2023年7月24日发(作者：)

·１８０·ＴＯＤＡＹ数学前沿浅谈几种常见的一元函数定积分的计算方法郑雅思（广州工商学院　广东　广州　５１０８５０）摘要：一元函数定积分是高等数学课程中的一个重要知识点，也是同学们在学习过程中的一个难点。掌握一元函数定积分的常见计算方法，对同学们在后续学习高等数学有着重要的作用。为了简化一元函数定积分的计算难度，本文通过介绍几种常见的计算方法且并举例说明在怎样的题型中采用哪种计算方法能够提高运算效率，减少运算时间。关键词：一元函数；定积分；换元积分法；分部积分法中图分类号：Ｏ１７４．２　　　　　　　文献标识码：Ｂ　　　　　　　文章编号：１００２－３９１７（２０２１）０４－０１８０－０２　　１．一元函数定积分的计算方法１．１　奇偶性法。在使用奇偶性法求解定积分时，首先应看积分区间是否为对称区间，然后再判断被积函数的奇偶性。例１：∫１－１ｘｓｉｎ（ｅｘ＋ｅ－ｘ）ｄｘ分析：对于这种对称积分区间［－１，１］的，我们首先考虑利用奇偶性法对其求解，再判断被积函数的奇偶性。因为ｆ（ｘ）是奇函数，ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｅｘ＋ｅ－ｘ）是偶函数（因为ｆ（－ｘ）＝ｓｉｎ（ｅ－ｘ＋ｅｘ）＝ｆ（ｘ），所以函数ｓｉｎ（ｅｘ＋ｅ－ｘ）是偶函数）。所以被积函数是奇函数。根据奇偶性法，此积分结果等于０。解：由于被积函数ｘｓｉｎ（ｅｘ＋ｅ－ｘ）是奇函数，且积分区间对称，所以∫１ｘ－１ｘｓｉｎ（ｅ＋ｅ－ｘ）ｄｘ＝０备注：若函数是奇函数，则该函数在对称区间上的定积分为０；若函数是偶函数，则该函数在对称区间上的定积分等于正数区间的两倍。１．２　直接积分法。从基本积分表中可以直接得出被积函数的一个原函数的且再根据牛顿－莱布尼茨公式便可求解出原函数在积分上下限函数值之差即为所要求的定积分。例２：∫２１（ｘ２＋１ｘ４）ｄｘ分析：由于积分区间［１，２］不对称，我们不考虑奇偶性法。通过观察，我们可以发现：利用不定积分的基本公式可以直接找到函数ｘ２和１ｘ４各自的一个原函数，再根据牛顿－莱布尼茨公式就可以求解出定积分。解：∫２１１（ｘ２＋１３２１－３２ｘ４）ｄｘ＝３ｘ｜１－３ｘ｜１＝２１８备注：使用直接积分法求定积分的被积函数一般都是基本函数或者其一个原函数一般都是可以直接在基本积分表中直接得出的。１．３　换元积分法。在使用换元积分方法进行运算时关键的一点是：“换元必换限”。（１）第一换元法。采用第一换元积分方法的关键在于“凑微分”，使得∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫Ｂαｆ［φ（ｔ）］（ｔ）ｄｔ＝∫Ｂαｆ［φ（ｔ）］ｄφ（ｔ）例３：∫１ｘ０２＋ｘ２ｄｘ分析：此题由于积分区间不对称，而且也不能利用不定积分的基本公式直接求出被积函数的一个原函数，所以本题先不考虑奇偶性法和直接积分法，优先考虑换元积分法。解：∫１ｘ０２＋ｘ２ｄｘ＝１２∫１１０２＋ｘ２ｄ（２＋ｘ２）令μ＝２＋ｘ２，当ｘ＝０时，μ＝２；当ｘ＝１时，μ＝３所以原式＝１３１２∫２μｄμ备注：对于题目所给积分区间不对称，而且不能利用不定积分基本公式直接得出被积函数的一个原函数，但可以通过“凑微分”求解的时候，我们首选第一换元积分法对其进行求解。应用此方法求解时，必须记得：“换元必换限”，否则结果会出错。（２）第二换元积分法。例４：∫４１槡ｘ１＋ｄｘ槡ｘ分析：通过观察，我们可以知道：本题先不考虑奇偶性法和直接积分法。我们首先考虑换元积分法，对于这种带根号且根号里的数为一次方的简单的无理函数，我们多数采用第二换元积分法对其进行求解。