2

X = u*v

X =

6 0 —3

2 0 —1

8 0 —4

X = B'

41

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X =

8 3 4

1 5 9

6 7 2

如ｘ与ｙ均是列向量，则x*y无解,但下二表达式却可以:

x'*y

y'*x

称内积或点积.

下面的语句产生单位矩阵

eye(m,n)

若用eye(n)则产生n*n的方阵

解线性方程

情况一:

x = Au

x =

10

—12

5

又如：

42

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X = AB

X =

19 –3 —1

—17 4 13

6 0 —6

情况二；y是不同时刻t时的观测值:

t = [0 .3 .8 ]';

y = [.82 .72 .63 .60 .55 .50]';

若函数形式是:y(t)=c1+c2*exp(t);

构造矩阵:

E = [ones(size(t)) exp(–t)]

E =

则可求得系数c1及c2

43

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

c = Ey

c =

表明：y(t)=+*exp(t)

画图如下:

T = (0::';

Y = [ones(size(T)) exp(–T)]*c;

plot(T,Y,'–',t,y,'o')

转置与行列式

若A是方阵,且是非奇异的,则:

d = det(A)

44

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

X = inv(A)

d =

1

X =

3 —3 1

—3 5 —2

1 —2 1

若c不是方阵,则用pinv:

X = pinv(C)

X =

—

—

那么我们可以发现，下面３个命令具有同样的功效（Ａ是ｍ*ｎ的矩阵，ｍ＞ｎ）：

x = Ab

x = pinv(A)*b

x = inv(A’*A)*A’*b

.及Cholesky分解

MatLab求解线性方程建立在以下三个分解之上:

Cholesky分解

45

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Guass(高斯)分解

正交分解

Cholesky分解

A=p*p'

让我们临时把A变一变:

A = pascal(6)

A =

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15 21

1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126 252

A是二项式系数,每一项是其左方与上方系数之和,求其Cholesky分解系数有:

R = chol(A)

R =

1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5

0 0 1 3 6 10

0 0 0 1 4 10

46

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0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 1

Ｒ认识二项式系数．

这样对于线性方程便可化简：

A*x = b

R'*R*x = b

x = R(R'b)

复杂度由O(n^3)变为O(n^2);

LU分解

A = L U

其中,L时下三角阵,U是上三角阵,如:

[L,U] = lu(B)

L =

0 0

0

U =

0 —

0 0

47

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同样：

A*x = b可以解为

x = U(Lb)

QR分解

正交阵有如下性质:

Q'Q = I

正交阵的好处在于,她保持了原阵的长度,角度,并且在计算的过程中不会扩大误差.

RQ分解如下:

A = Q R 或 A P = Q R

其中,Q是正交阵,R是上三角阵.

矩阵的幂与指数

若A是方阵,p是正数,则

X = A^2

X =

3 6 10

6 14 25

10 25 46

若Ａ是方阵，且是非奇异的，则X=A^(-P)将inv(A) P次方,如:

Y = B^(–3)

Y =

48

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—

—

— —

分数词幂将由Ａ的特征值决定．

若是对矩阵的每个元素进行幂，用.^,如

X = A.^2

A =

1 1 1

1 4 9

1 9 36

sqrtm(A)计算A^(1/2)，但要更精确，而

sqrt(A)则计算A.^(1/2),是一个元素一个元素的算．

dx/dt=Ax,可以表示为x(t)=exp(tA)*x(0);

下面来看看如何计算:--expm(A)

A =

0 —6 —1

6 2 —16

—5 20 —10

x0 =

1

49