解：∫４１槡ｘ１＋ｄｘ槡ｘ令μ＝槡３，所以ｘ＝μ２，ｄｘ＝ｄμ２＝２μｄμ。当ｘ＝１时，μ＝１；当ｘ＝４时，μ＝２２所以∫４１槡ｘ１＋ｄｘ＝２μ２ｄ＝２μ－１＋１槡ｘ∫１１＋μμμ２∫１１＋μｄμ＝２（μ２２－μ＋Ｉｎ（μ＋１））｜２１＝２ｌｎ３２＋１备注：在运算过程中巧妙地构造平方差公式进行化简，再利用基本积分表求其原函数，最后便可求解出定积分。１．４　分部积分法。若定积分可以写成∫ｂａｕ（ｘ）ｖ＇（ｘ）ｄｘ或∫ｂａｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ），尤其当被积函数是两个基本初等函数乘积时，经常化为这种形式，则可直接利用以下分部积分公式来计算：∫ｂａｕ（ｘ）ｄｖ（ｘ）＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）｜ｂｂａ－∫ａｖ（ｘ）ｄｕ（ｘ）。这种方法常常用于被积函数为两种不同函数相乘时。例５：∫１０ｘ·ｅｘｄｘ分析：此题目的被积函数为两种不同的函数相乘，我们不能利用不定积分基本公式直接得出其一个原函数，由于积分区间不对称，我们也不考虑奇偶性法。通过观察我们也发现：不容易通过“凑微分”和换元得到相同的式子，所以对于本题应该使用分部积分法对其进行求解。解：∫１ｘｘ０ｘ·ｅｄｘ＝ｘｅ｜１１０－∫０ｅｘｄｘ＝１备注：如果被积函数是两个不同基本初等函数的相乘时，常常使用分部积分法对其进行求解。根据反对幂三指的顺序，两个函数哪个在前哪个看成ｕ。２．结语定积分的计算方法比较多，掌握以及熟练一元函数定积分的计算对同学们有着重要作用，对以后的学习有着重大影响。数学前沿今天·１８１·浅谈如何培养初中学生解数学应用题的能力黎泽云（湖北省宜都市枝城镇西湖初级中学　湖北　宜都　４４３３００）中图分类号：Ｇ６２３．５　　　　　　　文献标识码：Ｂ　　　　　　　文章编号：１００２－３９１７（２０２１）０４－０１８１－０１　　初中数学应用题种类繁多，涉及范围也较广，特别是中考应用题，综合性强，往往都与我们的生活息息相关，这也充分体现了数学的工具性，即数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供一种有效，简捷的手段。因此解应用题对学生的数学综合能力要求很高，除了要有扎实的数学基础知识，还要具备阅读能力、数学化能力、计算能力以及实际生活经验等。我任教的学校是一所乡村学校，学生数学基础知识参差不齐，生活经验也比较缺乏。下面我将结合２０２０年湖北宜昌中考数学应用题的解答，谈谈如何培养初中学生解数学应用题的能力：资料：公司营销区域是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积。材料：某地有Ａ、Ｂ两家商贸公司（以下简称Ａ、Ｂ公司）。去，Ｂ公司营销区域面积分别为ｍ平方千米，ｎ平方千年下半年Ａ米，其中ｍ＝３ｎ，公共营销区域与Ａ公司营销区域面积的比为２今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，Ａ公司营销区域．９面积比去年下半年增长了ｘ％，Ｂ公司营销区域面积比去年下半公共营销区域面积与Ａ公司年增长的百分数是Ａ公司的４倍，３营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与Ａ，Ｂ两公司７个百分点。营销区域面积的比比去年下半年增加了ｘ问题：（１）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与Ｂ公司营销区域面积的比），并解答。（２）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且Ａ公司每半年每平方千米产生的经济收益均为Ｂ公司的１．５倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比。１．注重培养学生的阅读能力解应用题的前提是要读懂题目，学生要学会在较长的文字背景中抽象出数学问题，读题时不仅要抓住重点，同时更要注意细节。本题中公共营销区域面积是Ａ、Ｂ两家公司营销活动重叠范围内的地方面积，在算Ａ、Ｂ两家公司总营销区域面积的时候，就不能简单认为就是Ａ公司营销区域面积＋Ｂ公司营销区域面积的和，这样就把公共营销区域面积算了两道，正确的算法是Ａ、Ｂ两家公司营销区域面积的和减去公共营销区域面积。这一点往往有很多学生没有注意，就容易掉进“陷阱”。要避免这一点，就需要反复读题，弄懂公共营销区域面积的真正含义。而数本文主要介绍了一元函数定积分的几种常见的计算方法，有些题目可能涉及到的不止一种计算方法，需要用到多种方法的融合。通过以上举例可以发现：按奇偶性法，直接积分法，换元积分法，分部积分法这个顺序进行计算再加上在计算过程中灵活地运用各种方法和公式，可以简化运算过程，提高运算效率，减少运算时间。参考文献：［１］　武文娟．一元函数定积分的计算方法及策略［Ｊ］．黑龙江科学，２０２０，１１（１３）：２２－２４．学中考中时间非常紧，学生要能快速的读懂题目，就必须具有很强的阅读能力，这就需要我们在平常的教学中有意识地去培养。２．学会列表格分析数量关系中考应用题往往涉及多个方面，而且关系复杂，要理清各方面之间的关系，列表格是一种非常有效的方法。在分析本题中的数量关系时，可以教学生这样去列表：列表之后，数量关系一目了然，然后再根据等量关系列出方程，就比较容易了。３．学会利用技巧解方程本题第二问中，要求出ｘ％的值，有的学生列出的方程是这３３３ｎ（１＋ｘ％）＝【３ｎ（１＋ｘ％）＋ｎ（１＋４ｘ％）－ｘ３ｎ（１样的：ｘ７７２２＋ｘ％）】【３ｎｘ÷（３ｎ＋ｎ－ｎ）＋ｘ％】９３方程列出来以后，有的学生看到方程较复杂，觉得无从下我们可以告诉学生遇到这样的手，自然就没有信心去解出方程．复杂方程可以用换元法，设ｘ％＝ｙ，则上面的方程可以变形为３３ｘ３ｎ３ｎ（１＋ｙ）＝【３ｎ（１＋ｙ）＋ｎ（１＋４ｙ）－ｘ（１＋ｙ）】７７２２３ｎｘ÷（３ｎ＋ｎ－ｎ）＋ｙ】【９３换元后再将方程化为一般形式，这样就可以化繁为简，将方程化为学生熟悉的形式，求解也就简单多了。４．提醒学生一定要验根解应用题时方程解出来之后必须验根，一是检验求得的根是否满足原方程，二是检验求得的根是否符合实际。一般表示增长率或降低率的百分数是正数，上面的方程中，有两个值，一个是，显然，应该舍去。总之对于初中学生来说，中考应用题虽然难度较大，但只要我们在平常的教学过程中有意识地加强对学生阅读能力的训练，培养学生良好的思维品质，提高问题转化能力，教会学生列表格分析数量关系及巧妙解方程，并记得检验，学生在做应用题时就能快速高效，得心应手。［２］　朱小飞．几种常见的不定积分的计算方法［Ｊ］．产业与科技２０２０，１９（０９）：５６－５７．论坛，［３］　户富强．函数奇偶性的解题技巧［Ｊ］．新课程（中），２０１５（０５）：３６．［４］　邱云兰．换元法求定积分的思维方法及常见错误剖析［Ｊ］．韶关学院学报，２０１１，３２（０２）：９－１２．作者简介：郑雅思，就读广州工商学院，本科，会计系会计学学生，研究一元函数定积分的计算方法。